Квантование и эффект Ааронова-Бома.
Это немного расширенный комментарий, оставленный мной вот здесь:
https://ingener-vova.livejournal.com/2883.html#t4163
Позволю себе немного уточнить то, каким образом возникает квантование.
Известно, что в модели называемой «квантовая механика» (КМ), которая основана на постулировании волновых функций и постулировании величины постоянной Планка, квантование возникает из граничных условий (ГУ). Если нет ГУ, то дифференциальное уравнение само по себе не квантуется - это хорошо известный факт из теории Штурма-Лиувилля. В качестве примера возьмём атом водорода (см. Ландау Лифшиц том 3). Постулируется уравнение Шрёдингера (УШ), но атом начинает квантоваться (появляются дискретные уровни энергии) только тогда, когда к решению УШ применяем ГУ четвёртого типа (условие периодичности), т.е. только тогда, когда возникает задача Штурма-Лиувилля. В сущности это широко известная ситуация из классической механики. В самом деле, рассмотрим диф.уравнение второго порядка, один из операторов которого является лиувиллевским. Например уравнение теплопроводности, или диффузии. В этом случае при применении метода Фурье разделения переменных, однородное д.у. с оператором Лиувиля + однородные ГУ дают задачу Штурма-Лиувилля (привет уравнению Шрёдингера).
Пример - остывание бесконечного цилиндра. В этом случае задача имеет дискретный спектр собственных значений и радиальное распределение температуры (аналог волновой функции) описывается функцией Бесселя, что приводит к «стратификации» легирующих добавок. Иными словами, если мы сделаем заливку из стали в форме цилиндра и будем её как-то охлаждать с боков (налагаем ГУ), то при последующей обработке этой болванки на токарном станке мы с удивлением обнаружим, что содержание добавок зависит от радиуса и описывается функцией Бесселя. Экспериментально эту штуку обнаружил мой отец ещё в 60-х годах прошлого века.
Это один из многочисленных примеров возникновения квантования (дискретного спектра собственных значений задачи Ш-Л), возникающего в классической физике. Аналогия с КМ не то что большая, а абсолютно точная.
Таким образом квантование в КМ возникает ровно так же как и в классической физике - из граничных условий. Т.е. КМ - это просто постулированная задача Штурма-Лиувилля, в которой вместо физической величины (типа температуры, концентрации и т.д.) взяли с потолка некую функцию и назвали её волновой, не очень понимая чему она соответствует. Потом долго пытались найти ей интерпретацию, называя плотностью распределения вероятности, но в итоге только запутались.
Резюмируя эту часть: В ортодоксальной квантовой механике квантование получается из - за наложения ГУ на решения дифференциального уравнения имеющего лиувиллев оператор. Точно так же, как оно получается и в классической физике. Никаких тут чудес нет.
Чудеса начинаются тогда, когда мы пытаемся интепретировать уравнение Шрёдингера, т.е. искать объяснения тому, почему аппарат КМ работает.
Я неоднократно разбирал как, откуда появляется квантование в Природе. Понятно, что Природа ничего не знает про волновые функции, зато знает про ЭМ поле. Давайте ещё раз поговорим о том, что происходит в реальности. В общем-то почти то же самое (квантование появляется при наложении ГУ), только 1) с ЭМ полем и 2) без волновых функций. Пишем уравнения электродинамики на расширяющемся многообразии (метрический тензор адиабатически изменяется) и ставим ГУ, после чего ЭМ поле квантуется, чтобы удовлетворить поставленным ГУ. Подчеркну - квантуется естественным путём, а не по извращённой схеме Гупта-Блейлера. Ну а коли ЭМ поле квантовано, то атому деваться некуда - он тоже будет квантоваться и без волновых функций.
Пример - тот же атом водорода, где приходится ставить ГУ. ,Однако атом водорода достаточно тривиален, потому разберём такую красоту, как эффект Ааронова-Бома (А-Б). Рассмотрим его подробнее.
