трансцендентность числа "пи"
Это вторая часть текста, продолжающая предыдущий пост в этом же сообществе.
Мне долгое время казалось, что рассуждение относительно "пи" существенно сложнее, однако выяснилось, что это не так. Приёмы здесь могут быть применены фактически те же самые. Мне пришлось разыскать брошюру Г.И.Дринфельда, воскресить в памяти требуемое доказательство и несколько адаптировать его. Я считаю, что в итоге получилось нечто, что нетрудно запомнить и в нужный момент воспроизвести (например, на лекции, ничего перед этим не перечитывая).
Далее под "катом" я помещаю доказательство, причём первые три абзаца, содержащие некую "эвристику", можно при чтении спокойно пропустить. К тому же здесь повторяется описание одной из идей, уже звучавшей в предыдущем посте.
В доказательстве трансцендентности числа "e" используется такой приём как домножение многочлена от e с целыми коэффициентами на некоторый специально подобранный несобственный интеграл. Далее показывалось, что результате умножения получается сумма ненулевого целого числа (оно там являет собой сумму целочисленных слагаемых, среди которых все делятся на некоторое простое число p, кроме одного из них), и числа, модуль которого строго меньше 1. Отсюда всё следует, но возникает вопрос: нельзя ли от использования этого интеграла избавиться?
Оказывается, что сделать это можно, идя примерно по следующему пути. Разложенные в ряд степени числа e домножаются на n!, и при этом возникают суммы некоторых заведомо целых чисел и "хвостов". Далее эти же степени домножаются на (n+1)!, (n+2)!, ... и так далее, а затем берётся подходящая линейная комбинация всех выражений. Можно добиться того, что те члены сумм, где не наличествует в явном виде сомножитель, делящийся на (n+1)!, взаимно сократятся, но в одном месте останется слагаемое, делящееся всего лишь на n!. Затем то, что получилось, следует разделить на n!.
Такой способ возникает, если проанализировать, что стоит за использованными приёмами. И отсюда становится ясно, что использование несобственного интеграла есть очень элегантный трюк, позволяющий избежать явного выписывания сумм, коэффициентов, а также их подбора на основании составления системы линейных уравнений. Однако в доказательстве из брошюры для случая числа π, интеграл уже не используется, что приводит к многостраничным выкладкам. Поэтому совершенно естественно попытаться этот интеграл вернуть. При этом возникает небольшое техническое препятствие: из-за привлечения комплексных чисел получается вроде бы необходимость интегрирования в комплексной области, что нежелательно. В итоге выясняется, что всего этого легко избежать, а интегрировать достаточно лишь в вещественной области. Правда, при этом интегрировать приходится комплекснозначные функции. Но это ни к каким трудностям не ведёт. Здесь всё прямо сводится к свойствам определённых интегралов, и на этот случай непосредственно распространяется как формула Ньютона - Лейбница, так и оценка сверху для модуля интеграла.
А теперь -- собственно доказательство, которое начинается с легко запоминаемого приёма, идущего от Линдемана, где из всех выражений вскоре исчезает π и остаётся лишь e.
Предполагая, что π алгебраично (над полем рациональных чисел), мы можем заключить, что алгебраическим будет также число iπ. Пусть m>=1 -- степень минимального многочлена h(x) с целыми коэффициентами, корнем которого является iπ. Мы не вводим обозначений для всех коэффициентов многочлена, ограничившись лишь выбором обозначения c для его старшего коэффициента (оно будет часто повторяться), а также мы обозначим через β_1, ..., β_m все корни этого многочлена. Для удобства можно считать, что β_1=iπ, β_2=-iπ.
С учётом того, что e^{iπ}=-1, произведение (e^{β_1}+1)...(e^{β_m}+1) оказывается равно нулю. Раскрывая скобки, мы получим равенство нулю некоторой суммы числа 1 и степеней e с показателями, которые в свою очередь суть суммы чисел β с нижними индексами. Часть показателей заведомо обращается в ноль за счёт того, что β_1+β_2=0; все остальные показатели мы обозначим через α_1, ..., α_k (их значения могут повторяться). В итоге возникает равенство вида A+e^{α_1}+...+e^{α_k}=0, где A -- целое положительное число, а α_1, ..., α_k -- отличные от нуля алгебраические числа, удовлетворяющие некоторому условию, которое мы сейчас укажем.
