Случайная ортогональная матрица
Ортогональную матрицу размерности n следует строить в виде произведения: A*B, где
A = (1 - 2 r#r), 1 - единичиная матрица, # - тензорное произведение, r - единичный вектор, а именно:
Создаем случайный вектор размерности 2n-2, равномерно распределенный по единичной сфере. Первые n-1 координат заменяем на одну, равную корню из их сумы квадратов. Это будет первая координата вектора r. Оставшиеся n-1 оставляем без изменений.
B - в компоненте 1,1 имеет -1, все остальное в первой строке и первом столбце - по нулям, оставшееся - матрица размерности n-1, построенная по такой же процедуре.
Свойство: равномерность. Так мы случайным образом получаем все возможные ортогональные матрицы размерности n c таким распределением, что если мы их все домножим слева (или же справа) на одну любую ортогональную матрицу - распределение получится точно такое же.
Доказательство у меня в голове, лень писать.
A = (1 - 2 r#r), 1 - единичиная матрица, # - тензорное произведение, r - единичный вектор, а именно:
Создаем случайный вектор размерности 2n-2, равномерно распределенный по единичной сфере. Первые n-1 координат заменяем на одну, равную корню из их сумы квадратов. Это будет первая координата вектора r. Оставшиеся n-1 оставляем без изменений.
B - в компоненте 1,1 имеет -1, все остальное в первой строке и первом столбце - по нулям, оставшееся - матрица размерности n-1, построенная по такой же процедуре.
Свойство: равномерность. Так мы случайным образом получаем все возможные ортогональные матрицы размерности n c таким распределением, что если мы их все домножим слева (или же справа) на одну любую ортогональную матрицу - распределение получится точно такое же.
Доказательство у меня в голове, лень писать.