Попугайная геометрия (6)
В трапеции основания AD и BC соответственно равны 21 и 14, а сумма углов при основании AD равна 90 градусов. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СD, если АВ=6.
Решение
1) Продолжим боковые стороны трапеции AB и СD так, чтобы получился треугольник AМD.
По условию углы при основании трапеции A и D в сумме дают 90 градусов, следовательно угол М - прямой.
2) Треугольник AМD подобен треугольнику BМC , поэтому
АМ:ВМ=AD:BC, то есть (6+ВМ):ВМ=21:14
ВМ=12
3) Из точки В проведём луч параллельно прямой МК до пересечения с окружностью в точке F. По построению получается, что в треугольнике АВF угол В=90 градусов, поэтому АF - диаметр, АО=ОF=ОК - радиусы.
4) АМ||OK (OK - радиус к касательной), точка S -точка пересечения ОК и ВF.
5) Треугольник АВF подобен треугольнику ОSF c k=2, поэтому ОS=3
6) ВМКS - прямоугольник, следовательно КS=ВМ=12
R=OK=OS+SK=3+12=15
Решение
1) Продолжим боковые стороны трапеции AB и СD так, чтобы получился треугольник AМD.
По условию углы при основании трапеции A и D в сумме дают 90 градусов, следовательно угол М - прямой.
2) Треугольник AМD подобен треугольнику BМC , поэтому
АМ:ВМ=AD:BC, то есть (6+ВМ):ВМ=21:14
ВМ=12
3) Из точки В проведём луч параллельно прямой МК до пересечения с окружностью в точке F. По построению получается, что в треугольнике АВF угол В=90 градусов, поэтому АF - диаметр, АО=ОF=ОК - радиусы.
4) АМ||OK (OK - радиус к касательной), точка S -точка пересечения ОК и ВF.
5) Треугольник АВF подобен треугольнику ОSF c k=2, поэтому ОS=3
6) ВМКS - прямоугольник, следовательно КS=ВМ=12
R=OK=OS+SK=3+12=15