Родился 15 марта 1922 году г. Назрань. После окончания школы поступил в Грозненский аэроклуб. В 1941 году окончил Армавирскую военно-авиационную школу пилотов. С лета 1941 года воевал на Западном, Сталинградском, Брянском и 2-ом Прибалтийском фронтах. Сражался в составе 431-го истребительного авиационного полка, летал на истребителях Лаг-3, ЯК-3, ЯК-7, ЯК-9.
За период войны совершил 248 боевых вылетов, сбил 8 самолетов противника. Последний боевой вылет летчика состоялся 25 января 1944 года, в Псковской области, его самолет был сбит огнем зенитной артиллерии противника, и пробив толстый слой льда, ушел на дно озера. Летчик успел выпрыгнуть с парашютом. При взрыве получил тяжелые ранения и в бессознательном состоянии был захвачен в плен. Находился в концлагерях в Восточной Пруссии и Чехословакии, совершил две неудачные попытки побега. Только 8 мая 1945 года лагерь, где находился Мурат Оздоев, был освобожден советскими войсками.
Видевшие огненный таран Оздоева боевые товарищи доложили об его гибели.
Командир полка представил его посмертно к званию Героя Советского Союза.
Но награждение не состоялось, так как через месяц началась массовая депортация ингушей в Среднюю Азию.
После освобождения Мурат Оздоев вернулся в свой полк. Его восстановили в звании и назначили командиром звена. Но уже в январе 1946 года по требованию органов госбезопасности Оздоев был уволен из Вооруженных Сил и депортирован вслед за своей семьей в Акмолинскую область Казахстана.
Только в 1957 году он вернулся на родину.
Указом Президента Российской Федерации от 8 мая 1995 года за мужество и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками в Великой Отечественной войне 1941-1945 годов младшему лейтенанту авиации в отставке Оздоеву Мурату Ахметовичу присвоено звание Героя Российской Федерации.
Награжден орденами Красного Знамени, Отечественной войны 1-й и 2-й степеней, Красной Звезды, медалями.Скончался 25 февраля 1999 года.