О природе математики
Если вы уже читали недавнюю новую работу Пенроуза, то наверное обратили внимание на то, сколько внимания в работе, посвящённой популярному изложению известных фундаментальных законов вселенной, уделяется основам математики. Пенроуз позиционирует себя как платонист, признавая реальность идеальных математических объектов, которая некоторым "
( Read more... )
Для начала, хотелось сделать одно замечание вот по этому поводу:
> Доказывать это, разумеется, бессысленно
Я думаю, вполне понятно, что такого никто не требует. То, что Вы написали ниже (на тему "как я понимаю то, в каком смысле это "пример"") -- это и есть в точности то, что требовалось. Интересно, кстати, что вот эта "шероховатость" есть не что иное как одно из "отражений" того, о чём мы здесь говорим! Эта связь для меня в той или иной мере очевидна. Она заключается в том, что проблемы возникают тогда, когда мы начинаем хотеть слишком многого. В то время, как речь должна идти всего лишь о "достаточном" или "приемлемом".
Когда Вы рассматриваете две ситуации -- с позиции "сегодняшнего знания", и с какой-то точки зрения "вчерашнего дня", то нельзя не заметить одну вещь. Фактически, Вы прямо признаёте то, о чём говорю я. И другого я от Вас ожидать и не мог. Но Вам почему-то это не кажется достаточным. Далее Вы считаете нужным рассмотреть пример людей, которым в их понимании чего-то явно не хватает. Но ведь это и есть причина того, что они приходят к каким-то "левым" выводам!
Давайте сейчас спокойно и аккуратно проанализируем Ваши доводы. Вот когда постулируется нечто -- типа "геодезичности", или каких-то аксиом типа "через две различные точки", то можно, конечно, сказать, что разговор происходит "об одном и том же". Но эта фраза допускает две различных трактовки. Первую можно назвать "слабой", и она верна: разговор происходит "об одном и том же" на неком "грубом" уровне сравнения. То есть нет такого, что один имеет в виду яблоки, а другой -- груши. Вторая трактовка -- "сильная" -- такова: объект, удовлетворяющий указанным "аксиомам", существует и единственен. И это уже, разумеется, неверно. Скажем, разговор идёт о группах (а не о кольцах), то есть нет явной путаницы. Но при этом упускается из внимания, что разных групп много. И поэтому глупо спорить о том, "является ли группа абелевой" -- не какая-то конкретная группа, а "группа вообще".
Ошибка тут вполне понятна: считается, что "прямая" есть некий "жёстко заданный" объект. Это, конечно, не так, и надо просто увидеть "степени свободы". Если говорить о разнице между евлидовой и проективной геометрией, когда никаких параллельных прямых просто не бывает, то тут есть доля произвола (точнее, "конвенционализма") в том, чтобы либо "примысливать" бесконечно удалённые точки, либо не делать этого. Если речь о сравнении с геометрией Лобачевского, то тут вопрос тоже исчерпывающе ясен. На картинке нарисованы не прямые, а отрезки. Даже если они "идеальны", то это даёт нам неполную картину. Мы не знаем, что будет происходить при их продолжении. И если сделать упор на это, то потом может оказаться, что один "наблюдатель" скажет, что вот эту уже вовсе не прямая, потому что фотоны луча света обладают массой и притягиваются Солнцем. Поэтому и возникает "искривление". А другой скажет, что пространство изначально "искривлено", и мы не можем просто так отделить гравитацию. И в том, и в другом случае получаются разные по формулировкам выводы, но заметьте, что тут налицо разные мнения о том, с прямыми мы имеем дело или всё-таки с "кривыми". Поэтому нет и никакой "субъективности", на которой настаивает автор поста и ряд его комментаторов. Тот факт, что при объявлении "прямыми" одних объектов получается евклидова картина, при в другом случае -- неевклидова, вполне объективен.
Для меня, кстати, большой интерес представляет один вопрос, ответа на который я не знаю. Почему определённым людям так хочется считать (это очень заметно проявляется!), что "всё субъективно" и "всё относительно"? Это, конечно, относится уже к области психологии и, как ни странно, этики (поведение).
Reply
Вот он, ваш субъективизм истинного землянина! :) Инопланетянин говорит: МЫ ЗНАЕМ, что они где-то пересекутся. Он даже пробовал это вам продемонстрировать, провел отрезки на 500 км, они не пересеклись, он устал. Но он по-прежнему утверждает, что они ОБЯЗАТЕЛЬНО пересекутся, причем вовсе не в бесконечности. Землянин по-прежнему уверен, что они НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО ПЕРЕСЕКУТСЯ. Не какие-то там абстрактные прямые Евклида или Римана, а продолжения вот этих двух конкретных отрезков. Два противоположных утверждения. Прямые одни и те же у обоих. Проверить не удалось. Каждый при своем мнении. Чистый субъективизм.