Прежде всего, легко понять, что значение любого симметрического многочлена от cβ_1,..., cβ_m с целыми коэффициентами является целым числом. Отсюда следует, что F(cα_1,...,cα_k) будет целым для всякого симметрического многочлена над Z от k переменных. Последнее вытекает из того, что если дополнить список α_1, ..., α_k, рассматриваемый как список всевозможных сумм корней многочлена h(x), теми суммами, которые обратились в ноль, то весь полный список будет инвариантен (с точностью до порядка следования) относительно любых перестановок корней. И потому любой симметрический многочлен над Z принимает целые значения на полном списке сумм, умноженных на c. Однако "зануление" некоторых переменных превращает симметрический многочлен в симметрический, откуда всё следует.
Поэтому теперь надо доказать невозможность равенства A+e^{α_1}+...+e^{α_k}=0 в обозначениях выше, с учётом легко запоминаемого свойства чисел α_1,..., α_k из предыдущего абзаца. Для этого мы домножим левую часть нашего равенства на некоторое специально подобранное выражение, доказывая, что произведение будет отлично от нуля. Это даст требуемое противоречие с предположением об алгебраичности числа π.
Множитель, о котором идёт речь, будет у нас иметь вид несобственного интеграла от 0 до бесконечности от функции e^{-x}f(x), где f(x) есть многочлен. Вид этого многочлена мы пока уточнять не будем, и явное выражение для f(x) возникнет в процессе рассуждения.
Пусть a -- положительное вещественное число. Исходный несобственный интеграл, обозначаемый далее через I, можно представить в виде суммы двух слагаемых, первое из которых есть интеграл от 0 до a, а второе -- интеграл от a до бесконечности. Произведём в первом слагаемом замену переменной x=at, а во втором -- замену x=t+a. Тогда I будет равно сумме числа a, умноженного на интеграл от 0 до 1 от e^{-at}f(at) и числа e^{-a}, умноженного на интеграл от 0 до бесконечности от e^{-t}f(t+a).
С учётом того, что обычные правила дифференцирования автоматически переносятся на случай комплекснозначных функций вещественного аргумента, и того же касаетельно формулы Ньютона - Лейбница, легко проверить, что разложение I в сумму двух слагаемых имеет место для любого комплексного a. Это следует из явного вида первообразной Ф(x) для функции e^{-x}f(x). А именно, если d есть степень f(x), то Ф(x) есть произведение -e^{-x} на сумму f(x)+f'(x)+...+f^{(d)}(x) всех производных функции f от нулевой до d-й. После чего непосредственное выражение интегралов через значения функции Ф приводит к очевидному тождеству.
Мы будем далее придавать параметру a значения 0, α_1,..., α_k. При каждом из них модуль первого слагаемого в разложении I представляет собой величину порядка O(||f||), где ||f|| есть максимум модуля функции f, рассматриваемой здесь уже как функция комплексного аргумента на круге радиусом R, где R есть максимум модулей чисел α_1,..., α_k.
Теперь, домножая выражение A+e^{α_1}+...+e^{α_k} на I и собирая вместе вторые слагаемые для разложений I, мы получим сумму величины порядка O(||f||) и интеграла от 0 до бесконечности от e^{-t}(Af(t)+f(t+α_1)+...+f(t+α_k)). Выберем теперь в качестве f(x) многочлен g(x)/(p-1)!, где g(x)=c^{kp+p-1}x^{p-1}(x-α_1)^{p}...(x-α_k)^{p}.
Коэффициентами g(x) при степенях x будут симметрические многочлены над Z от сα_1,..., сα_k, поэтому они являются целыми. Далее, g(x) будет начинаться c (p-1)-й степени x, так как среди чисел α_1,..., α_k нет нулевых. Учитывая тот факт, что интеграл от функции e^{-t}t^n, взятый от 0 до бесконечности, равен n! (на это мы опирались и в предыдущем доказательстве), получаем, что интеграл от Ae^{-t}f(t), с теми же пределами, есть целое число, которое не будет делиться на p, если p выбрано достаточно большим.
Далее, каждый из многочленов g(t+α_s), где s=1,...,k, будет начинаться уже с p-й степени t. Хотя коэффициенты здесь уже не обязаны быть целыми, но у суммы g(t+α_1)+...+g(t+α_k) они уже будут таковыми, поскольку коэффициенты при степенях t здесь являются симметрическими многочленами над Z от cα_1,..., cα_k. В итоге, интегрируя e^{-t}(f(t+α_1)+...+f(t+α_k)), мы получим целое число, делящееся на p.
Таким образом, произведение (A+e^{α_1}+...+e^{α_k})I оказывается суммой величины порядка O(||f||) и некоторого целого числа, отличного от нуля -- по причине того, что оно не делится на p. Учитывая тот факт, что ||f|| мажорируется величиной вида B^p/(p-1)! для некоторой константы B, мы можем сделать норму f сколь угодно малой при достаточно большом p, что завершает рассуждение.
