Математическое объяснение закона "парных случаев" в медицине
В медицине есть городская легенда о парных случаях: если привезли одного с проглоченной ложкой, то скоро приедет и второй (много ссылок в духе тыц).
Есть и похожий закон в обычной жизни, феномен Баадера-Майнхофа. (и в более общем случае это называется Law of series )
Обычно это объясняют разными когнитивными искажениями: законом селективного внимания и склонностью подтверждать свою точку зрения (confirmation bias). Однако есть и математическая (и не мистическая) причина.
Рассмотрим сначала такой вот кейс: если есть класс из 30 человек, то почти наверняка в нем будет пара людей с днем рождения в один день. Почему? Для первого человека из класса вероятность того, что его день рождения совпадет со вторым равна 1 из 365. Вероятность того, что у первого др совпадет хотя бы одним из всего класса равна
p(один ученик) = 1 - (1-1/365)power 29 =0.076 = 7 процентов
и это только для первого ученика. Теперь применим эту же операцию ко всем 30 ученикам, применим правила комбинаторики и получим 70 процентов (полный вывод формулы см. здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem), приблизительная формула
P(n,d)=1- e power(-n^2/2d)
Иначе говоря, с вероятность в 70 процентов у нас будут двое с днем рождения в один день в классе из 30 человек. То есть парные дни рождения оказываются более вероятными, чем можно подумать на первый взгляд. Об это еще Кларк писал в романе “Лунная пыль”.
Теперь перейдем к медицине. Допустим, у нас есть отделение, в котором лежит 100 человек (или приемный покой, в который поступает 100 человек в день). При этом, допустим, у нас есть 10 000 возможных диагнозов, все равновероятные. Какие шансы что среди больных будут люди с одинаковым диагнозом? Применим те же формулы и получим 55 процентов.
То есть в отделении с вероятность 55 процента будет пара пациентов с совпадающими редкими диагнозами, а для любого пациента шанс поучить “пару" - 1 процент.
Однако эмпирический закон о парных событиях, как его описывает медицинская легенда, звучит по другому: если произошло редкое событие, то скоро произойдет второе такое же редкое событие. В нашем случае, если привезли больного, проглотившего ложку, то шанс, что в течение дня приедет второй такой же, - только 1 процент.
Здесь, скорее всего, имеет место confirmation bias - поскольку какие-нибудь парные события происходят почти каждый день, то человек , столкнувшись с редким событием, умозаключает в обратную сторону от редкости к парности, и запоминает только те случаи, где такое ожидание подтвердилось.
Более того, выяснилось, что если есть хоть малейшая корреляция между частотами случайных событий, и они не совсем случайны, то это резко увеличивает вероятность парных событий.
http://prac.im.pwr.edu.pl/~downar/english/documents/law%20of%20series.pdf