Физика.
Эта запись не совсем обычная для сообщества: я пишу не о том, что хорошо понимаю, а о том, что только-только учу. Так что "покупатель, будь бдителен!"
А учу я сейчас квантовую механику, кажется, на границе мех-матского курса (хотя со временем, естественно, надеюсь оные границы покинуть полностью). Соответственно -- под катом то, что до меня недавно дошло:
Кажется, разобрался, что такое матрицы Дирака (они же гамма-матрицы). Точнее, как минимум, для чего их можно применять (хотя пока не знаю, это у них главное, зачем их придумали, или только одно из свойств).
Так вот, если на плоскости взять оператор Лапласа (для обычной метрики или для псевдометрики с сигнатурой (1,1)), то из него может захотеться извлечь корень. В принципе, в ограниченной области это даже можно, наверное, в какой-то степени сделать: у Лапласа есть (скажем, если мы работаем при нулевых граничных условиях) полный ортонормированный базис из собственных функций. Извлечь корень из каждого собственного значения, и вся недолга. Но получится, скорее всего, что-то сильно неприятное, а вовсе не красивый дифференциальный оператор первого порядка, как хотелось бы.
А вот в произведение двух разных дифференцирований Лаплас раскладывается очень просто,
\Delta = (d/dx + i d/dy)*(d/dx - i d/dy),
или для сигнатуры (1,1)
(d/dt)^2 - (d/dx)^2 = (d/dt - d/dx)*(d/dt + d/dx).
Но хочется-то, чтобы был квадрат! И решение получается очень простым: а давайте Лаплас у нас будет не на функциях, а на парах функций, сиречь на вектор-функциях. Тогда можно заставить два сомножителя Лапласа работать покомпонентно: пусть первый продифференцирует первую компоненту, но перекинет её во вторую. А второй дифференцирует вторую, но отправляет её в первую:
D(f_1,f_2) =
(df_2/dx - i df_2/dy, df_1/dx + i df_1/dy)
Тогда при возведении в квадрат как раз и будет покоординатный Лаплас. А если выносить d/dx и d/dy за скобки, то получается, что
D= A_1 d/dx + A_2 d/dy,
где A_1 =(0 1 \\ 1 0), A_2 = (0 -i \\ i 0).
Или, если извлекать корень из "светового" псевдо-Лапласа (d/dt)^2 - (d/dx)^2, то получается
D(f_1,f_2) =
(df_2/dt - df_2/dx, df_1/dt + df_1/dx),
и, соответственно, матрицы
A_0 = (0 1 \\ 1 0), A_1= (0 -1 \\ 1 0).
(Я в этом случае отвёл времени индекс "0", а не "1".)
Собственно говоря, шаг с факторизацией -- это, скорее, способ понять, что такое возможно. Как только это придумано, ясно, что для такого "извлечения корня" с постоянными матрицами A_j нужно: ведь
(A_0 d/dt + A_1 d/dx)^2 = A_0^2 (d/dx)^2 + (A_0 A_1 + A_1 A_0) d/dt d/dx + A_1^2 (d/dx)^2,
поэтому условия очень простые:
A_0^2 = Id, A_1^2 = -Id, и антикоммутатор
{A_0,A_1} = A_0 A_1 + A_1 A_0 = 0.
Соответственно, подходят, например,
A_0 = (1 0 \\ 0 -1) и A_1 = (0 i \\ i 0),
или
A_0 = (1 0 \\ 0 -1) и A_1 = (0 -1 \\ 1 0).
Так вот, оказывается, что такой же фокус можно провернуть не только в "игрушечной" двумерной вселенной (которая, если уж мы говорим о метрике Минковского и об оси времени, вообще имеет только одно пространственное измерение), а в нашем четырёхмерном пространстве-времени (с метрикой Минковского, один плюс, три минуса). Только на этот раз понадобится говорить о векторфункциях тоже размерности четыре: будут четыре функции f_0,f_1,f_2,f_3.
Так вот,матрицы-коэффициенты соответствующего дифференциального оператора-"корня" и называются матрицами Дирака, или гамма-матрицами:
(d/dt)^2 - (d/dx)^2 - (d/dy)^2- (d/dz)^2 =
(\gamma_0 d/dt +\gamma_1 d/dx + \gamma_2 d/dy + \gamma_3 d/dz)^2.
Насколько я понимаю, это завязано на представления алгебры Клиффорда: соотношения на матрицы как раз и являются соотношениями алгебры Клиффорда (антикоммутант равен скалярному квадрату, помножить на единицу -- а в случае представления, на единичную матрицу). То есть нас интересовало, чтобы у алгебры Клиффорда с четырьмя образующими нашлось бы четырёхмерное представление (и оно таки да нашлось). А дальше я пока не копал.
До новых встреч, надеюсь!
