О вероятности существования цивилизации у случайно выбранной звёзды
Можно ли оценить частоту встречаемости цивилизаций в космосе исходя из того, что нам известно о существовании только / ровно / как минимум одной таковой - нашей?
style='color:black'>Обозначим неизвестную нам вероятность существования обнаружимой
цивилизации
style='mso-bookmark:_ftnref1'>
style='color:black'>*
style='mso-bookmark:_ftnref1'> у случайно выбранной звезды (частоту встречаемости), как ρ. В дальнейшем будем подразумевать, что
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>0 <
style='color:black'>ρ <<1
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>(1)
lang=EN-US style='font-size:7.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>
style='color:black'>
(что соответствует данным наблюдений). Тогда для случайной выборки из
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n
lang=EN-US style='color:black'> звёзд вероятность того, что у k
style='color:black'>из них будут обнаружены цивилизации
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P
style='color:black'>(k/style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n)подчиняется биномиальному распределению и составляет
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>/n) =
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Cnk
style='color:black'>∙ρ
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>∙(1- ρ)
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n
style='color:black'>-k
style='color:black'>(2)
где
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Cnk
style='color:black'> = n!
style='vertical-align:baseline'>/
lang=EN-US style='font-size:18.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k!
style='color:black'>∙ style='font-size:18.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>(n-k)!
style='color:black'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>(3)
lang=EN-US style='font-size:7.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>
style='color:black'>
style='color:black'>С учётом (1) биномиальное распределение можно аппроксимировать распределением Пуассона:
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>) =![]()
src="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00001wc5" _fcksavedurl="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00001wc5">
style='color:black'>(4)
где
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'> = style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>nρ
style='color:black'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>(5)
lang=EN-US style='font-size:7.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>
style='color:black'>
style='color:black'>Правдоподобие L
style='color:black'>для величины λ также определяется формулой (4):
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Lk
style='color:black'>(λ) =![]()
height=44 id="_x0000_i1026"
src="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00001wc5" _fcksavedurl="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00001wc5">
style='color:black'>(6)
style='color:black'>Рассмотрим ситуацию, когда на область
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>V
style='color:black'>, содержащую n
style='color:black'>звёзд приходится ровно одна цивилизация. В пределах этой области вероятность найти звезду с цивилизацией составляет, разумеется, 1/
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n
style='color:black'>. Однако, мы не можем взять эту величину в качестве оценки ρ, если область выбрана не случайно, например, если это окрестности Солнца, вблизи которого, как мы знаем заранее, существует как минимум, одна цивилизация обнаружимого типа - наша. Для того, чтобы учесть эту
class=SpellE>неслучайность, следует рассмотреть только те выборки, которые содержат хотя бы одну цивилизацию.
style='color:black'>Вероятность обнаружить ровно 0 цивилизаций (
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>=0) составляет (4)
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>0
style='color:black'>) = e-λ
style='color:black'>(7)
style='color:black'>Соответственно, вероятность обнаружить не 0 цивилизаций (k
style='color:black'>>0) составляет
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k>0
style='color:black'>) = 1-e-λ
style='color:black'>(8)
style='color:black'>По теореме Байеса для style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k>0
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>|k>0) = style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>>0|k)∙
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P
style='color:black'>(k)/ style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>>0)
style='color:black'>(9)
style='color:black'>Первый сомножитель, style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>>0|k), очевидно, тождественно равен 1; второй даётся формулой (4), а знаменатель - формулой (8). Таким образом,
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Pλ
style='color:black'>(k| style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k>0)
= λk
style='color:black'>∙ e-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>/(1-e-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>)
style='color:black'>(10)
style='color:black'>Если рассматривать
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Pλ
style='color:black'>(k|style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k>0),
не как функцию от k
style='color:black'>при известном значении style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>, а как функцию от
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'> при известном значении
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>, мы получим функцию правдоподобия для величины
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>:
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Lk
style='color:black'>(λ) =
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λk
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>
style='color:black'>∙ e-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>/(1-e-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>)
style='color:black'>(11)
style='color:black'>Соответственно, если в окрестностях некой звезды, имеющей цивилизацию обнаружимого типа, содержащих style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>nstyle='color:black'> звёзд, других цивилизаций не обнаружено, k=1 и мы можем записать функцию правдоподобия, как
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>L (
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>) = λ ∙
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>e
style='color:black'>-λ/(1-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>e
style='color:black'>-λ)
style='color:black'>(12)
или, с учётом (5),
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>L(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>ρ
style='color:black'>) = style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>nρ
lang=EN-US style='color:black'> ∙
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>e
style='color:black'>- style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>nρ
style='color:black'>/(1-e-
class=SpellE>nρ
style='color:black'>)
style='color:black'>(13)
style='color:black'>В окрестностях Солнца звездная плотность составляет около 0,12 звезды на кубический парсек.
title="">
style='color:black'>[1]
style='mso-bookmark:_ednref1'>
style='color:black'>По данным наблюдений в рамках программы
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>SETI
href="#_edn2" title="">
class=MsoEndnoteReference>[2]
style='mso-bookmark:_ednref2'>
style='color:black'>в пределах примерно 10 парсеков от Солнца цивилизаций обнаружено не было. Это даёт грубую оценку style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n=500
достоверно исключенных звёзд.
style='color:black'>График функции правдоподобия (13) при
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n
style='color:black'>=500 приведён на рис. 1.