Завершая набор этого текста, я поймал себя на мысли, что это доказательство намного более приятно излагать устно нежели записывать! :)
Мне долгое время казалось, что рассуждение относительно "пи" существенно сложнее, однако выяснилось, что это не так. Приёмы здесь могут быть применены фактически те же самые. Мне пришлось разыскать брошюру Г.И.Дринфельда, воскресить в памяти требуемое доказательство и несколько адаптировать его. Я считаю, что в итоге получилось нечто, что нетрудно запомнить и в нужный момент воспроизвести (например, на лекции, ничего перед этим не перечитывая).
Далее под "катом" я помещаю доказательство, причём первые три абзаца, содержащие некую "эвристику", можно при чтении спокойно пропустить. К тому же здесь повторяется описание одной из идей, уже звучавшей в предыдущем посте.
В доказательстве трансцендентности числа "e" используется такой приём как домножение многочлена от e с целыми коэффициентами на некоторый специально подобранный несобственный интеграл. Далее показывалось, что результате умножения получается сумма ненулевого целого числа (оно там являет собой сумму целочисленных слагаемых, среди которых все делятся на некоторое простое число p, кроме одного из них), и числа, модуль которого строго меньше 1. Отсюда всё следует, но возникает вопрос: нельзя ли от использования этого интеграла избавиться?
Оказывается, что сделать это можно, идя примерно по следующему пути. Разложенные в ряд степени числа e домножаются на n!, и при этом возникают суммы некоторых заведомо целых чисел и "хвостов". Далее эти же степени домножаются на (n+1)!, (n+2)!, ... и так далее, а затем берётся подходящая линейная комбинация всех выражений. Можно добиться того, что те члены сумм, где не наличествует в явном виде сомножитель, делящийся на (n+1)!, взаимно сократятся, но в одном месте останется слагаемое, делящееся всего лишь на n!. Затем то, что получилось, следует разделить на n!.
Такой способ возникает, если проанализировать, что стоит за использованными приёмами. И отсюда становится ясно, что использование несобственного интеграла есть очень элегантный трюк, позволяющий избежать явного выписывания сумм, коэффициентов, а также их подбора на основании составления системы линейных уравнений. Однако в доказательстве из брошюры для случая числа π, интеграл уже не используется, что приводит к многостраничным выкладкам. Поэтому совершенно естественно попытаться этот интеграл вернуть. При этом возникает небольшое техническое препятствие: из-за привлечения комплексных чисел получается вроде бы необходимость интегрирования в комплексной области, что нежелательно. В итоге выясняется, что всего этого легко избежать, а интегрировать достаточно лишь в вещественной области. Правда, при этом интегрировать приходится комплекснозначные функции. Но это ни к каким трудностям не ведёт. Здесь всё прямо сводится к свойствам определённых интегралов, и на этот случай непосредственно распространяется как формула Ньютона - Лейбница, так и оценка сверху для модуля интеграла.
А теперь -- собственно доказательство, которое начинается с легко запоминаемого приёма, идущего от Линдемана, где из всех выражений вскоре исчезает π и остаётся лишь e.
Предполагая, что π алгебраично (над полем рациональных чисел), мы можем заключить, что алгебраическим будет также число iπ. Пусть m>=1 -- степень минимального многочлена h(x) с целыми коэффициентами, корнем которого является iπ. Мы не вводим обозначений для всех коэффициентов многочлена, ограничившись лишь выбором обозначения c для его старшего коэффициента (оно будет часто повторяться), а также мы обозначим через β_1, ..., β_m все корни этого многочлена. Для удобства можно считать, что β_1=iπ, β_2=-iπ.
С учётом того, что e^{iπ}=-1, произведение (e^{β_1}+1)...(e^{β_m}+1) оказывается равно нулю. Раскрывая скобки, мы получим равенство нулю некоторой суммы числа 1 и степеней e с показателями, которые в свою очередь суть суммы чисел β с нижними индексами. Часть показателей заведомо обращается в ноль за счёт того, что β_1+β_2=0; все остальные показатели мы обозначим через α_1, ..., α_k (их значения могут повторяться). В итоге возникает равенство вида A+e^{α_1}+...+e^{α_k}=0, где A -- целое положительное число, а α_1, ..., α_k -- отличные от нуля алгебраические числа, удовлетворяющие некоторому условию, которое мы сейчас укажем.
Прежде всего, легко понять, что значение любого симметрического многочлена от cβ_1,..., cβ_m с целыми коэффициентами является целым числом. Отсюда следует, что F(cα_1,...,cα_k) будет целым для всякого симметрического многочлена над Z от k переменных. Последнее вытекает из того, что если дополнить список α_1, ..., α_k, рассматриваемый как список всевозможных сумм корней многочлена h(x), теми суммами, которые обратились в ноль, то весь полный список будет инвариантен (с точностью до порядка следования) относительно любых перестановок корней. И потому любой симметрический многочлен над Z принимает целые значения на полном списке сумм, умноженных на c. Однако "зануление" некоторых переменных превращает симметрический многочлен в симметрический, откуда всё следует.
