[коллекция] семинар М.Катанаева
Речь пойдёт о недавнем семинаре ОТФ ИЯИ РАН:
21th of January, 2013, 15:30 seminar OTF INR RAS
M.O.Katanaev (Steklov Mathematical Institute of RAS)
Point massive particle in General Relativity.
Рассказывалась вот эта работа: http://arxiv.org/abs/1207.3481, на pdf статьи ниже будут ссылки ( Read more... )
21th of January, 2013, 15:30 seminar OTF INR RAS
M.O.Katanaev (Steklov Mathematical Institute of RAS)
Point massive particle in General Relativity.
Рассказывалась вот эта работа: http://arxiv.org/abs/1207.3481, на pdf статьи ниже будут ссылки ( Read more... )
Автор (М.К.) стартует с уравнения (6).
Говорит, что решением является функция (7).
Функция сингулярная, но не требующая доопределения, чтобы быть корректной обобщённой функцией
("доопределения" = "вычитаний" в терминах НН или "регуляризации" в терминах Гельфанда-Шилова;
NB: НН и Г-Ш употребляют термин "регуляризация" по-разному, мы будем следовать за НН, это удобней).
Начинаем проверять, что это решение.
Подставляем его в уравнение (6).
Лапласиан для обобщённой функции безопасен -- на выходе снова некоторая обобщённая функция. Она состоит из неинтегрируемой сингулярной функции ~r^-4, которую до обобщённой функции нужно ещё, в общем случае, доопределить (сделать "бесконечное вычитание").
Но тут это "вычитание" определено лапласианом.
Нам не важно, как оно выглядит при использовании, скажем, размазки дельты или в других регуляризациях. Определено и определено.
Теперь нелинейный член. И тут затык:
нелинейная комбинация оказывается неинтегрируемой,
и чтобы вставить её в уравнение
(про которое автор хочет, чтобы оно выполнялось в смысле обобщённых функций),
нужно доопределить её до обобщённой функции -- т.е. рукой ввести "вычитание", потому что никакого лапласиана, который сделал бы это за нас, тут нет.
Такое доопределение предполагает конечный произвол z * delta(x).
Любая фиксация этого произвола -- новый, независимый элемент задачи.
Чтобы получилось равенство, автор постулировал способ фиксации этого произвола через аналитическую регуляризацию (почему мы и намекнули на семинаре, что это надо оговорить в теореме 2.1).
Можно было бы сказать и так: доопределим эту r^-4, представив её в виде лапласиана от r^-2, чтобы произошло сокращение с вкладом исходного лапласиана, который изначально есть в уравнении. (В нашей записи речь чуточку невнятно идёт как раз об этом сокращении.)
В любом случае указанный конечный произвол разрушает связь между M в левой части, -- и M в правой части.
Ну, и все наши выводы остаются в силе.
Reply
Просмотрел статью Катанаева, кстати, выложена существенно дополненная новая версия, номера формул уже не совпадают с номерами из вашего поста, потом заглянул в Боголюбова-Ширкова.
Правильно ли я понял, что как раз тождества Уорда в электродинамике нужны, чтобы по-честному убить этот произвол, о котором у вас речь?
И правильно ли из этого следует тогда, что автор статьи зафиксировал этот произвол не совсем честно, удачно выбрав регуляризацию?
А ведь надо ещё показать, что фиксация не зависит от регуляризации?
Вот для тождеств Уорда показывается, что они не зависят от регуляризации.
Если наговорил чуши, то прощу прощения, я пока ещё только разбираюсь во всём этом.
Reply
Тождества Уорда накладывают одно ограничение на две произвольные константы, чтобы обеспечить дополнительное свойство -- калибровочную инвариантность конечного результата.
Иногда произвольных констант не хватает, чтобы удовлетворить ограничения -- например, аномалия Адлера-Бардина (тот самый Билл Бардин из Фермилаба, который у нас недавно профигурировал).
Тождества Уорда сами по себе стоят вне всяких регуляризаций, поэтому достаточно аккуратно разобраться с ними в любой одной корректной регуляризации.
А Катанаев зафиксировал произвол ... произвольно. От балды. И не понял этого.
Щас посмотрю, что он там поменял -- спасибо!
Reply
Собственно, принципиальное изменение возможно одно -- снять статью.
Но нормальный автор так свинтить своё эго не может 8D
Reply
1)Рассмотреть какую-нибудь другую регуляризацию
2)Показать что удачная фиксация произвола зависит/не зависит от регуляризации. Но, похоже, как вы объяснили, зависимость будет, что явно должно огорчить автора.
Эти мои замечания верны?
Вообще, меня заинтересовала эта тема: решить уравнения ОТО для точечной массы. Разберусь с регуляризациями, попробую сделать задачу по-честному, и посмотреть, что получится. По-крайней мере в то, что будет произвол я уже вроде въехал по Боголюбову-Ширкову.
Reply
Для фиксации произвола нужны внешние соображения.
Как калибровочная инвариантность, дающая тождества Уорда-Славнова-Тейлора, -- она совершенно внешняя по отношению к процедуре УФ вычитаний.
Здесь никаких внешних соображений нет.
Просто плохой сингулярный предел, зависящий от размазки.
Маленькое упражнение -- попытаться посмотреть, как там выглядит асимптотическое разложение -- должна быть зависимость от формы размазки в коэффициенте дельты.
Оно может быть забавно -- попытаться связать со спином и т.п.
Reply
Leave a comment