Отгадка про конусы
Ну что ж, раз никто пример не придумывает, рассказываю свой.
Итак, наш пример живет прямо в R3. В качестве конуса K1 возьмем обычный круглый конус - скажем, множество точек (x,y,z), для которых z2≥x2+y2 и z≥0. (Как говорил Додо у Кэрролла, точная форма не имеет значения: в основании конуса вместо окружности может быть любой овал.) Так или иначе, выберем раз и навсегда какую-нибудь образующую L нашего конуса (для ясности: это луч, исходящий из начала координат) и в качестве конуса K2 возьмем -L (т.е. другой луч, выходящий из начала координат и лежащий на той же прямой). Оба конуса K1 и K2, бесспорно, замкнутые. Утверждается, что их сумма незамкнута.
Для доказательства давайте положим наш конус K1 на некоторую плоскость π так, чтобы вершина была в начале координат и чтобы он касался плоскости по выбранной нами образующей L. Теперь будем проводить через прямую, образованную лучами L и -L, всевозможные замкнутые полуплоскости (лежащие в том же полупространстве, что и конус K1). Если такая полуплоскость H не лежит в плоскости π, то H∩K1 - угол с внутренностью и границей, одной из сторон которого является луч L, а H∩K2 - луч -L, он же конус K2. Поэтому H∩(K1+K2)=H. Если же H - любая из двух таких полуплоскостей, содержащихся в π, то H∩K1=L, H∩K2=-L, так что H∩(K1+K2) - всего лишь прямая, составленная из L и -L. Поэтому K1+K2 - открытое полупространство, ограниченное плоскостью π, плюс одна прямая (составленная из L и -L), лежащая в π, и это множество незамкнуто.
Я по выпуклым телам, мягко говоря, не специалист, могу только сказать, что я нашел поиском в интернете. Так вот, имеется такое достаточное условие: если K1 и K2 - замкнутые выпуклые конусы в Rn, и если K1∩(-K2)=0, то конус K1+K2 замкнут. Необходимым это условие не является, в чем легко убедиться, попытавшись проделать ту же штуку с многогранным, а не овальным, конусом в R3. Ссылки:
Edit. А тем, кто математики не знает, предлагаю объяснить, почему Фрэнк налепил на эту запись тэги «история» и «общество». Я вот ума не приложу.
Итак, наш пример живет прямо в R3. В качестве конуса K1 возьмем обычный круглый конус - скажем, множество точек (x,y,z), для которых z2≥x2+y2 и z≥0. (Как говорил Додо у Кэрролла, точная форма не имеет значения: в основании конуса вместо окружности может быть любой овал.) Так или иначе, выберем раз и навсегда какую-нибудь образующую L нашего конуса (для ясности: это луч, исходящий из начала координат) и в качестве конуса K2 возьмем -L (т.е. другой луч, выходящий из начала координат и лежащий на той же прямой). Оба конуса K1 и K2, бесспорно, замкнутые. Утверждается, что их сумма незамкнута.
Для доказательства давайте положим наш конус K1 на некоторую плоскость π так, чтобы вершина была в начале координат и чтобы он касался плоскости по выбранной нами образующей L. Теперь будем проводить через прямую, образованную лучами L и -L, всевозможные замкнутые полуплоскости (лежащие в том же полупространстве, что и конус K1). Если такая полуплоскость H не лежит в плоскости π, то H∩K1 - угол с внутренностью и границей, одной из сторон которого является луч L, а H∩K2 - луч -L, он же конус K2. Поэтому H∩(K1+K2)=H. Если же H - любая из двух таких полуплоскостей, содержащихся в π, то H∩K1=L, H∩K2=-L, так что H∩(K1+K2) - всего лишь прямая, составленная из L и -L. Поэтому K1+K2 - открытое полупространство, ограниченное плоскостью π, плюс одна прямая (составленная из L и -L), лежащая в π, и это множество незамкнуто.
Я по выпуклым телам, мягко говоря, не специалист, могу только сказать, что я нашел поиском в интернете. Так вот, имеется такое достаточное условие: если K1 и K2 - замкнутые выпуклые конусы в Rn, и если K1∩(-K2)=0, то конус K1+K2 замкнут. Необходимым это условие не является, в чем легко убедиться, попытавшись проделать ту же штуку с многогранным, а не овальным, конусом в R3. Ссылки:
- V. L. Klee, Jr., Separation properties of convex cones, Proc. Amer. Math. Soc. 6
(1955), 313-318. MR 68113. - Eric Beutner, On the closedness of the sum of closed convex cones in reflexive Banach
spaces, J. Convex Anal. 14 (2007), no. 1, 99-102. MR 2310430.
Edit. А тем, кто математики не знает, предлагаю объяснить, почему Фрэнк налепил на эту запись тэги «история» и «общество». Я вот ума не приложу.