Онтологическое доказательство Гёделя. Перевод.
Онтологический аргумент, обосновывающий бытие Бога, впервые видимо прозвучал в XII веке у Ансельма Кентрберийского, который сказал по существу следующее: «Бог - это то, больше чего помыслить нельзя. Бог существует в понимании. Тогда можно вообразить его больше, а именно существующим и в реальности. Значит, он должен существовать и в реальности.»
Это рассуждение критиковали многие и весьма компетентно, а некоторые - развивали. Имена части участников дискуссии говорят сами за себя: Фома Аквинский (объявил доказательство неверным, чем предопределил отношение к нему теологов, в среде которых его авторитет был непререкаем), Лейбниц (полагал, что его можно сделать состоятельным, несколько дополнив), Кант (считал, что опроверг аргументацию Ансельма полностью), Декарт, наконец Гёдель, который оставил свой вариант доказательства, развивающего аргументацию Св. Ансельма и Лейбница. О Гёделевском доказательстве речь и пойдет.
В оригинале это примерно 20 строчек в формате матлогики. История текста интересна сама по себе и о ней стоило бы сказать отдельно, но пока, «по просьбе группы товарищей», я приведу просто перевод Гёделевских формул на «человеческий» язык. Почти подстрочник. Комментарии [помещены в квадратные скобки и выделены курсивом]. Картинки кликабельны, сделать их лучшего качества я не сумел. Маленькие вырезаны из большой. Известно по крайней мере 2 (наверное больше) варианта записи доказательства Гёделя, они несколько различаются формулировками аксиом и нотацией. Я взял то, которое из Оксфордского издания его работ.
Гёделем история, разумеется, не заканчивается. Его доказательство (оно датировано 1970-м годом) тоже нашло своих критиков и интерпретаторов. Впрочем, и это совершенно не увидительно, если принять во внимание личность автора, никто, похоже, не сомневается что оно верно в рамках принятой формальной модели. Вопрос только один: как эту модель интерпретировать. Иными словами, все верят, что что-то Гёдель доказал, но вот что именно - не так чтобы ясно.
Итак,
Онтологическое доказательство
(*1970)
10-е февраля 1970 г.
Перевод:
Пусть φ - позитивно [позитивное качество. Ниже фигурируют объекты и их качества, свойства. Например: есть объект m, скажем, «мой веселый, звонкий мяч». Он может обладать качеством Z, скажем, «быть зеленым». Если мяч в самом деле зеленый, то Z(m) - истинно, пишем просто Z(m). На самом деле, как мы помним из классического труда Маршака времен детсадовского детства, он «желтый, красный, голубой», так что ~Z(m), то есть верно «не Z(m)»]
1.Аксиома 1: Если φ и ψ оба позитивны, то (φ и ψ) также позитивно, и так для любого количества
2.Аксиома 2: Позитивно или φ или (не φ); “или” в данном утверждении эксклюзивное
3. Определение 1: «x - божество» [понимать как: обладает качеством божественности], означает, что x обладает всеми позитивными качествами. [Это определение. Отсюда и из (2) следует, что объект, обладающий качеством божественности обладает только позитивными качествами]
4.Определение 2: Назовем φ сущностью х, если для любого ψ верно следующее: если х обладает ψ, то из этого необходимо следует, что для каждого y если y обладает φ, то он обладает и ψ. Сноска: любые 2 сущности х с необходимостью эквивалентны. [Иными словами, если нечто обладает сущностью х, то оно обладает и всеми его качествами. Если 2 объекта совпадают по сущности, то они совпадают по всем качествам.]
