Dec 05, 2023 19:12
Думаю, мне удалось доказать теорему Ферма.
В чём суть данной задачи? Всем известна теорема Пифагора a²+b²=c². Пьер Ферма построил свою теорему на базе теоремы Пифагора, но вместо степени 2 взял степень n. И сформулировал он свою задачу таким образом:
При степени n>2 уравнение aⁿ+bⁿ=cⁿ невозможно получить в целых числах a, b и c. Нужно понять, верное это утверждение или ложное, и либо доказать его, либо опровергнуть. Итак, перед нами стоит задача доказать, что в этом уравнении либо "a", либо "b", либо "c" будут нецелыми. Если это удастся, мы докажем теорему Ферма.
Левую часть уравнения aⁿ+bⁿ можно представить, как среднее арифметическое между двумя членами и записать, например, как dⁿ+dⁿ. Объясню поподробнее... Если мы возьмём n=3, то перед нами по сути будет сумма двух кубов, имеющих разный объём. Если сложить их общий объём и разделить на 2, то мы получим два одинаковых куба с точно таким же общим объёмом, как и у первых двух. Получится a³+b³=d³+d³=c³. Этот же принцип работает и со всеми остальными степенями.
aⁿ+bⁿ=dⁿ+dⁿ
dⁿ+dⁿ=cⁿ
2dⁿ=cⁿ
c=d*ⁿ√2 (корень в степени n).
При умножении d на ⁿ√2 будет получаться иррациональное, то есть нецелое число. Осталось доказать то, что d ни при каких условиях не может быть равно d=ⁿ√(2˟ⁿ¯1). Если бы это было так, то это разрушило бы всё наше доказательство теоремы, так как при умножении на ⁿ√2, получалось бы целое число. Пояснение: в скобках после 2 написано xn. Это означает, что вместо x может быть любое числовое значение.
Итак, если d=ⁿ√2˟ⁿ¯¹,
то c=ⁿ√(2˟ⁿ¯¹)(ⁿ√2).
Значит cⁿ=2(2˟ⁿ¯¹)ⁿ=2˟ⁿ
Если aⁿ+bⁿ=cⁿ, то aⁿ+bⁿ=2˟ⁿ.
1) Если aⁿ и bⁿ чётные, то попробуем их уменьшить и свести до своего минимального значения. Представим, что a=2m, b=2l. Числа m и l - это двукратно уменьшенные a и b.
Тогда (2m)ⁿ+(2l)ⁿ=2ⁿ.
2ⁿmⁿ+2ⁿlⁿ=2˟ⁿ
mⁿ+lⁿ=2˟ⁿ¯²ⁿ.
Мы получили, в сущности, то же самое выражение, что и aⁿ+bⁿ=2˟ⁿ, потому что сколько бы степеней мы не отняли у 2˟ⁿ, это число по-прежнему будет двойкой в каком-то n-количестве степеней. Если мы проделаем эту операцию бесконечное количество раз, то мы вновь и вновь будем приходить к этому выражению. Но это невозможно, учитывая, что любые числа aⁿ или bⁿ, если их кратно уменьшать, рано или поздно должны прийти к своему минимальному значению. Это противоречие доказывает, что при чётных aⁿ и bⁿ их сумма не может быть равна 2˟ⁿ. Если мы, всё же, по принципу крайнего предположим, что нам удастся дойти до самых минимальных значений aⁿ и bⁿ, то они превратятся в нечётные числа, потому что какими бы чётными числами не были aⁿ и bⁿ, они всегда содержат в себе 2ⁿ и нечётный множитель (любой чётный множитель тоже содержит в себе двойку). Отсюда вытекает второй пункт:
2) Если aⁿ и bⁿ нечётные.
Если m - чётное число, то a=m+1. Вместе aⁿ и bⁿ должны образовать чётное число. Тогда
aⁿ=(m+1)ⁿ=m²+C¹ₙmⁿ¯¹*1¹+C²ₙmⁿ¯²*1²+Cᵏₙmⁿ¯ᵏ*1ᵏ+...+1ⁿ
Как видим, образуется остаток 1.
aⁿ и bⁿ будут в сумме давать остаток 2. При делении на чётное число 2ⁿ не может образовывать остатка, если n>1. А он больше по условию задачи.
3) Если aⁿ - чётное, а bⁿ - нечётное. Они не смогут в сумме дать 2ⁿ, поскольку сумма чётного и нечётного чисел даёт нечётное число.
Получается, что ни в каких случаях cⁿ не может быть равным 2˟ⁿ, а значит d не может быть равно ⁿ√2˟ⁿ¯¹ и давать целое число при умножении на ⁿ√2.
Подытожим! Любая степень n в уравнении aⁿ+bⁿ=cⁿ всегда будет приводить к уравнению c=d*ⁿ√2 без исключений. Следовательно, теорема Ферма о том, что при степени n>2 уравнение aⁿ+bⁿ=cⁿ невозможно получить в целых числах a, b и c, доказана.
(с) Владимир Гаппов
#теорема_ферма,
#теоремаферма