Как известно, необходимым условием существования А-Б эффекта является наличие в структуре уравнений т.н. потенциалов «нулевого поля», которые не могут быть обнулены калибровочными преобразованиями и которые не создают электромагнитных полей (см. Chirkov, A.G. and Ageev, A.N. (2001) On the Nature of the Aharonov-Bohm Effect. Technical Physics, 46, 147-153.
https://doi.org/10.1134/1.1349267 )
Чирков (мне повезло знать его лично, поскольку он вёл у нас семинары по КМ в течение одного семестра) пишет, что «эти нулевые потенциалы являются результатом нетривиальной топологии, имеющей место в области, где движется заряженная частица». Далее он отмечает, что сходная ситуация возникает в хорошо известной электродинамике анизотропных сред, когда структура ур-ний Максвелла не позволяет удовлетворить граничным условиям. Для того, чтобы удовлетворить ГУ в анизотропной среде, обычно вводят «нулевой потенциал», который не может создавать ЭМ поля (см. упомянутую работу Чиркова). Чирков вплотную подошёл к объяснению эффетка Ааронова-Бома, но ему не хватило последнего шага - указать на то, откуда берётся эта самая анизотропия пространства. Он, как и остальные полагал, что расширение Вселенной настолько незначительно для земных лабораторий, что им можно пренебречь. Поэтому он, как и все, работал в рамках мира Минковского - плоского, стационарного многообразия.
В случае же расширяющейся Вселенной, такая анизотропия возникает автоматически для любой движущейся частицы. В самом деле, частица начинала своё движение во вселенной с определённой кривизной, но по мере её движения Вселенная расширялась и когда частица прибыла в конечную точку, Вселенная имела уже другой радиус кривизны. Налицо та самая анизотропия. Да, изменения мизерны, разница почти нуль, но ведь мы и ищем очень малые эффекты (напомню, что постоянная Планка есть 6х10^(-27) десять в минус двадцать седьмой степени!)
Поэтому можно утверждать, что в случае А-Б эффекта мы имеем дело с анизотропией пространства и в этом случае роль «нулевых потенциалов» (которые не генерируют ЭМ поле) теряет свой мистический флёр, поскольку их роль играет изменяющаяся геометрия пространства приводящая к анизотропии.
Таким образом, когда мы пытаемся удовлетворить граничным условиям в такой анизотропной задаче, нам приходится вводить те самые «нулевые потенциалы» приводящие к анизотропии. Ну или явным образом учитывать расширение Вселенной, выписать полное уравнение и опять-таки требовать удовлетворения ГУ.
Таким образом, в правильной электродинамике (написанной для адиабатически расширяющейся Вселенной), квантование возникает ровно так же как и в ортодоксальной модели КМ, т.е. при наложении граничных условий.
https://ingener-vova.livejournal.com/2883.html#t4163
Позволю себе немного уточнить то, каким образом возникает квантование.
Известно, что в модели называемой «квантовая механика» (КМ), которая основана на постулировании волновых функций и постулировании величины постоянной Планка, квантование возникает из граничных условий (ГУ). Если нет ГУ, то дифференциальное уравнение само по себе не квантуется - это хорошо известный факт из теории Штурма-Лиувилля. В качестве примера возьмём атом водорода (см. Ландау Лифшиц том 3). Постулируется уравнение Шрёдингера (УШ), но атом начинает квантоваться (появляются дискретные уровни энергии) только тогда, когда к решению УШ применяем ГУ четвёртого типа (условие периодичности), т.е. только тогда, когда возникает задача Штурма-Лиувилля. В сущности это широко известная ситуация из классической механики. В самом деле, рассмотрим диф.уравнение второго порядка, один из операторов которого является лиувиллевским. Например уравнение теплопроводности, или диффузии. В этом случае при применении метода Фурье разделения переменных, однородное д.у. с оператором Лиувиля + однородные ГУ дают задачу Штурма-Лиувилля (привет уравнению Шрёдингера).
Пример - остывание бесконечного цилиндра. В этом случае задача имеет дискретный спектр собственных значений и радиальное распределение температуры (аналог волновой функции) описывается функцией Бесселя, что приводит к «стратификации» легирующих добавок. Иными словами, если мы сделаем заливку из стали в форме цилиндра и будем её как-то охлаждать с боков (налагаем ГУ), то при последующей обработке этой болванки на токарном станке мы с удивлением обнаружим, что содержание добавок зависит от радиуса и описывается функцией Бесселя. Экспериментально эту штуку обнаружил мой отец ещё в 60-х годах прошлого века.
Это один из многочисленных примеров возникновения квантования (дискретного спектра собственных значений задачи Ш-Л), возникающего в классической физике. Аналогия с КМ не то что большая, а абсолютно точная.