Поэтому теперь надо доказать невозможность равенства A+e^{α_1}+...+e^{α_k}=0 в обозначениях выше, с учётом легко запоминаемого свойства чисел α_1,..., α_k из предыдущего абзаца. Для этого мы домножим левую часть нашего равенства на некоторое специально подобранное выражение, доказывая, что произведение будет отлично от нуля. Это даст требуемое противоречие с предположением об алгебраичности числа π.
Множитель, о котором идёт речь, будет у нас иметь вид несобственного интеграла от 0 до бесконечности от функции e^{-x}f(x), где f(x) есть многочлен. Вид этого многочлена мы пока уточнять не будем, и явное выражение для f(x) возникнет в процессе рассуждения.
Пусть a -- положительное вещественное число. Исходный несобственный интеграл, обозначаемый далее через I, можно представить в виде суммы двух слагаемых, первое из которых есть интеграл от 0 до a, а второе -- интеграл от a до бесконечности. Произведём в первом слагаемом замену переменной x=at, а во втором -- замену x=t+a. Тогда I будет равно сумме числа a, умноженного на интеграл от 0 до 1 от e^{-at}f(at) и числа e^{-a}, умноженного на интеграл от 0 до бесконечности от e^{-t}f(t+a).
С учётом того, что обычные правила дифференцирования автоматически переносятся на случай комплекснозначных функций вещественного аргумента, и того же касаетельно формулы Ньютона - Лейбница, легко проверить, что разложение I в сумму двух слагаемых имеет место для любого комплексного a. Это следует из явного вида первообразной Ф(x) для функции e^{-x}f(x). А именно, если d есть степень f(x), то Ф(x) есть произведение -e^{-x} на сумму f(x)+f'(x)+...+f^{(d)}(x) всех производных функции f от нулевой до d-й. После чего непосредственное выражение интегралов через значения функции Ф приводит к очевидному тождеству.
Мы будем далее придавать параметру a значения 0, α_1,..., α_k. При каждом из них модуль первого слагаемого в разложении I представляет собой величину порядка O(||f||), где ||f|| есть максимум модуля функции f, рассматриваемой здесь уже как функция комплексного аргумента на круге радиусом R, где R есть максимум модулей чисел α_1,..., α_k.
Теперь, домножая выражение A+e^{α_1}+...+e^{α_k} на I и собирая вместе вторые слагаемые для разложений I, мы получим сумму величины порядка O(||f||) и интеграла от 0 до бесконечности от e^{-t}(Af(t)+f(t+α_1)+...+f(t+α_k)). Выберем теперь в качестве f(x) многочлен g(x)/(p-1)!, где g(x)=c^{kp+p-1}x^{p-1}(x-α_1)^{p}...(x-α_k)^{p}.
Коэффициентами g(x) при степенях x будут симметрические многочлены над Z от сα_1,..., сα_k, поэтому они являются целыми. Далее, g(x) будет начинаться c (p-1)-й степени x, так как среди чисел α_1,..., α_k нет нулевых. Учитывая тот факт, что интеграл от функции e^{-t}t^n, взятый от 0 до бесконечности, равен n! (на это мы опирались и в предыдущем доказательстве), получаем, что интеграл от Ae^{-t}f(t), с теми же пределами, есть целое число, которое не будет делиться на p, если p выбрано достаточно большим.
Далее, каждый из многочленов g(t+α_s), где s=1,...,k, будет начинаться уже с p-й степени t. Хотя коэффициенты здесь уже не обязаны быть целыми, но у суммы g(t+α_1)+...+g(t+α_k) они уже будут таковыми, поскольку коэффициенты при степенях t здесь являются симметрическими многочленами над Z от cα_1,..., cα_k. В итоге, интегрируя e^{-t}(f(t+α_1)+...+f(t+α_k)), мы получим целое число, делящееся на p.
Таким образом, произведение (A+e^{α_1}+...+e^{α_k})I оказывается суммой величины порядка O(||f||) и некоторого целого числа, отличного от нуля -- по причине того, что оно не делится на p. Учитывая тот факт, что ||f|| мажорируется величиной вида B^p/(p-1)! для некоторой константы B, мы можем сделать норму f сколь угодно малой при достаточно большом p, что завершает рассуждение.
Завершая набор этого текста, я поймал себя на мысли, что это доказательство намного более приятно излагать устно нежели записывать! :)