5.Следующая строка - обозначение для «необходимо следует». «q необходимо следует из p» означает что утверждение “p влечет за собой q” является необходимой истиной [Тут мы выходим на просторы модальной логики. Необходимой истиной будем называть истину, отрицание которой приводит к противоречию]
6.Аксиома 3: Если φ позитивно, то φ позитивно с необходимостью, и если φ не позитивно, то это также верно с необходимостью, поскольку это следует из природы данного свойства. [Тоже очевидно, даже несмотря на то, что определение позитивности, которое Гёдель приводит в другом месте, довольно расплывчато. Тем не менее, эта аксиома совершенно естественна для любой позитивности, как ее ни понимай]
7.Теорема: Если х обладает божественностью, то это качество - его сущность. [Очевидно, но если угодно, формально проверяется подстановкой в (4) и (5)]
8.Определение: х «необходимо существует» если для каждого φ верно следующее: если φ является сущностью х, то необходимой истиной явлется тот факт, что существует х такое, что х обладает φ. [Иными словами, если всегда существует объект обладающий сущностью x. Это наверное проще всего представить себе в такой семантике: сказать, что «объект x необходимо существует» означает сказать, что «в каждом возможном мире существует объект обладающий сущностью x»]
9.Аксиома 4: «Необходимое существование» позитивно. [Примечание - такое же как к 7, то есть достаточно очевидно само по себе. Вспоминаем, что «божественность» предполагает обладание всеми позитивными свойствами и только ими]
10.- 14. (следующие 4 строки) - основная теорема. Понимать эти строки надо так:
Существование объекта, обладающего качеством божественности, возможно [поскольку каждое позитивное свойство актуализировано в каком-то из возможных миров].
Такой объект обладает качеством необходимого существования. [Следует из (9), то есть из аксиомы 4, поскольку необходимое существование позитивно во всех возможных мирах].
Значит, такой объект должен существовать во всех возможных мирах [по определению необходимого существования. Помним, что «божественность» является сущностью обладающего ею объекта].
[Иными словами,] Если х обладает качеством божественности, то существование такого объекта необходимо.
[И еще раз:
Поскольку необходимое существование позитивно - оно следует из божественности. Более того, божественность является сущностью бога, поскольку бог не может обладать непозитивными свойствами (поскольку каждое из последних является отрицанием позитивного свойства). Поскольку каждый объект, обладающий качеством божественности, необходимо существует, то божественный объект в одном мире является таковым во всех мирах, по определению необходимого существования.]
И последнее: этот текст еще будет правиться, а возможно и будет удален совсем. Имейте это в виду, если кому-то захочется его прокомментировать. Сами комментарии будут приняты с удовольствием и заинтересованностью. Отдельное спасибо Данияру Шамканову за обсуждения нотации.
Это рассуждение критиковали многие и весьма компетентно, а некоторые - развивали. Имена части участников дискуссии говорят сами за себя: Фома Аквинский (объявил доказательство неверным, чем предопределил отношение к нему теологов, в среде которых его авторитет был непререкаем), Лейбниц (полагал, что его можно сделать состоятельным, несколько дополнив), Кант (считал, что опроверг аргументацию Ансельма полностью), Декарт, наконец Гёдель, который оставил свой вариант доказательства, развивающего аргументацию Св. Ансельма и Лейбница. О Гёделевском доказательстве речь и пойдет.
В оригинале это примерно 20 строчек в формате матлогики. История текста интересна сама по себе и о ней стоило бы сказать отдельно, но пока, «по просьбе группы товарищей», я приведу просто перевод Гёделевских формул на «человеческий» язык. Почти подстрочник. Комментарии [помещены в квадратные скобки и выделены курсивом]. Картинки кликабельны, сделать их лучшего качества я не сумел. Маленькие вырезаны из большой. Известно по крайней мере 2 (наверное больше) варианта записи доказательства Гёделя, они несколько различаются формулировками аксиом и нотацией. Я взял то, которое из Оксфордского издания его работ.
Гёделем история, разумеется, не заканчивается. Его доказательство (оно датировано 1970-м годом) тоже нашло своих критиков и интерпретаторов. Впрочем, и это совершенно не увидительно, если принять во внимание личность автора, никто, похоже, не сомневается что оно верно в рамках принятой формальной модели. Вопрос только один: как эту модель интерпретировать. Иными словами, все верят, что что-то Гёдель доказал, но вот что именно - не так чтобы ясно.
Итак,
Онтологическое доказательство
(*1970)
10-е февраля 1970 г.
