Ответы про монетки
Начало тут, продолжение тут.
Например, так:
Приведу вариант, который считаю "красивым", см. также мои рассуждения о задаче 6, картинки, приведенные в ней, являются более близкими к "оптимальному" состоянию.
(правда, из-за своей неоптимальности картинка вся сюда не влезла)
В эту конструкцию можно напихать, сколько угодно монеток, и чем их больше, тем меньше разница между монетками внешнего и внутреннего кругов.
Конструкции с отношением большей монеты к меньшей равным одному в силу задачи 1 не существует, а этой конструкцией можно, насколько угодно, к единице приблизиться.
Ответа, я, к сожалению, не знаю. Вот вариант, с самым маленьким отношением, которое у меня пока получилось. Тут оно равно 5.896192725.
Есть ощущение, что можно уменьшить отношение где-то до 3.5-4 (а оказалось, что даже и сильнее) за счет конструкции подобной решению задачи 5, то есть какой-то вытягивающейся по кругу штуковине, только не в два оборота, а "ромашками".
Хотя в задаче вопрос не задан, но можно еще пытаться минимизировать количество монет. У меня минимум вышел 12. Кажется, меньше нельзя, но доказывать пока не пытался.
Комментарий к картинкам для интересующихся технологией: Все картинки в данном посте сделаны непосредственным написанием PostScript-кода. Автором по этому поводу получено неимоверное удовольствие. Также для расчетов размеров использовался Excel, что также порадовало автора.
- На столе лежит несколько монет одинакового размера. Доказать, что среди них есть хотя бы одна монета, касающаяся не более 3 других.
- На столе вновь лежит несколько монет, но произвольных размеров. Доказать, что среди них есть хотя бы одна монета, касающаяся не более 5 других.
- Постройте конструкцию из нескольких одинаковых монет, лежащих на столе, в которой каждая монетка касается не менее 3 других.
Например, так:
- Постройте конструкцию из нескольких монет разного размера, лежащих на столе, в которой каждая монетка касается не менее 5 других.
Приведу вариант, который считаю "красивым", см. также мои рассуждения о задаче 6, картинки, приведенные в ней, являются более близкими к "оптимальному" состоянию.
(правда, из-за своей неоптимальности картинка вся сюда не влезла)
- Какое наименьшее отношение диаметров наибольшей и наименьшей монеты во всех расположениях монеток на столе, в которых каждая касается не менее 4 других?
В эту конструкцию можно напихать, сколько угодно монеток, и чем их больше, тем меньше разница между монетками внешнего и внутреннего кругов.
Конструкции с отношением большей монеты к меньшей равным одному в силу задачи 1 не существует, а этой конструкцией можно, насколько угодно, к единице приблизиться.
- Какое наименьшее отношение диаметров наибольшей и наименьшей монеты во всех расположениях монеток на столе, в которых каждая касается не менее 5 других?
Ответа, я, к сожалению, не знаю. Вот вариант, с самым маленьким отношением, которое у меня пока получилось. Тут оно равно 5.896192725.
Есть ощущение, что можно уменьшить отношение где-то до 3.5-4 (а оказалось, что даже и сильнее) за счет конструкции подобной решению задачи 5, то есть какой-то вытягивающейся по кругу штуковине, только не в два оборота, а "ромашками".
Хотя в задаче вопрос не задан, но можно еще пытаться минимизировать количество монет. У меня минимум вышел 12. Кажется, меньше нельзя, но доказывать пока не пытался.
Комментарий к картинкам для интересующихся технологией: Все картинки в данном посте сделаны непосредственным написанием PostScript-кода. Автором по этому поводу получено неимоверное удовольствие. Также для расчетов размеров использовался Excel, что также порадовало автора.