Эпизод из истории математики

[xgrbml]

Была в конце XIX века такая задачка: привести пример равновеликих, но не равносоставленных многогранников. Ближе к рубежу веков начались подвижки.

Вот работа Р.Брикара 1896 года, в которой формулируется более или менее правильное необходимое условие равносоставленности многогранников, из которого уже легко получить искомый пример. Правда, автор не

Comments

[jedal]

1) Статью я не то что бы обнаружил - а узнал от И.Пака (забавным образом синхронно с обсуждением текста . - но без какой-либо связи).

См. тж. 15.6 (стр. 147) в https://www.math.ucla.edu/~pak/geompol8.pdf

2) Вот статья Дена: https://zenodo.org/record/2327856/files/article.pdf (вторая, Über den Rauminhalt) - Брикар там, как легко видеть, упоминается.

[xgrbml]

А, точно, во второй таки упоминается, вполне корректно. Сейчас поправлю.

[spamsink]

Может, Гильберту настолько не понравилось доказательство Брикара, что он его специально проигнорировал? Доказательство Дена уж очень красивое, и очень может быть, что мир его увидел во многом благодаря Гильберту.

[xgrbml]

А что ему могло понравиться или не понравиться, если доказательства там нет?

[spamsink]

Окей, доказательство статья с намётками доказательства.

[xgrbml]

От этих наметок до доказательства очень и очень далеко.

То, что написано в качестве наметок, с легкостью доводится до доказательства, только если разбиения наших многогранников удовлетворяют следующему условию: любые два из многогранников разбиения пересекаются либо по пустоте, либо по одной вершине, либо по целому ребру (для обоих многогранников), либо по целой грани (для обоих многогранников). Тогда да: складываем все двугранные углы всех многогранников - и готово. Но разбиения быть столь хорошими вовсе не обязаны!

[grey_narn]

Совершенно не помню, где я читал такое замечание (помню, правда, что это было про физику): в начале XX века ссылок на статьи было гораздо меньше, поскольку ссылка воспринималась как что-то вроде "я развиваю идеи из этой работы дальше" и даже как "я принадлежу вот к этой школе", и опустить их зазорным не считалось. Это сейчас приличия требуют все важное и более или менее тесно связанное с темой своей статьи цитировать в секции related work и освещать историю вопроса.

[xgrbml]

Да, похоже.

[a_shen]

я уже спрашивал, но вдруг кто-нибудь знает - а если мы разрезаем не на многогранники с плоскими гранями, а на части "с гладкими границами и углами" (в каком-нибудь не слишком странном смысле), то можно равносоставить куб и тетраэдр?

[xgrbml]

Ух ты, какой хороший вопрос!

Да что уж там с гладкими границами и углами: если потребовать всего лишь измеримости, то известно что-нибудь?

[nikaan]

может быть можно разрезать на счётное число многогранников, чтобы инвариант Дэна был бесконечным.

А если углы и гладкие границы есть у областей, разве не работает тот же самый инвариант Дэна (интегрировать двугранный угол по кривым рёбрам вместо умножения)?

[xgrbml]

Я не совсем понимаю (пока?), как оно будет работать. Этот инвариант будет принимать значения в чем?