![]()
id="_x0000_i1027"
src="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00002b1b/s320x240">
style='color:black'>Рисунок 1. Функция правдоподобия для вероятности обнаружить
цивилизацию у случайно выбранной звезды.
style='color:black'>Из графика видно, что величина частоты встречаемости цивилизаций обнаружимого типа 0.01 (1 цивилизация на 100 случайно выбранных звёзд) уже малоправдоподобна, а 0.015 - практически неправдоподобна.
href="#_ftnref1" title="">
class=MsoFootnoteReference>*
style='mso-bookmark:_ftn1'>
style='color:black'> Здесь под обнаружимой цивилизацией
мы будем подразумевать такую, которая испускает в межзвёздное пространство радиоизлучения, распознаваемые современными земными средствами, как сигналы искусственного происхождения, и имеющие мощность порядка земной или выше. Таким образом, под категорию обнаружимых не попадают цивилизации, ещё не освоившие радиосвязь (как земные до ХХ в.), использующие радиосигналы, не воспринимаемые нами, как искусственные, прошедшие стадию активного использования радиоволн (например, перешедшие к использованию нейтрино, гравитационных волн или неизвестных нам пока носителей информации) или вообще обошедшие эту стадию и т. д.
href="#_ednref1" title="">
class=MsoEndnoteReference>[1]
style='mso-bookmark:_edn1'>
style='color:black'> П.И.Бакулин, Э.В.Кононович и В.И.Мороз,
«Курс общей астрономии», 5-е издание, М., Наука, 1983.
href="#_ednref2" title="">
class=MsoEndnoteReference>[2]
style='mso-bookmark:_edn2'>
style='color:black'> Оценка по косвенным данным.
style='color:black'>Обозначим неизвестную нам вероятность существования обнаружимой
цивилизации
style='mso-bookmark:_ftnref1'>
style='color:black'>*
style='mso-bookmark:_ftnref1'> у случайно выбранной звезды (частоту встречаемости), как ρ. В дальнейшем будем подразумевать, что
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>0 <
style='color:black'>ρ <<1
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>(1)
lang=EN-US style='font-size:7.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>
style='color:black'>
(что соответствует данным наблюдений). Тогда для случайной выборки из
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n
lang=EN-US style='color:black'> звёзд вероятность того, что у k
style='color:black'>из них будут обнаружены цивилизации
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P
style='color:black'>(k/style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n)подчиняется биномиальному распределению и составляет
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>/n) =
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Cnk
style='color:black'>∙ρ
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>∙(1- ρ)
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n
style='color:black'>-k
style='color:black'>(2)
где
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Cnk
style='color:black'> = n!
style='vertical-align:baseline'>/
lang=EN-US style='font-size:18.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k!
style='color:black'>∙ style='font-size:18.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>(n-k)!
style='color:black'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>(3)
lang=EN-US style='font-size:7.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>
style='color:black'>
style='color:black'>С учётом (1) биномиальное распределение можно аппроксимировать распределением Пуассона:
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>) =
src="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00001wc5" _fcksavedurl="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00001wc5">
style='color:black'>(4)
где
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'> = style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>nρ
style='color:black'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>(5)
lang=EN-US style='font-size:7.0pt;color:black;mso-ansi-language:EN-US'>
style='color:black'>
style='color:black'>Правдоподобие L
style='color:black'>для величины λ также определяется формулой (4):
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Lk
style='color:black'>(λ) =
height=44 id="_x0000_i1026"
src="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00001wc5" _fcksavedurl="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00001wc5">
style='color:black'>(6)
style='color:black'>Рассмотрим ситуацию, когда на область
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>V
style='color:black'>, содержащую n
style='color:black'>звёзд приходится ровно одна цивилизация. В пределах этой области вероятность найти звезду с цивилизацией составляет, разумеется, 1/
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n
style='color:black'>. Однако, мы не можем взять эту величину в качестве оценки ρ, если область выбрана не случайно, например, если это окрестности Солнца, вблизи которого, как мы знаем заранее, существует как минимум, одна цивилизация обнаружимого типа - наша. Для того, чтобы учесть эту
class=SpellE>неслучайность, следует рассмотреть только те выборки, которые содержат хотя бы одну цивилизацию.
