Учебники врут или Хитрая задача
Последние несколько лет имею дело с олимпиадами по астрономии разных уровней. Задачи большей частью попадаются рутинные и неинтересные. Либо вычислить что-то сложное, либо знать что-то необычное. Но подлинно олимпиадной является такая, которая не требуется экстраординарных познаний, но требует лишь их применения к необычной ситуации.
Вот пример из недавнего. Задача предлагалась на муниципальном туре в Казани в 2015 году. Мы привыкли, что день летнего солнцестояния приходится на 22 июня. Так написано во многих учебниках: Воронцов-Вельяминов, Страут, 2018, с. 32; Чаругин, 2017, с. 23; Язев и др., 2017, с 69; Засов, Кононович, 2017, с. 43-44. А что же на самом деле? За 16 лет, с 2010 по 2025, летнее солнцестояние 12 лет происходит 21 июня, 4 раза - 20 июня и ни разу - 22! Из этого следует два вывода. Первый: авторы учебников тупо переписывают этот раздел из учебников начала-середины XX века, что несомненно следует поставить им в вину. Второй: смещение даты равноденствия к более ранним необходимо объяснить. Участником олимпиады предлагалось дать такое объяснение. К моему удивлению, не только школьники, но и более квалифицированные люди обычно не знали, с какой стороны подойти к проблеме. Поэтому ниже даю полное объяснение. Дьявол, как обычно, в деталях.
Итак, промежуток времени от одного равноденствия до другого, или, что тоже, от одного солнцестояния до другого, а в общем - от одной эклиптической долготы Солнца до точно такой же, называется тропическим годом1. Он очень медленно меняется со временем, и в нашу эпоху равен 365,2422 средних солнечных суток. Стало быть, если в какой-то момент времени T случилось солнцестояние, то следующее будет в T+365,2422. Но календарный год содержит только целое число суток, причем либо 365, либо 366. Причем, если в какой-то год равноденствие пришлось на дату D, то в следующем оно может быть как в ту же дату D, так и в D+1 (если следующий год простой), так и в предыдущую D-1, если следующий год високосный. Лучше всего пояснить это примером. В 2010 году летнее солнцестояние было 21 июня в 11:28 по всемирному времени. Следующее будет через 365,2422 дня, т.е. 365 дней 5 часов 48,8 минут, иными словами, 21 июня в 17:16 (год 2011 простой, в феврале там 28 дней, поэтому от 21.06.2010 до 21.06.2011 пройдет 365 дней). Следующее будет еще через 365 дней 5 часов 48,8 минут, но так как в феврале 2012 года будет один лишний день, то отсчитав 365 дней от 21.06.2011, мы придем только в 20.06.2012. А для получения времени нужно прибавить к 17:16 еще 5:48, и получится 20.06.2012 23:05. Прибавив наш интервал к этому моменту, получим солнцестояние следующего года 21.06.2013 4:54. Наконец, еще через год, 21.06.2014 10:43.
Пройдя через четырехлетний календарный цикл, мы вернулись почти к тому же моменту, с которого начали:
21.06.2010 11:28
21.06.2014 10:43
Но лишь почти. Мы объяснили, почему солнцестояние гуляет по двум датам, но не объяснили, как оно с 22-21 июня в прошлом веке переползло в 21-20. Объяснение переползания кроется в слове "почти". Продолжим таблицу моментов с интервалом 4 года:
21.06.2010 11:28
21.06.2014 10:43
21.06.2018 9:58
21.06.2022 9:13
21.06.2026 8:28
21.06.2030 7:43
21.06.2034 6:58
21.06.2038 6:13
21.06.2042 5:28
21.06.2046 4:43
21.06.2050 3:58
Видно, что за четыре года момент солнцестояние сдвигается назад примерно на 45 минут. Почему? Средняя продолжительность календарного года равна (3·365+366)/4=365,25 суток, что длиннее тропического на 365,25-365,2422=0,0078 суток, т.е. 11 с небольшим минут, что дает 45 минут за 4 года. Иначе говоря, интервал от одного календарного момента, выражаемого датой и временем, до точно такого же, но через 4 года, больше, чем от одного солнцестояния до другого, на 45 минут. Следовательно, спустя 4 года мы зафиксируем момент солнцестояния на 45 минут раньше, что и показывает приведенная таблица. А внутри четырехлетки, как показано выше, солнцестояние может приходиться и на 20 июня.
По прошествии достаточного количества лет 45-минутки заведут нас в предыдущие сутки, что и произошло на границе веков. Продолжая таблицу, мы увидим, что в 2074 году солнцестояние сместится с 20-21 июня на 19-20. А дальше? А дальше вступят с силу правила григорианского календаря. Мы видели ранее, что в обычный год солнцестояние сдвигается по календарю вперед, високосный же сдвигает момент назад. 2100 год високосным не будет, соответственно, ожидаемого сдвига назад не произойдет, и мы опять вместо 19-20 придем к 20-21 июня.
Собственно, описанный здесь сдвиг назад по календарю, только не солнцестояния, а равноденствия, привел в XVI в. к введению григорианского календаря. Равноденствие, в IV веке приходящееся на 21 марта, в XVI уехало на 10 дней в 11 марта, что вызвало затруднения в определении даты пасхи.
1 На самом деле это не так. По астрономическим ежегодникам (или онлайн-сервисам) можно проследить, что интервал между двумя равноденствиями почти никогда не равен 365,2422, а отличается от этого значения на несколько минут в ту или другую сторону. Причина этого - в неравномерности прецессии (раньше её - неравномерность - называли нутацией) и в периодических возмущениях орбиты Земли другими планетами. Точное астрономическое определение тропического года выглядит, поэтому, иначе. Кроме того, значения, используемые далее в вычислениях, так же отличаются от действительных на несколько минут, однако, суть движения солнцестояния по календарю передают совершенно правильно. Оригинал этого сообщения находится здесь.
