Это херня - домножаем на p и переносим x-ы влево - дальше получаем обычную совершенно систему линейных уравнений общего вида с целыми коэффициентами. У которой может быть какое угодно решение (втч кстати и в целых числах)
Если есть ненулевое решение, тогда wlog x_1, x_2, ... x_n целые не имеющие общих делителей. Левая сторона целая. Тогда и правая сторона целая, ergo все иксы делятся на p. Противоречие.
Update: Более развернуто, это система линейных уравнений с рациональными коэффициентами. Если есть ненулевое решение то в решении есть свободные переменные которые можно выбрать рациональными. Очевидно что тогда всё решение будет рациональным (гауссовская элиминация если угодно). Рациональное решение можно превратить умножением на знаменатели в целое. Поделив на наибольший общий делитель, прийдем к целым иксам не имеющим общих делителей. Любое такое решение равно нулю (аргумент выше), следовательно свободных параметров нет и у системы есть уникальное решение равное нулю.
В общем, да, всё просто.celen_meMarch 13 2018, 10:43:54 UTC
Задача сводится к доказательству того, что матрица 1/p*E-А невырожденная. Определитель суммы двух матриц равен сумме определителей всех матриц, полученных комбинированием строк из первой и второй. det(1/p*E) = 1/p^n , a все остальные возможные комбинации строк матриц дадут в сумме определитель вида q/p^k , q, k - целые, k
Ниже Ваш комментарий на мой комментарий что-то всё ещё скрыт.
Рациональные решения исключаются от противного теорией чисел (основную теорему арифметики в школе вроде бы проходят). (Исключаем нетривиальные целые решения от противного делимостью на произвольно большую степень какого-нибудь простого делителя p; рациональное решение от домножения на знаменатели становится целым.)
Сложно можно объяснить и обычное (делимость определителя) решение школьникам без слова "матрица" (подстановками и преобразованиями), но я конечно имел в виду не такое "жульническое" решение.
Так что задача, наверное, хороша для пропаганды определителей и линейной алгебры (которую традиционно не принято преподавать школьникам в том числе на мат. кружках).
Comments 22
Вы видимо какое-то еще условие забыли.
Reply
Reply
Reply
Update: Более развернуто, это система линейных уравнений с рациональными коэффициентами. Если есть ненулевое решение то в решении есть свободные переменные которые можно выбрать рациональными. Очевидно что тогда всё решение будет рациональным (гауссовская элиминация если угодно). Рациональное решение можно превратить умножением на знаменатели в целое. Поделив на наибольший общий делитель, прийдем к целым иксам не имеющим общих делителей. Любое такое решение равно нулю (аргумент выше), следовательно свободных параметров нет и у системы есть уникальное решение равное нулю.
Reply
Reply
Reply
Рациональные решения исключаются от противного теорией чисел (основную теорему арифметики в школе вроде бы проходят). (Исключаем нетривиальные целые решения от противного делимостью на произвольно большую степень какого-нибудь простого делителя p; рациональное решение от домножения на знаменатели становится целым.)
Сложно можно объяснить и обычное (делимость определителя) решение школьникам без слова "матрица" (подстановками и преобразованиями), но я конечно имел в виду не такое "жульническое" решение.
Так что задача, наверное, хороша для пропаганды определителей и линейной алгебры (которую традиционно не принято преподавать школьникам в том числе на мат. кружках).
Reply
Reply
Leave a comment