Отнимать и делить!
Всё не так просто™
Я многажды обсуждал на страницах "ХВ" гримасу Истории: как древнегреческие математики, открывшие Истинного Бога (т.е. возведя логические доказательства истинности высказываний в Абсолют), просрали из-за отсутствия надлежащей техники все полимеры, из которых две тысячи лет спустя родился матан™ и современная математика.
СЯУ узнал, как дело было на самом деле. Ключевое слово - "алгоритм Евклида", который сегодня (мельком) проходят, объясняя понятие наибольшего общего делителя двух целых чисел.
На самом деле, алгоритм Евклида изначально был придуман, как алгоритм нахождения общей меры, и никакой целостности не предполагал. У вас есть два отрезка (скажем, отрезы ткани), один из Вавилона, другой из Тартусса, разной длины. А деньга у вас одна, римский денарий. и числа вы знаете только рациональные (целые и простые дроби). Как ударить по рукам? Ответ: найти общую меру для двух отрезов.
Берём более длинный из двух отрезов, и считаем, сколько полных разов (раз) в нём укладывается короткий. Записали: четыре, зафиксировали "хвост". Потом меняем всех ролями: сколько раз "хвост" укладывается в более коротком обрезе? Точно больше одного раза. Считаем, записали: два. После чего снова меняем роли: новый "хвост" совсем коротенький, но всё же есть, давайте померяем, сколько целых раз/разов он уложится в более коротком из двух обрезов? Продолжаем процесс до того момента, пока... пока что? Три варианта ответа: (а) пока "хвост" не обратится в нуль, т.е., один отрез будет укладываться в другом ровно семь раз; (б) пока очередной "хвост" не станет длиной в одну нитку; (в) пока цена хвоста в глазах продавца и покупателя не станет дешевле плевка.
Опытный пифагореец с негодованием отвергнет оппортунизм в рамках подходов (б) и (в), но с ужасом вынужден будет согласиться, что нет никаких причин к тому, чтобы всегда, при любых начальных условиях, рано или поздно наступил бы пункт (а). А это ровно и означает, что отношение длин исходных отрезов как правило непредставимо в виде отношения двух целых чисел.
Но одно дело - не видно причин, совсем другое - найти такую пару отрезков. Вопреки всеобщему поверью, Гиппас обнаружил эффект, изучая пентаграмму (правильный пятиугольник). В нём, как легко видеть, отношение диагонали d (любой) к стороне (любой) s удовлетворяет пропорции d:s=s:(d-s). Отношение d:s равно "золотому сечению", γ=1.618...: если бы мы применили алгоритм Евклида к паре отрезков d,s, то все "целые числа" по дороге оказались бы равными единице. (Напишите сами квадратное уравнение про точку, которая делит единичный отрезок на два меньших, отношение длин которых такое же, как отношение длины полного отрезка, 1, к бо́льшему из двух меньших отрезков).
Уравнение p2=2q2 и его неразрешимость в целых числах (несоизмеримость диагонали квадрата и его стороны), которое сегодня "знают все" - более позднее открытие, которое Платон в "Теэтете" приписывает Теодору из Кирены: именно его включил Евклид в свои "Начала". Оно короче, но "истинная причина" иррациональности оказывается заметённой под ковёр.
А алгоритм Евклида утратил свой изначальный смысл и используется сегодня совершенно "не по назначению": в ситуации, когда длины отрезков измеряются целыми числами, существование "общей меры" очевидно: это единица (длины), поэтому алгоритм всегда заканчивает работу за конечное время и даёт наибольшую (целую) общую меру, которую мы называем (по причине целочисленности) общим делителем.
Изначальную функцию алгоритма Евклида сегодня играет разложение в цепную дробь. Очень жаль, что эти дроби не проходят в школе, они того сто́ят.
Любое "число" (вещественное число) а=а0, для простоты положительное, можно представить в виде целой и дробной частей. Дробная часть x1 по определению меньше единицы, поэтому отношение 1/x1 - больше единицы и снова может быть представлено в сумму целой и дробной части x2. Новая дробная часть снова может быть "вывернута" и разложена с "хвостом" x3. Немедленно видно, что это - описание алгоритма Евклида, примененного к паре "отрезков" а0 и а1=1 и может быть записано в виде "бесконечной дроби".
Немедленно видно, что конечная цепная дробь соответствует рациональному числу. Чуть более внимательное наблюдение показывает, что периодическая цепная дробь соответствует алгебраическому числу, корню подходящего уравнения с целыми неотрицательными коэффициентами. Дальше - больше: если последовательность целых чисел nк, k=1,2,3,... достаточно быстро растёт, само число а становится "всё более трансцендентным", более патологическим, и это проявляется в самых разных ситуациях, от небесной динамики и до теории хаоса.
Поучительно сравнить разложение в цепную дробь с разложением в (бесконечную) десятичную дробь. В обоих случаях всё начинается с вычисления целой части, но в десятичном случе хвост не "оборачивается", а просто умножается на 10, от того, что останется, снова берётся хвост, снова умножается на 10 и т.д. Понятно, что целая часть хвоста после умножения на 10 может принимать только значения 0,2,...9, т.е., нам хватит всего десяти цифр, чтобы записать "в строчку" процесс разложения. С другой стороны, разложение в цепную дробь, очевидно, гораздо более гибкое, т.к. не привязывается заранее ни к какому основанию счисления. Это преимущество можно описать аккуратно: обрывая бесконечное разложение на любом конечном шаге, мы получаем рациональные приближения к разлагаемому числу. Разные рациональные приближения можно сравнивать между собой, - насколько точно они приближают рассматриваемое число. Можно доказать, что конечное приближение, даваемое цепной дробью - наилучшее из всех рациональных приближений со знаменателями, не превышающими знаменатель данного цепного приближения (легко видеть, что для десятичных дробей это не так).
Не все знают, что юлианский/грегорианский календарь построен по принципу разложения в десятичную дробь. В юлианском календаре каждый четвёртый год считается високосным и добавляется один день в феврале, однако года с двумя нулями високосными не считаются. Грегорианский календарь добавляет к этому правилу ещё две строчки, - года с двумя нулями на конце високосными не считаются, но года, кратные 400, всё же считаются високосными. Вся эта заумная словесня есть разложение числа дней в солнечном году в "почти десятичную дробь",
и разница между календарями соответствует последнему выписанному члену. Через несколько тысяч лет грегорианский календарь тоже будет врать на сутки, и если тогда ещё будет какой-нибудь папа, у него появится шанс обессмертить своё имя.
А вот еврейский календарь добавляет не день в году, а лунный месяц в отдельные "високосные" годы. Как именно? надо взять отношение солнечного года к лунному месяцу и разложить его в цепную дробь:
Приближение 7/19 - основа еврейского календаря (19-летний цикл, в котором 7 високосных годов), и ничего более лаконичного уже не придумать. Правда, точность такого приближения - хуже юлианского, ошибка в сутки набегает за 218 лет, что явно неприемлемо. Следующее цепное приближение было бы уже 123/334, и запомнить правило распределения високосных годов в рамках 334-летнего цикла уже было бы проблематично. Раввины отказались от цепных дробей и вместо этого решили подкручивать число дней в нескольких лунных месяцах (тоже нецелое число). Но поскольку Царицу Субботу никто не отменяет и не переносит на понедельник никогда и ни при каких условиях, поэтому она не может совпадать с определёнными праздниками, дальше начинаются игры совершенно другого уровня, в которых приходится искать рациональные приближения сразу к нескольким вещественным числам (солнечный год, лунный месяц, земной день, семёрка). Но это уже наука для избранных.