Вот пример из недавнего. Задача предлагалась на муниципальном туре в Казани в 2015 году. Мы привыкли, что день летнего солнцестояния приходится на 22 июня. Так написано во многих учебниках: Воронцов-Вельяминов, Страут, 2018, с. 32; Чаругин, 2017, с. 23; Язев и др., 2017, с 69; Засов, Кононович, 2017, с. 43-44. А что же на самом деле? За 16 лет, с 2010 по 2025, летнее солнцестояние 12 лет происходит 21 июня, 4 раза - 20 июня и ни разу - 22! Из этого следует два вывода. Первый: авторы учебников тупо переписывают этот раздел из учебников начала-середины XX века, что несомненно следует поставить им в вину. Второй: смещение даты равноденствия к более ранним необходимо объяснить. Участником олимпиады предлагалось дать такое объяснение. К моему удивлению, не только школьники, но и более квалифицированные люди обычно не знали, с какой стороны подойти к проблеме. Поэтому ниже даю полное объяснение. Дьявол, как обычно, в деталях.
Итак, промежуток времени от одного равноденствия до другого, или, что тоже, от одного солнцестояния до другого, а в общем - от одной эклиптической долготы Солнца до точно такой же, называется тропическим годом1. Он очень медленно меняется со временем, и в нашу эпоху равен 365,2422 средних солнечных суток. Стало быть, если в какой-то момент времени T случилось солнцестояние, то следующее будет в T+365,2422. Но календарный год содержит только целое число суток, причем либо 365, либо 366. Причем, если в какой-то год равноденствие пришлось на дату D, то в следующем оно может быть как в ту же дату D, так и в D+1 (если следующий год простой), так и в предыдущую D-1, если следующий год високосный. Лучше всего пояснить это примером. В 2010 году летнее солнцестояние было 21 июня в 11:28 по всемирному времени. Следующее будет через 365,2422 дня, т.е. 365 дней 5 часов 48,8 минут, иными словами, 21 июня в 17:16 (год 2011 простой, в феврале там 28 дней, поэтому от 21.06.2010 до 21.06.2011 пройдет 365 дней). Следующее будет еще через 365 дней 5 часов 48,8 минут, но так как в феврале 2012 года будет один лишний день, то отсчитав 365 дней от 21.06.2011, мы придем только в 20.06.2012. А для получения времени нужно прибавить к 17:16 еще 5:48, и получится 20.06.2012 23:05. Прибавив наш интервал к этому моменту, получим солнцестояние следующего года 21.06.2013 4:54. Наконец, еще через год, 21.06.2014 10:43.
Пройдя через четырехлетний календарный цикл, мы вернулись почти к тому же моменту, с которого начали:
21.06.2010 11:28
21.06.2014 10:43
Но лишь почти. Мы объяснили, почему солнцестояние гуляет по двум датам, но не объяснили, как оно с 22-21 июня в прошлом веке переползло в 21-20. Объяснение переползания кроется в слове "почти". Продолжим таблицу моментов с интервалом 4 года:
21.06.2010 11:28
21.06.2014 10:43
21.06.2018 9:58
21.06.2022 9:13
21.06.2026 8:28
21.06.2030 7:43
21.06.2034 6:58
21.06.2038 6:13
21.06.2042 5:28
21.06.2046 4:43
21.06.2050 3:58
Видно, что за четыре года момент солнцестояние сдвигается назад примерно на 45 минут. Почему? Средняя продолжительность календарного года равна (3·365+366)/4=365,25 суток, что длиннее тропического на 365,25-365,2422=0,0078 суток, т.е. 11 с небольшим минут, что дает 45 минут за 4 года. Иначе говоря, интервал от одного календарного момента, выражаемого датой и временем, до точно такого же, но через 4 года, больше, чем от одного солнцестояния до другого, на 45 минут. Следовательно, спустя 4 года мы зафиксируем момент солнцестояния на 45 минут раньше, что и показывает приведенная таблица. А внутри четырехлетки, как показано выше, солнцестояние может приходиться и на 20 июня.
По прошествии достаточного количества лет 45-минутки заведут нас в предыдущие сутки, что и произошло на границе веков. Продолжая таблицу, мы увидим, что в 2074 году солнцестояние сместится с 20-21 июня на 19-20. А дальше? А дальше вступят с силу правила григорианского календаря. Мы видели ранее, что в обычный год солнцестояние сдвигается по календарю вперед, високосный же сдвигает момент назад. 2100 год високосным не будет, соответственно, ожидаемого сдвига назад не произойдет, и мы опять вместо 19-20 придем к 20-21 июня.
Собственно, описанный здесь сдвиг назад по календарю, только не солнцестояния, а равноденствия, привел в XVI в. к введению григорианского календаря. Равноденствие, в IV веке приходящееся на 21 марта, в XVI уехало на 10 дней в 11 марта, что вызвало затруднения в определении даты пасхи.
1 На самом деле это не так. По астрономическим ежегодникам (или онлайн-сервисам) можно проследить, что интервал между двумя равноденствиями почти никогда не равен 365,2422, а отличается от этого значения на несколько минут в ту или другую сторону. Причина этого - в неравномерности прецессии (раньше её - неравномерность - называли нутацией) и в периодических возмущениях орбиты Земли другими планетами. Точное астрономическое определение тропического года выглядит, поэтому, иначе. Кроме того, значения, используемые далее в вычислениях, так же отличаются от действительных на несколько минут, однако, суть движения солнцестояния по календарю передают совершенно правильно. Оригинал этого сообщения находится здесь.