Обратимость полиномиальных отображений
Поскольку администрация ЖЖ недавно приняла решение удалять неактивные журналы и сообщества (по окончательному варианту их правила к этому сообществу оно не относится, но мало ли что придёт им в голову в будущем), я решила чуть оживить виртуалиум и скопировать сюда недавнюю запись из своего журнала, в слегка отредактированном виде.
Недавно я услышала, что если полиномиальное отображение Cn -> Cn биективно, то обратное тоже полиномиально. Очень удивилась. Стала пытаться выяснить, с чего бы это. Мне посоветовали воспользоваться основной теоремой Зарисского. В результате родилось такое доказательство более общего факта:
Пусть k -- алгебраически замкнутое поле характеристики 0, X, Y -- квазипроективные многообразия над k, X неприводимо, Y нормально. Пусть f: X->Y -- регулярное отображение, задающее биекцию между множествами замкнутых точек X и Y. Тогда f -- изоморфизм.
Идея доказательства:
1) с помощью теоремы Зарисского всё сводится к ситуации, когда f конечен,
2) из конечности и биективности f следует, что f -- бирациональный изоморфизм,
3) бирациональный конечный морфизм на нормальное многообразие должен быть изоморфизмом.
Доказательство.
1. f квазиконечен. По основной теореме Зарисского (в форме Гротендика) f можно представить как композицию X -> X' -> Y, где X -> X' -- открытое вложение, g: X' -> Y -- конечный морфизм.
2. Обозначим A = X' - X, B = g(A), V = Y - B, U =g-1(V) ⊂ X.
Так как конечные морфизмы замкнуты, B замкнуто в Y, V открыто в Y, U открыто в X.
Из неприводимости X следует неприводимость X', так что dim A < dim X, dim B ≤ dim A < dim X = dim Y, и V непусто.
g|U: U -> V -- конечное отображение, задающее биекцию между множествами замкнутых точек U и V.
3. По лемме (см.ниже), g|U индуцирует изоморфизм полей k(V) -> k(U), то есть g: X' -> Y -- бирациональный изоморфизм. Кольца k[X'] и k[Y] оба лежат в поле k(Y), причём первое кольцо является конечным расширением второго. Но k[Y] целозамкнуто в k(Y), так что k[X'] = k[Y], и g -- изоморфизм.
Так как g(X) = Y, получаем X' = X, и f -- изоморфизм, ч. и т.д.
4. Лемма. Пусть k -- алгебраически замкнутое поле характеристики 0, X, Y -- квазипроективные многообразия над k, X неприводимо, f: X->Y -- конечный доминантный морфизм, степень расширения k(X) / k(Y) (индуцированного этим морфизмом) равна n. Тогда существует открытое подмножество V ⊂ Y такое, что слой f над каждой замкнутой точкой y ∈ V состоит ровно из n точек.
Доказательство леммы. (подозреваю, что я тут доказываю всякие стандартные вещи, ну да ладно.)
Пусть α ∈ k(X) -- примитивный элемент расширения k(X) / k(Y), q(α) = αn + βn-1αn-1 + ... = 0 -- соответствующий неприводимый многочлен, βi ∈ k(Y).
Пусть U'' -- открытое подмножество X, на котором регулярна α. Как и в шаге 2, V' = Y - f(X-U'') открыто и плотно в Y, и U' = f-1(V') ⊂ U''.
Пусть a1, ... am ∈ k[U'] порождают k[U'] как модуль над k[V']. ai = Σ bijαj для некоторых bij ∈ k(Y).
Возьмём в качестве V открытое подмножество V', на котором регулярны все βi и bij и не обращается в 0 дискриминант многочлена q. Тогда для U = f-1(V) кольцо k[U] = k[V][t] / q(t,y). Для любого y ∈ V все корни q(t,y) различны, так что f-1(y) состоит ровно из n точек, ч. и т.д.
Поправьте, если я где-то не права.
Недавно я услышала, что если полиномиальное отображение Cn -> Cn биективно, то обратное тоже полиномиально. Очень удивилась. Стала пытаться выяснить, с чего бы это. Мне посоветовали воспользоваться основной теоремой Зарисского. В результате родилось такое доказательство более общего факта:
Пусть k -- алгебраически замкнутое поле характеристики 0, X, Y -- квазипроективные многообразия над k, X неприводимо, Y нормально. Пусть f: X->Y -- регулярное отображение, задающее биекцию между множествами замкнутых точек X и Y. Тогда f -- изоморфизм.
Идея доказательства:
1) с помощью теоремы Зарисского всё сводится к ситуации, когда f конечен,
2) из конечности и биективности f следует, что f -- бирациональный изоморфизм,
3) бирациональный конечный морфизм на нормальное многообразие должен быть изоморфизмом.
Доказательство.
1. f квазиконечен. По основной теореме Зарисского (в форме Гротендика) f можно представить как композицию X -> X' -> Y, где X -> X' -- открытое вложение, g: X' -> Y -- конечный морфизм.
2. Обозначим A = X' - X, B = g(A), V = Y - B, U =g-1(V) ⊂ X.
Так как конечные морфизмы замкнуты, B замкнуто в Y, V открыто в Y, U открыто в X.
Из неприводимости X следует неприводимость X', так что dim A < dim X, dim B ≤ dim A < dim X = dim Y, и V непусто.
g|U: U -> V -- конечное отображение, задающее биекцию между множествами замкнутых точек U и V.
3. По лемме (см.ниже), g|U индуцирует изоморфизм полей k(V) -> k(U), то есть g: X' -> Y -- бирациональный изоморфизм. Кольца k[X'] и k[Y] оба лежат в поле k(Y), причём первое кольцо является конечным расширением второго. Но k[Y] целозамкнуто в k(Y), так что k[X'] = k[Y], и g -- изоморфизм.
Так как g(X) = Y, получаем X' = X, и f -- изоморфизм, ч. и т.д.
4. Лемма. Пусть k -- алгебраически замкнутое поле характеристики 0, X, Y -- квазипроективные многообразия над k, X неприводимо, f: X->Y -- конечный доминантный морфизм, степень расширения k(X) / k(Y) (индуцированного этим морфизмом) равна n. Тогда существует открытое подмножество V ⊂ Y такое, что слой f над каждой замкнутой точкой y ∈ V состоит ровно из n точек.
Доказательство леммы. (подозреваю, что я тут доказываю всякие стандартные вещи, ну да ладно.)
Пусть α ∈ k(X) -- примитивный элемент расширения k(X) / k(Y), q(α) = αn + βn-1αn-1 + ... = 0 -- соответствующий неприводимый многочлен, βi ∈ k(Y).
Пусть U'' -- открытое подмножество X, на котором регулярна α. Как и в шаге 2, V' = Y - f(X-U'') открыто и плотно в Y, и U' = f-1(V') ⊂ U''.
Пусть a1, ... am ∈ k[U'] порождают k[U'] как модуль над k[V']. ai = Σ bijαj для некоторых bij ∈ k(Y).
Возьмём в качестве V открытое подмножество V', на котором регулярны все βi и bij и не обращается в 0 дискриминант многочлена q. Тогда для U = f-1(V) кольцо k[U] = k[V][t] / q(t,y). Для любого y ∈ V все корни q(t,y) различны, так что f-1(y) состоит ровно из n точек, ч. и т.д.
Поправьте, если я где-то не права.