Перевод:
Пусть φ - позитивно [позитивное качество. Ниже фигурируют объекты и их качества, свойства. Например: есть объект m, скажем, «мой веселый, звонкий мяч». Он может обладать качеством Z, скажем, «быть зеленым». Если мяч в самом деле зеленый, то Z(m) - истинно, пишем просто Z(m). На самом деле, как мы помним из классического труда Маршака времен детсадовского детства, он «желтый, красный, голубой», так что ~Z(m), то есть верно «не Z(m)»]
1.Аксиома 1: Если φ и ψ оба позитивны, то (φ и ψ) также позитивно, и так для любого количества
2.Аксиома 2: Позитивно или φ или (не φ); “или” в данном утверждении эксклюзивное
3. Определение 1: «x - божество» [понимать как: обладает качеством божественности], означает, что x обладает всеми позитивными качествами. [Это определение. Отсюда и из (2) следует, что объект, обладающий качеством божественности обладает только позитивными качествами]
4.Определение 2: Назовем φ сущностью х, если для любого ψ верно следующее: если х обладает ψ, то из этого необходимо следует, что для каждого y если y обладает φ, то он обладает и ψ. Сноска: любые 2 сущности х с необходимостью эквивалентны. [Иными словами, если нечто обладает сущностью х, то оно обладает и всеми его качествами. Если 2 объекта совпадают по сущности, то они совпадают по всем качествам.]
5.Следующая строка - обозначение для «необходимо следует». «q необходимо следует из p» означает что утверждение “p влечет за собой q” является необходимой истиной [Тут мы выходим на просторы модальной логики. Необходимой истиной будем называть истину, отрицание которой приводит к противоречию]
6.Аксиома 3: Если φ позитивно, то φ позитивно с необходимостью, и если φ не позитивно, то это также верно с необходимостью, поскольку это следует из природы данного свойства. [Тоже очевидно, даже несмотря на то, что определение позитивности, которое Гёдель приводит в другом месте, довольно расплывчато. Тем не менее, эта аксиома совершенно естественна для любой позитивности, как ее ни понимай]
7.Теорема: Если х обладает божественностью, то это качество - его сущность. [Очевидно, но если угодно, формально проверяется подстановкой в (4) и (5)]
8.Определение: х «необходимо существует» если для каждого φ верно следующее: если φ является сущностью х, то необходимой истиной явлется тот факт, что существует х такое, что х обладает φ. [Иными словами, если всегда существует объект обладающий сущностью x. Это наверное проще всего представить себе в такой семантике: сказать, что «объект x необходимо существует» означает сказать, что «в каждом возможном мире существует объект обладающий сущностью x»]
9.Аксиома 4: «Необходимое существование» позитивно. [Примечание - такое же как к 7, то есть достаточно очевидно само по себе. Вспоминаем, что «божественность» предполагает обладание всеми позитивными свойствами и только ими]
10.- 14. (следующие 4 строки) - основная теорема. Понимать эти строки надо так:
Существование объекта, обладающего качеством божественности, возможно [поскольку каждое позитивное свойство актуализировано в каком-то из возможных миров].
Такой объект обладает качеством необходимого существования. [Следует из (9), то есть из аксиомы 4, поскольку необходимое существование позитивно во всех возможных мирах].
Значит, такой объект должен существовать во всех возможных мирах [по определению необходимого существования. Помним, что «божественность» является сущностью обладающего ею объекта].
[Иными словами,] Если х обладает качеством божественности, то существование такого объекта необходимо.
[И еще раз:
Поскольку необходимое существование позитивно - оно следует из божественности. Более того, божественность является сущностью бога, поскольку бог не может обладать непозитивными свойствами (поскольку каждое из последних является отрицанием позитивного свойства). Поскольку каждый объект, обладающий качеством божественности, необходимо существует, то божественный объект в одном мире является таковым во всех мирах, по определению необходимого существования.]
И последнее: этот текст еще будет правиться, а возможно и будет удален совсем. Имейте это в виду, если кому-то захочется его прокомментировать. Сами комментарии будут приняты с удовольствием и заинтересованностью. Отдельное спасибо Данияру Шамканову за обсуждения нотации.