О парадоксе Паррондо, проблеме двух конвертов и диверсификации портфеля
Когда мы торгуем на нескольких рынках, а так должно быть, если мы хотим, чтобы наша торговля была прибыльной, то естественным образом встает вопрос, какую долю наших активов вкладывать в каждый рынок. Можно, конечно, не мудрствуя, равномерно распределить активы среди всех рынков, но при этом мы упускаем возможность существенно повысить эффективность за счет грамотного и рационального формирования структуры портфеля. Нельзя сказать «оптимального», т.к. у нас нет единого критерия и ,соответственно, корректного употребления понятия «оптимальный». Эффективность рационального формирования структуры портфеля можно проиллюстрировать знаменитым парадоксом Паррондо. Это парадокс из теории игр, который в наиболее общем виде можно сформулировать следующим образом:
Две стратегии игры, гарантирующие проигрыш игроку, приведут к выигрышу, если их чередовать в определенной последовательности.
С этим парадоксом тесно связано понятие уже из той области, которую мы рассматриваем; это т.н. «Volatility pumping» («накачка волатильности»). Так называется метод формирования портфеля на рынке акций, когда у нас есть, скажем, акция с очень большим размахом движения цены, но в среднем она не растет и не падает. Если мы возьмем еще одну акцию с таким же поведением , но небольшим размахом, более того, даже с большим размахом, то из них можно составить портфель с практически экспоненциально растущей доходностью.
Мы видим, особенно наглядно это проявляется на 2-й диаграмме, что две убыточные кривые (системы) в композициии дают прибыльную, и даже весьма.
С этим парадоксом тесно связан другой парадокс, который обычно называют «Проблемой двух конвертов». Он интересен и сам по себе, тем более, что достопримечателен тем, что до сих пор среди ученых нет единого мнения о нем, но и тем, что рассмотрение его дает некоторое понимание парадокса Паррондо. И, кроме того, его рассмотрение вскрывает определенный более глубокий слой смысла, лежащий не только в его основании, но и парадокса Паррондо.
Он формулируется так:
Игроку предлагают на выбор два конверта, в одном из которых находится сумма Х, а в другом в два раза больше - 2Х. При этом размер Х никак не оговаривается и теоретически не ограничивается. После того, как один конверт выбран, игроку предлагают открыть его и осмотреть, т.е. узнать, какая там сумма. После этого предлагается альтернатива: оставить этот конверт или взять второй. Оказывается, что стратегия выбора другого конверта при серии игр более прибыльна.
Это кажется странным, ведь конверты изначально абсолютно симметричны, и мысленно можно представить, что игрок выбрал второй конверт, и тогда ему нужно было брать первый, от которого он отказался. В общем, ситуация представляется непонятной. Один из подходов, к выявлению сути этого парадокса предложил австралийский математик Дерек Эббот с соавтором. Он долго размышлял над ним, но на решение натолкнул его Томас Ковер из Стэнфорда, с которым они обсуждали эту проблему. Тот предложил рассмотреть еще следующую стратегию: в следующей игре выбирать второй конверт, если увиденная сумма оказалась меньше предыдущей, и оставлять вскрытый, если больше. Сам Эббот рассказывает, что вначале посчитал эту идею бредом, потом подумал и все равно пришел к выводу, что бред какой-то. Однако пока летел в Австралию, там подумал еще и начал осознавать, что что-то в этом есть. Более того, он рассмотрел еще следующую стратегию: зафиксировать некую сумму S, и делать выбор в зависимости от того, больше или меньше открытая сумма зафиксированной. Причем число S фиксируется игроком в уме и никто, кроме него о ней не знает. Главное, чтобы он строго придерживался выбранной стратегии. Это действительно кажется более, чем странным, однако Эббот показал это, как на численных экспериментах, так впоследствии и теоретически (Randomized switching in the two-envelope problem. Mark D. McDonnell1 and Derek Abbott). Решение показало, что суть заключалась в том, что после вскрытия конверта стратегии, изначально бывшие абсолютно независимыми и равноправными, переставали быть таковыми. То есть, они становились ассиметричными и связанными. При этом уже рассматриваются не только две стратегии, но и еще одна, состоящая из обеих (см. подробнее http://www.membrana.ru/particle/2349).
Вот тут то и обнаруживается связь с парадоксом Паррондо: он тоже работает только в случае связанности стратегий. При этом, скажем, как в случае с «накачкой волатильности» такая связь может осуществляться через величину суммарного капитала.
Интересно, что эта идея используется Ральфом Винсом для нахождения т.н. «оптимального F», являющегося долей капитала от общей суммы, при которой применяемая стратегия показывает наибольшую доходность. Различие в том, что Винс изначально использует прибыльную стратегию и максимизирует её, а Паррондо говорит об убыточных стратегиях и получения прибыльной. Скорее всего, Винс не использовал идеи, связанные с парадоксом Паррондо, он изначально опирался на формулы Келли, выписанные для игр с постоянной ставкой. Однако тот факт, что эти два как бы независимых подхода оказываются так тесно между собой связанными, сам по себе достаточно примечателен.
Для нас же из всего этого, самого по себе очень интересного материала, важен один практический вывод: наиболее рациональную структуру портфеля следует формировать, используя не абсолютные величины долей, его составляющих, а доли от его суммарного капитала. При этом мы будем иметь возможность наиболее эффективно варьировать величины этих долей с целью получения решения, улучшающие нужные нам критерии. Важно также понимать, что оптимизация, как таковая, здесь еще более чревата, чем в случае с системой, т.к. в портфеле из 10-15 рынков мы имеем 20-30 параметров (в длинную и короткую стороны), вариацией которых мы можем достигнуть практически любого результата по любому единственному критерию: хоть невероятную доходность, измеряемую тысячами процентов, хоть практически бесконечное значение отношения Шарпа и т.д. Поэтому формирование структуры портфеля - достаточно тонкий и скрупулезный процесс, большей частью эвристический, чем оптимизационный, хотя и процедуры оптимизации в нем играют далеко не последнюю роль.