P.S. Запись -- почти копия исходной записи в моём журнале, и там чуть-чуть уже успели пообсуждать...
А учу я сейчас квантовую механику, кажется, на границе мех-матского курса (хотя со временем, естественно, надеюсь оные границы покинуть полностью). Соответственно -- под катом то, что до меня недавно дошло:
Кажется, разобрался, что такое матрицы Дирака (они же гамма-матрицы). Точнее, как минимум, для чего их можно применять (хотя пока не знаю, это у них главное, зачем их придумали, или только одно из свойств).
Так вот, если на плоскости взять оператор Лапласа (для обычной метрики или для псевдометрики с сигнатурой (1,1)), то из него может захотеться извлечь корень. В принципе, в ограниченной области это даже можно, наверное, в какой-то степени сделать: у Лапласа есть (скажем, если мы работаем при нулевых граничных условиях) полный ортонормированный базис из собственных функций. Извлечь корень из каждого собственного значения, и вся недолга. Но получится, скорее всего, что-то сильно неприятное, а вовсе не красивый дифференциальный оператор первого порядка, как хотелось бы.
А вот в произведение двух разных дифференцирований Лаплас раскладывается очень просто,
\Delta = (d/dx + i d/dy)*(d/dx - i d/dy),
или для сигнатуры (1,1)
(d/dt)^2 - (d/dx)^2 = (d/dt - d/dx)*(d/dt + d/dx).
Но хочется-то, чтобы был квадрат! И решение получается очень простым: а давайте Лаплас у нас будет не на функциях, а на парах функций, сиречь на вектор-функциях. Тогда можно заставить два сомножителя Лапласа работать покомпонентно: пусть первый продифференцирует первую компоненту, но перекинет её во вторую. А второй дифференцирует вторую, но отправляет её в первую:
D(f_1,f_2) =
(df_2/dx - i df_2/dy, df_1/dx + i df_1/dy)
Тогда при возведении в квадрат как раз и будет покоординатный Лаплас. А если выносить d/dx и d/dy за скобки, то получается, что
D= A_1 d/dx + A_2 d/dy,
где A_1 =(0 1 \\ 1 0), A_2 = (0 -i \\ i 0).
Или, если извлекать корень из "светового" псевдо-Лапласа (d/dt)^2 - (d/dx)^2, то получается
D(f_1,f_2) =
(df_2/dt - df_2/dx, df_1/dt + df_1/dx),
и, соответственно, матрицы
A_0 = (0 1 \\ 1 0), A_1= (0 -1 \\ 1 0).
(Я в этом случае отвёл времени индекс "0", а не "1".)
Собственно говоря, шаг с факторизацией -- это, скорее, способ понять, что такое возможно. Как только это придумано, ясно, что для такого "извлечения корня" с постоянными матрицами A_j нужно: ведь
(A_0 d/dt + A_1 d/dx)^2 = A_0^2 (d/dx)^2 + (A_0 A_1 + A_1 A_0) d/dt d/dx + A_1^2 (d/dx)^2,
поэтому условия очень простые:
A_0^2 = Id, A_1^2 = -Id, и антикоммутатор
{A_0,A_1} = A_0 A_1 + A_1 A_0 = 0.
Соответственно, подходят, например,
A_0 = (1 0 \\ 0 -1) и A_1 = (0 i \\ i 0),
или
A_0 = (1 0 \\ 0 -1) и A_1 = (0 -1 \\ 1 0).
Так вот, оказывается, что такой же фокус можно провернуть не только в "игрушечной" двумерной вселенной (которая, если уж мы говорим о метрике Минковского и об оси времени, вообще имеет только одно пространственное измерение), а в нашем четырёхмерном пространстве-времени (с метрикой Минковского, один плюс, три минуса). Только на этот раз понадобится говорить о векторфункциях тоже размерности четыре: будут четыре функции f_0,f_1,f_2,f_3.
Так вот,матрицы-коэффициенты соответствующего дифференциального оператора-"корня" и называются матрицами Дирака, или гамма-матрицами:
(d/dt)^2 - (d/dx)^2 - (d/dy)^2- (d/dz)^2 =
(\gamma_0 d/dt +\gamma_1 d/dx + \gamma_2 d/dy + \gamma_3 d/dz)^2.
Насколько я понимаю, это завязано на представления алгебры Клиффорда: соотношения на матрицы как раз и являются соотношениями алгебры Клиффорда (антикоммутант равен скалярному квадрату, помножить на единицу -- а в случае представления, на единичную матрицу). То есть нас интересовало, чтобы у алгебры Клиффорда с четырьмя образующими нашлось бы четырёхмерное представление (и оно таки да нашлось). А дальше я пока не копал.
До новых встреч, надеюсь!
P.S. Запись -- почти копия исходной записи в моём журнале, и там чуть-чуть уже успели пообсуждать...