Рамануджан, великий индийский математик
Я обратился к хорошему специалисту в области математики. "Разъясните мне недодумке, почему все серьезные статьи о Сринавасе Рамануджане говорят, что формула его
1 + 2 + 3 + 4 +...= - 1/ 12
вовсе не чушь собачья, а серьезное умозаключение?
И получил толковый ответ. Вот он.
О ряде. 1+2+3+4+…=-1/12 Странно, не правда ли?
Сначала о другом.
Вот есть известная функция sinx/x (1)
Её по-хорошему и надо вычислять по этой формуле. Она определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х=0. Что же при нуле:
sin0/0 = 0/0 ?
Неопределённость. В том смысле, что это можно считать любым значением а по своему усмотрению. Действительно, с/d= a
означает, что ad=c
А у нас 0/0 = a означает, что а0=0, то есть верно при любом а. Так что можно считать, что
sin0/0 = a
а - любое число. Но хочется, чтобы было какое-то одно определённое было.
Какое же выбрать? А давайте выберем такое, чтобы эта функция Sin х / х была всюду непрерывна, ну так ХОЧЕТСЯ. Тогда придётся взять а=1. И получается
sinx/x при х не равном 0 легко вычисляется
и она же равна 1 при х=0. (2)
Так вот теперь вопрос, действительно ли
sin0 / 0= 1 ? (3)
Конечно же, нет. Здесь трюк. По определению, мы должны вычислять
sin x / x при ненулевых х по формуле (1). А значение sinx/ x брать из (2). Но неправильно утверждать, что верно (3). Ведь это значение не этой дроби, а значение ПРОДОЛЖЕНИЯ функции sinx/x на х=0, полученное из других соображений, а не из исходного определения (1). Ведь из других соображений может получиться, например, 15. Так что же, будем считать, что и sin0 / 0= 15 ???
Теперь об этом ряде 1+2+3+4+… Есть такая дзета-функция Римана:
Дз (s) =1/1s +1/2s + 1/3s + (4)
По-хорошему её значения и надо вычислять по определению, то есть по формуле (4). Но этот ряд сходится, то есть суммируется только при s не равном 0. Ну, на этом бы и успокоиться. Ан нет. Решили продолжить эту функцию аж на всю комплексную плоскость, считая, что она должна при этом иметь некоторые приятные свойства (примерно как это было сделано для sinx/x. И вот оказалось, что при этом продолжении
Дз (-1) = - 1/12 (5)
Однако из (4) имеем
Дз (-1) = 1/1-1 +1/2 -1 + 1/3-1 + = 1+ 2 + 3 + 4+... (6)
Стал быть,
1+2 + 3 + 4 + ...= - 1/12 (7)
Ура!
Такая же фигня, как и ранее. Вместо того, чтобы вычислять значения Дз( S ) по определению (4), предлагается значение суммы ряда в правой части (4) считать равными функции в левой части этой формулы. А ведь сама эта функция получена какими-то сомнительными рассуждениями, уже не очень относящимися к исходному её определению. Правда, надо отдать должное, что эта продолженная функция на области s>1 совпадает с исходным определением (4). На то это и есть ПРОДОЛЖЕНИЕ.
Такой же трюк проделан и с гамма-функцией как продолжением факториала, n! исходно определённого только для натуральных n.
И тому масса других примеров.
1 + 2 + 3 + 4 +...= - 1/ 12
вовсе не чушь собачья, а серьезное умозаключение?
И получил толковый ответ. Вот он.
О ряде. 1+2+3+4+…=-1/12 Странно, не правда ли?
Сначала о другом.
Вот есть известная функция sinx/x (1)
Её по-хорошему и надо вычислять по этой формуле. Она определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х=0. Что же при нуле:
sin0/0 = 0/0 ?
Неопределённость. В том смысле, что это можно считать любым значением а по своему усмотрению. Действительно, с/d= a
означает, что ad=c
А у нас 0/0 = a означает, что а0=0, то есть верно при любом а. Так что можно считать, что
sin0/0 = a
а - любое число. Но хочется, чтобы было какое-то одно определённое было.
Какое же выбрать? А давайте выберем такое, чтобы эта функция Sin х / х была всюду непрерывна, ну так ХОЧЕТСЯ. Тогда придётся взять а=1. И получается
sinx/x при х не равном 0 легко вычисляется
и она же равна 1 при х=0. (2)
Так вот теперь вопрос, действительно ли
sin0 / 0= 1 ? (3)
Конечно же, нет. Здесь трюк. По определению, мы должны вычислять
sin x / x при ненулевых х по формуле (1). А значение sinx/ x брать из (2). Но неправильно утверждать, что верно (3). Ведь это значение не этой дроби, а значение ПРОДОЛЖЕНИЯ функции sinx/x на х=0, полученное из других соображений, а не из исходного определения (1). Ведь из других соображений может получиться, например, 15. Так что же, будем считать, что и sin0 / 0= 15 ???
Теперь об этом ряде 1+2+3+4+… Есть такая дзета-функция Римана:
Дз (s) =1/1s +1/2s + 1/3s + (4)
По-хорошему её значения и надо вычислять по определению, то есть по формуле (4). Но этот ряд сходится, то есть суммируется только при s не равном 0. Ну, на этом бы и успокоиться. Ан нет. Решили продолжить эту функцию аж на всю комплексную плоскость, считая, что она должна при этом иметь некоторые приятные свойства (примерно как это было сделано для sinx/x. И вот оказалось, что при этом продолжении
Дз (-1) = - 1/12 (5)
Однако из (4) имеем
Дз (-1) = 1/1-1 +1/2 -1 + 1/3-1 + = 1+ 2 + 3 + 4+... (6)
Стал быть,
1+2 + 3 + 4 + ...= - 1/12 (7)
Ура!
Такая же фигня, как и ранее. Вместо того, чтобы вычислять значения Дз( S ) по определению (4), предлагается значение суммы ряда в правой части (4) считать равными функции в левой части этой формулы. А ведь сама эта функция получена какими-то сомнительными рассуждениями, уже не очень относящимися к исходному её определению. Правда, надо отдать должное, что эта продолженная функция на области s>1 совпадает с исходным определением (4). На то это и есть ПРОДОЛЖЕНИЕ.
Такой же трюк проделан и с гамма-функцией как продолжением факториала, n! исходно определённого только для натуральных n.
И тому масса других примеров.