Процесс Коши
Так я называю случайный процесс, с независимым приращением и масштабно-инвариантный, у которого приращение подчиняется распределению Коши:
За время t вероятность того, что переменная сдвинется на x, равна dx t / Pi(t^2 + x^2 ).
По сравнению с более вменяемыми процессами, например Винеровским, это очень раздерганный.
Вопрос:
А он вообще локален?
Можно ли говорить, что за небольшое время у него будет, скорее всего, довольно близкий минимум и максимум?
Задача:
Пускай в момент времени 0 процесс находится в точке b. Какова вероятность f(a,b), что за время а процесс ни разу не опустится ниже нуля?
В силу маштабной инвариантности, сразу скажем, что f(a,b) = f(b/a).
Значит, для малого x имеем
f(b/(a+x)) = integrate_0^infinity dy x / Pi(x^2 + (y-b)^2) f(y/a).
При очень малом x эта формула вырождается в
-x b / a^2 f'(b/a) = integrate_0^infinity (|y-b|>v) dy x / Pi(x^2 + (y-b)^2) f(y/a) + 2 x/v / Pi f(b/a),
v - вспомогательная величина, гораздо больше x, но гораздо меньше b. Можем приравнять а=1, ибо все равно:
-Pi b f'(b) = integrate_0^infinity (|y-b|>v) dy / (y-b)^2 f(y) + 2/v f(b),
f'(b) = g(b),
Итак,
-Pi x g(x) = integrate_0^infinity [1 / (y-x)] g(y) dy,
квадратные скобки означают, что из интеграла нужно выбросить симметричный кусочек вокруг полюса.
Уравнение оказалось непростым.
Секрет в том, что на комплексной плоскости у этой функции разрез - положительная полуось, причем значения на самой полуоси отличны от обеих кромок.
Мне удалось его решить:
Я нестрого доказал, что это так. Численно сходится.
g(x) = A fi(x) / ( x^1/4 (1+x^2) )
fi(x) = prod(n>0) ( (1 + v^2/(n-1/4)^2 ) / (1 + v^2/(n-1/4)^2 ) ) ^ n,
v = log(x) / 2 Pi,
fi(x) = fi(1/x), fi(x->infinity) = x^1/4 / (Pi A),
А = (e^1/2 / Pi) prod_n>0 e ((n-1/4)/(n+1/4))^2n.
Поведение в крайних случаях:
для малого b и большого a: f(a,b) ~= 2/Pi sqrt(b/a)
для большого b и малого a: f(a,b) ~= 1 - 1/Pi a / b
За время t вероятность того, что переменная сдвинется на x, равна dx t / Pi(t^2 + x^2 ).
По сравнению с более вменяемыми процессами, например Винеровским, это очень раздерганный.
Вопрос:
А он вообще локален?
Можно ли говорить, что за небольшое время у него будет, скорее всего, довольно близкий минимум и максимум?
Задача:
Пускай в момент времени 0 процесс находится в точке b. Какова вероятность f(a,b), что за время а процесс ни разу не опустится ниже нуля?
В силу маштабной инвариантности, сразу скажем, что f(a,b) = f(b/a).
Значит, для малого x имеем
f(b/(a+x)) = integrate_0^infinity dy x / Pi(x^2 + (y-b)^2) f(y/a).
При очень малом x эта формула вырождается в
-x b / a^2 f'(b/a) = integrate_0^infinity (|y-b|>v) dy x / Pi(x^2 + (y-b)^2) f(y/a) + 2 x/v / Pi f(b/a),
v - вспомогательная величина, гораздо больше x, но гораздо меньше b. Можем приравнять а=1, ибо все равно:
-Pi b f'(b) = integrate_0^infinity (|y-b|>v) dy / (y-b)^2 f(y) + 2/v f(b),
f'(b) = g(b),
Итак,
-Pi x g(x) = integrate_0^infinity [1 / (y-x)] g(y) dy,
квадратные скобки означают, что из интеграла нужно выбросить симметричный кусочек вокруг полюса.
Уравнение оказалось непростым.
Секрет в том, что на комплексной плоскости у этой функции разрез - положительная полуось, причем значения на самой полуоси отличны от обеих кромок.
Мне удалось его решить:
Я нестрого доказал, что это так. Численно сходится.
g(x) = A fi(x) / ( x^1/4 (1+x^2) )
fi(x) = prod(n>0) ( (1 + v^2/(n-1/4)^2 ) / (1 + v^2/(n-1/4)^2 ) ) ^ n,
v = log(x) / 2 Pi,
fi(x) = fi(1/x), fi(x->infinity) = x^1/4 / (Pi A),
А = (e^1/2 / Pi) prod_n>0 e ((n-1/4)/(n+1/4))^2n.
Поведение в крайних случаях:
для малого b и большого a: f(a,b) ~= 2/Pi sqrt(b/a)
для большого b и малого a: f(a,b) ~= 1 - 1/Pi a / b