Лемма Шпернера
Едучи в метро, придумал линейно-алгебраическое доказательство леммы Шпернера. Может, кому на кружок сгодится?
Итак, пусть треугольник с вершинами 0, 1 и 2 (n-мерный симплекс с вершинами 0,1,...,n) некоторым образом триангулирован и вершины триангуляции занумерованы цифрами 0, 1 и 2 (соотве. 0,1,...,n) таким образом, что вершины, попавшие на сторону ij, могут иметь номер только i или j (соотв. вершины, попавшие в грань большого симплекса с вершинами $i_1,...,i_k$ могут иметь только эти номера). Надо доказать, что в триангуляции имеется нечетное число треугольников с вершинами 0, 1 и 2 (соотв. n-симплексов с вершинами 0,1,...n). Далее все такие "соотв." будум оставлять читателю.
Рассмотрим 0, 1 и 2 как базис векторного пространтсва V над полем из двух элементов. Каждому ребру триангуляции с вершинами i и j сопоставим элемент $i\wedge j$ (внешнее произведение) из внешнего квадрата пространства V. (Получается, что называется, 1-коцепь со значениями во внешнем квадрате V). Рассмотрим теперь "кограницу этой коцепи" - попросту говоря, каждому треугольнику триангуляции сопоставим сумму элементов внешнего квадрата, соответствующих его сторонам. Заметим, что сумма элементов, соответствующих всем треугольникам триангуляции, равна $0\wedge1+1\wedge2+2\wedge0$. В самом деле, бивекторы, соответствующие сторонам треугольников, лежащих внутри большого треугольника, все сокращаются; бивекторы, лежащие на стороне ij, имеют вид $i\wedge i$, $j\wedge j$ или $i\wedge j$. Первые два суть нули, а послдних должно быть нечетное число (так как одна вершина i, а другая j), так что их сумма есть $i\wedge j$.
Поскольку элемент внешнего квадрата, соответсвующий треугольнику с вершинами i, j и k, отличен от нуля только если i, j и k различны, и в этом последнем случае равен $0\wedge1+1\wedge2+2\wedge0$, все доказано.
Спасибо mnvyy за полезную беседу. Доказательство, конечно, близко к традиционному; возможно, оно более понятно.
Update. Ага, изобрел-таки велосипедик --- спасибо rus4 за напоминание.
Итак, пусть треугольник с вершинами 0, 1 и 2 (n-мерный симплекс с вершинами 0,1,...,n) некоторым образом триангулирован и вершины триангуляции занумерованы цифрами 0, 1 и 2 (соотве. 0,1,...,n) таким образом, что вершины, попавшие на сторону ij, могут иметь номер только i или j (соотв. вершины, попавшие в грань большого симплекса с вершинами $i_1,...,i_k$ могут иметь только эти номера). Надо доказать, что в триангуляции имеется нечетное число треугольников с вершинами 0, 1 и 2 (соотв. n-симплексов с вершинами 0,1,...n). Далее все такие "соотв." будум оставлять читателю.
Рассмотрим 0, 1 и 2 как базис векторного пространтсва V над полем из двух элементов. Каждому ребру триангуляции с вершинами i и j сопоставим элемент $i\wedge j$ (внешнее произведение) из внешнего квадрата пространства V. (Получается, что называется, 1-коцепь со значениями во внешнем квадрате V). Рассмотрим теперь "кограницу этой коцепи" - попросту говоря, каждому треугольнику триангуляции сопоставим сумму элементов внешнего квадрата, соответствующих его сторонам. Заметим, что сумма элементов, соответствующих всем треугольникам триангуляции, равна $0\wedge1+1\wedge2+2\wedge0$. В самом деле, бивекторы, соответствующие сторонам треугольников, лежащих внутри большого треугольника, все сокращаются; бивекторы, лежащие на стороне ij, имеют вид $i\wedge i$, $j\wedge j$ или $i\wedge j$. Первые два суть нули, а послдних должно быть нечетное число (так как одна вершина i, а другая j), так что их сумма есть $i\wedge j$.
Поскольку элемент внешнего квадрата, соответсвующий треугольнику с вершинами i, j и k, отличен от нуля только если i, j и k различны, и в этом последнем случае равен $0\wedge1+1\wedge2+2\wedge0$, все доказано.
Спасибо mnvyy за полезную беседу. Доказательство, конечно, близко к традиционному; возможно, оно более понятно.
Update. Ага, изобрел-таки велосипедик --- спасибо rus4 за напоминание.