style='color:black'>Вероятность обнаружить ровно 0 цивилизаций (
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>=0) составляет (4)
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>0
style='color:black'>) = e-λ
style='color:black'>(7)
style='color:black'>Соответственно, вероятность обнаружить не 0 цивилизаций (k
style='color:black'>>0) составляет
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k>0
style='color:black'>) = 1-e-λ
style='color:black'>(8)
style='color:black'>По теореме Байеса для style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k>0
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>|k>0) = style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>>0|k)∙
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P
style='color:black'>(k)/ style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>>0)
style='color:black'>(9)
style='color:black'>Первый сомножитель, style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>P(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>>0|k), очевидно, тождественно равен 1; второй даётся формулой (4), а знаменатель - формулой (8). Таким образом,
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Pλ
style='color:black'>(k| style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k>0)
= λk
style='color:black'>∙ e-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>/(1-e-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>)
style='color:black'>(10)
style='color:black'>Если рассматривать
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Pλ
style='color:black'>(k|style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k>0),
не как функцию от k
style='color:black'>при известном значении style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>, а как функцию от
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'> при известном значении
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>k
style='color:black'>, мы получим функцию правдоподобия для величины
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>:
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>Lk
style='color:black'>(λ) =
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λk
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>
style='color:black'>∙ e-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>/(1-e-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>)
style='color:black'>(11)
style='color:black'>Соответственно, если в окрестностях некой звезды, имеющей цивилизацию обнаружимого типа, содержащих style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>nstyle='color:black'> звёзд, других цивилизаций не обнаружено, k=1 и мы можем записать функцию правдоподобия, как
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>L (
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>λ
style='color:black'>) = λ ∙
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>e
style='color:black'>-λ/(1-
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>e
style='color:black'>-λ)
style='color:black'>(12)
или, с учётом (5),
style='border-collapse:collapse;mso-padding-alt:0cm 0cm 0cm 0cm'>
style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>L(
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>ρ
style='color:black'>) = style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>nρ
lang=EN-US style='color:black'> ∙
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>e
style='color:black'>- style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>nρ
style='color:black'>/(1-e-
class=SpellE>nρ
style='color:black'>)
style='color:black'>(13)
style='color:black'>В окрестностях Солнца звездная плотность составляет около 0,12 звезды на кубический парсек.
title="">
style='color:black'>[1]
style='mso-bookmark:_ednref1'>
style='color:black'>По данным наблюдений в рамках программы
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>SETI
href="#_edn2" title="">
class=MsoEndnoteReference>[2]
style='mso-bookmark:_ednref2'>
style='color:black'>в пределах примерно 10 парсеков от Солнца цивилизаций обнаружено не было. Это даёт грубую оценку style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n=500
достоверно исключенных звёзд.
style='color:black'>График функции правдоподобия (13) при
lang=EN-US style='color:black;mso-ansi-language:EN-US'>n
style='color:black'>=500 приведён на рис. 1.
id="_x0000_i1027"
src="http://pics.livejournal.com/upwinger/pic/00002b1b/s320x240">
style='color:black'>Рисунок 1. Функция правдоподобия для вероятности обнаружить
цивилизацию у случайно выбранной звезды.
style='color:black'>Из графика видно, что величина частоты встречаемости цивилизаций обнаружимого типа 0.01 (1 цивилизация на 100 случайно выбранных звёзд) уже малоправдоподобна, а 0.015 - практически неправдоподобна.
href="#_ftnref1" title="">
class=MsoFootnoteReference>*
style='mso-bookmark:_ftn1'>
style='color:black'> Здесь под обнаружимой цивилизацией
мы будем подразумевать такую, которая испускает в межзвёздное пространство радиоизлучения, распознаваемые современными земными средствами, как сигналы искусственного происхождения, и имеющие мощность порядка земной или выше. Таким образом, под категорию обнаружимых не попадают цивилизации, ещё не освоившие радиосвязь (как земные до ХХ в.), использующие радиосигналы, не воспринимаемые нами, как искусственные, прошедшие стадию активного использования радиоволн (например, перешедшие к использованию нейтрино, гравитационных волн или неизвестных нам пока носителей информации) или вообще обошедшие эту стадию и т. д.
href="#_ednref1" title="">
class=MsoEndnoteReference>[1]
style='mso-bookmark:_edn1'>
style='color:black'> П.И.Бакулин, Э.В.Кононович и В.И.Мороз,
«Курс общей астрономии», 5-е издание, М., Наука, 1983.
href="#_ednref2" title="">
class=MsoEndnoteReference>[2]
style='mso-bookmark:_edn2'>
style='color:black'> Оценка по косвенным данным.