Что касается вопроса о "все относительно", то, думаю, известное доведение этой фразы до парадокса "абсолютно все относительно" многое объясняет. С абсолютными истинами думать легче, с относительными труднее. Человек, которому хочется считать, что ВСЕ относительно, наверное, пытается таким образом в глобальном смысле упростить свою модель мира, усложненную локальными относительностями.:)
Reply
Помилуйте! Вы же сами их сформулировали! Противоположным к "обязательно пересекутся" будет "обязательно не пересекутся". Тот, кто говорит "не обязательно пересекутся", не отрицает мнения оппонента, а всего лишь говорит, что у него лично нет достаточной информации для вывода о наличии точки пересечения.
> Проверить не удалось.
Заметьте, что это уже не согласуется с предыдущим! Хотя я согласен, что именно так и есть. Ранее говорилось о якобы противоположных выводах, хотя правда заключается в том, что ни к какому выводу (пока) не пришли. Но разве это "субъективизм"? Ну вот есть шкатулка, и в ней лежит несколько драгоценных камней. Мы шкатулку не открывали, и количество не знаем. Кто-то может делать предположения, они могут противоречить друг другу. Но ведь ясно, что в коробке сколько-то камней лежит, и если их пять, то их уже не семь. То есть то количество, которое там имеется, вполне объективно.
Можно рассмотреть некий "спорный" момент, когда структура камней не очень простая, и имеется некое "составное" ювелирное изделие, которое можно с равным успехом считать как за один камень, так и за два -- в зависимости от соглашения. Но ответ и в этом случае не будет "субъективным": он будет всего-навсего "конвенциональным", то есть зависит от не от "субъекта", а от принятого соглашения. При одном соглашении ответ будет "пять", при другом -- "шесть". Оба ответа утверждают абсолютно одно и то же. Суть совершенно объективна. "Субъективным" может быть лишь решение о том, какое из двух соглашений следует брать за основу. Здесь, конечно, может царить полный произвол, но это относится не к объективным фактам реальности, а к особенностям "субъектов", и именно по этой причине "субъективно".
Последний абзац, мне кажется, немного не о том. Я ведь не о софистике говорил! То объяснение, которое Вы предлагаете, меня не устраивает. Ну да, люди стремятся что-то упростить, и это можно понять, но ведь ясно, что "относительность" и "субъективизм" как раз не упрощает, а усложняет дело! Стремление к простоте и однозначности скорее должно приводить к "догматике", к "единственно верному". То есть тут явно какие-то другие причины.
Reply
Пример со шкатулкой неудачен - о количестве камней можно говорить объективно, открыв коробку и пересчитав камни и обговорив определение, что считать камнем.
Но что вообще значит слово "ОБЪЕКТИВНО" для параллельности/непараллельности двух прямых, точку пересечения которых мы не сумели найти пройдя 500 км (и дальше уже проверять не пойдем, средства на экспедицию вышли)? Понимание о том, что такое "продолжить прямые" и что значит "пересекаются" у двух геометров одинаковое. Но на вопрос "Может ли так оказаться, что прямые в конце концов не пересекутся?" один отвечает "Да", другой "Нет".
Reply
Если так подходить, то надо уточнить, откуда (или почему) тот или иной "спорщег" считает, что прямые поведут себя определённым образом. В описанном Вами случае нечто пробовали проверить экспериментально, но это не получилось. Тогда уместно сказать, что мы пока не нашли ответа. Как не нашли бы его и в случае отсутствия ключа от шкатулки. Кстати, я не понимаю, почему Вы считаете мой пример неудачным. Разве в случае с прямыми мы не исходим из допущения о возможности "финальной" проверки? То есть я здесь вижу одно отличие, но оно небольшое. А именно, если прямые не пересекаются, но мы не допускаем "путешествия" по ним до бесконечности, то факт параллельности мы не подтвердим при помощи эксперимента, аналогичного подсчёту камней. Но если они пересекаются, то тогда подтверждение я бы считал возможным. Здесь удобнее говорить скорее о каких-то компьютерных программах, так как это снимает "неудобные" вопросы, относящиеся к "проекции" геометрии на реальность. С числами как-то проще.
Вот простой пример: уравнение x^3+y^3+z^3=33. Имеет ли оно решения в целых числах? Это до сих пор не известно. Можно считать, что наши "спорщеги" придерживаются противоположного мнения на этот счёт. В чём я тут вижу "объективность"? В том, что не могут быть верными и ответ "да", и ответ "нет". Поэтому хотя бы один из "спорщегов" (пусть и непонятно, какой) отвечает на вопрос неверно.
Вы можете представить себе ситуацию типа "оба в каком-то смысле правы"?
Reply
Leave a comment