Таким образом квантование в КМ возникает ровно так же как и в классической физике - из граничных условий. Т.е. КМ - это просто постулированная задача Штурма-Лиувилля, в которой вместо физической величины (типа температуры, концентрации и т.д.) взяли с потолка некую функцию и назвали её волновой, не очень понимая чему она соответствует. Потом долго пытались найти ей интерпретацию, называя плотностью распределения вероятности, но в итоге только запутались.
Резюмируя эту часть: В ортодоксальной квантовой механике квантование получается из - за наложения ГУ на решения дифференциального уравнения имеющего лиувиллев оператор. Точно так же, как оно получается и в классической физике. Никаких тут чудес нет.
Чудеса начинаются тогда, когда мы пытаемся интепретировать уравнение Шрёдингера, т.е. искать объяснения тому, почему аппарат КМ работает.
Я неоднократно разбирал как, откуда появляется квантование в Природе. Понятно, что Природа ничего не знает про волновые функции, зато знает про ЭМ поле. Давайте ещё раз поговорим о том, что происходит в реальности. В общем-то почти то же самое (квантование появляется при наложении ГУ), только 1) с ЭМ полем и 2) без волновых функций. Пишем уравнения электродинамики на расширяющемся многообразии (метрический тензор адиабатически изменяется) и ставим ГУ, после чего ЭМ поле квантуется, чтобы удовлетворить поставленным ГУ. Подчеркну - квантуется естественным путём, а не по извращённой схеме Гупта-Блейлера. Ну а коли ЭМ поле квантовано, то атому деваться некуда - он тоже будет квантоваться и без волновых функций.
Пример - тот же атом водорода, где приходится ставить ГУ. ,Однако атом водорода достаточно тривиален, потому разберём такую красоту, как эффект Ааронова-Бома (А-Б). Рассмотрим его подробнее.
Как известно, необходимым условием существования А-Б эффекта является наличие в структуре уравнений т.н. потенциалов «нулевого поля», которые не могут быть обнулены калибровочными преобразованиями и которые не создают электромагнитных полей (см. Chirkov, A.G. and Ageev, A.N. (2001) On the Nature of the Aharonov-Bohm Effect. Technical Physics, 46, 147-153.
https://doi.org/10.1134/1.1349267 )
Чирков (мне повезло знать его лично, поскольку он вёл у нас семинары по КМ в течение одного семестра) пишет, что «эти нулевые потенциалы являются результатом нетривиальной топологии, имеющей место в области, где движется заряженная частица». Далее он отмечает, что сходная ситуация возникает в хорошо известной электродинамике анизотропных сред, когда структура ур-ний Максвелла не позволяет удовлетворить граничным условиям. Для того, чтобы удовлетворить ГУ в анизотропной среде, обычно вводят «нулевой потенциал», который не может создавать ЭМ поля (см. упомянутую работу Чиркова). Чирков вплотную подошёл к объяснению эффетка Ааронова-Бома, но ему не хватило последнего шага - указать на то, откуда берётся эта самая анизотропия пространства. Он, как и остальные полагал, что расширение Вселенной настолько незначительно для земных лабораторий, что им можно пренебречь. Поэтому он, как и все, работал в рамках мира Минковского - плоского, стационарного многообразия.
В случае же расширяющейся Вселенной, такая анизотропия возникает автоматически для любой движущейся частицы. В самом деле, частица начинала своё движение во вселенной с определённой кривизной, но по мере её движения Вселенная расширялась и когда частица прибыла в конечную точку, Вселенная имела уже другой радиус кривизны. Налицо та самая анизотропия. Да, изменения мизерны, разница почти нуль, но ведь мы и ищем очень малые эффекты (напомню, что постоянная Планка есть 6х10^(-27) десять в минус двадцать седьмой степени!)
Поэтому можно утверждать, что в случае А-Б эффекта мы имеем дело с анизотропией пространства и в этом случае роль «нулевых потенциалов» (которые не генерируют ЭМ поле) теряет свой мистический флёр, поскольку их роль играет изменяющаяся геометрия пространства приводящая к анизотропии.
Таким образом, когда мы пытаемся удовлетворить граничным условиям в такой анизотропной задаче, нам приходится вводить те самые «нулевые потенциалы» приводящие к анизотропии. Ну или явным образом учитывать расширение Вселенной, выписать полное уравнение и опять-таки требовать удовлетворения ГУ.
Таким образом, в правильной электродинамике (написанной для адиабатически расширяющейся Вселенной), квантование возникает ровно так же как и в ортодоксальной модели КМ, т.е. при наложении граничных условий.