Как же наиболее разумно построить структуру портфеля?
(продолжение следует)
Две стратегии игры, гарантирующие проигрыш игроку, приведут к выигрышу, если их чередовать в определенной последовательности.
С этим парадоксом тесно связано понятие уже из той области, которую мы рассматриваем; это т.н. «Volatility pumping» («накачка волатильности»). Так называется метод формирования портфеля на рынке акций, когда у нас есть, скажем, акция с очень большим размахом движения цены, но в среднем она не растет и не падает. Если мы возьмем еще одну акцию с таким же поведением , но небольшим размахом, более того, даже с большим размахом, то из них можно составить портфель с практически экспоненциально растущей доходностью.
Мы видим, особенно наглядно это проявляется на 2-й диаграмме, что две убыточные кривые (системы) в композициии дают прибыльную, и даже весьма.
С этим парадоксом тесно связан другой парадокс, который обычно называют «Проблемой двух конвертов». Он интересен и сам по себе, тем более, что достопримечателен тем, что до сих пор среди ученых нет единого мнения о нем, но и тем, что рассмотрение его дает некоторое понимание парадокса Паррондо. И, кроме того, его рассмотрение вскрывает определенный более глубокий слой смысла, лежащий не только в его основании, но и парадокса Паррондо.
Он формулируется так:
Игроку предлагают на выбор два конверта, в одном из которых находится сумма Х, а в другом в два раза больше - 2Х. При этом размер Х никак не оговаривается и теоретически не ограничивается. После того, как один конверт выбран, игроку предлагают открыть его и осмотреть, т.е. узнать, какая там сумма. После этого предлагается альтернатива: оставить этот конверт или взять второй. Оказывается, что стратегия выбора другого конверта при серии игр более прибыльна.
Это кажется странным, ведь конверты изначально абсолютно симметричны, и мысленно можно представить, что игрок выбрал второй конверт, и тогда ему нужно было брать первый, от которого он отказался. В общем, ситуация представляется непонятной. Один из подходов, к выявлению сути этого парадокса предложил австралийский математик Дерек Эббот с соавтором. Он долго размышлял над ним, но на решение натолкнул его Томас Ковер из Стэнфорда, с которым они обсуждали эту проблему. Тот предложил рассмотреть еще следующую стратегию: в следующей игре выбирать второй конверт, если увиденная сумма оказалась меньше предыдущей, и оставлять вскрытый, если больше. Сам Эббот рассказывает, что вначале посчитал эту идею бредом, потом подумал и все равно пришел к выводу, что бред какой-то. Однако пока летел в Австралию, там подумал еще и начал осознавать, что что-то в этом есть. Более того, он рассмотрел еще следующую стратегию: зафиксировать некую сумму S, и делать выбор в зависимости от того, больше или меньше открытая сумма зафиксированной. Причем число S фиксируется игроком в уме и никто, кроме него о ней не знает. Главное, чтобы он строго придерживался выбранной стратегии. Это действительно кажется более, чем странным, однако Эббот показал это, как на численных экспериментах, так впоследствии и теоретически (Randomized switching in the two-envelope problem. Mark D. McDonnell1 and Derek Abbott). Решение показало, что суть заключалась в том, что после вскрытия конверта стратегии, изначально бывшие абсолютно независимыми и равноправными, переставали быть таковыми. То есть, они становились ассиметричными и связанными. При этом уже рассматриваются не только две стратегии, но и еще одна, состоящая из обеих (см. подробнее http://www.membrana.ru/particle/2349).
Вот тут то и обнаруживается связь с парадоксом Паррондо: он тоже работает только в случае связанности стратегий. При этом, скажем, как в случае с «накачкой волатильности» такая связь может осуществляться через величину суммарного капитала.
Интересно, что эта идея используется Ральфом Винсом для нахождения т.н. «оптимального F», являющегося долей капитала от общей суммы, при которой применяемая стратегия показывает наибольшую доходность. Различие в том, что Винс изначально использует прибыльную стратегию и максимизирует её, а Паррондо говорит об убыточных стратегиях и получения прибыльной. Скорее всего, Винс не использовал идеи, связанные с парадоксом Паррондо, он изначально опирался на формулы Келли, выписанные для игр с постоянной ставкой. Однако тот факт, что эти два как бы независимых подхода оказываются так тесно между собой связанными, сам по себе достаточно примечателен.
Для нас же из всего этого, самого по себе очень интересного материала, важен один практический вывод: наиболее рациональную структуру портфеля следует формировать, используя не абсолютные величины долей, его составляющих, а доли от его суммарного капитала. При этом мы будем иметь возможность наиболее эффективно варьировать величины этих долей с целью получения решения, улучшающие нужные нам критерии. Важно также понимать, что оптимизация, как таковая, здесь еще более чревата, чем в случае с системой, т.к. в портфеле из 10-15 рынков мы имеем 20-30 параметров (в длинную и короткую стороны), вариацией которых мы можем достигнуть практически любого результата по любому единственному критерию: хоть невероятную доходность, измеряемую тысячами процентов, хоть практически бесконечное значение отношения Шарпа и т.д. Поэтому формирование структуры портфеля - достаточно тонкий и скрупулезный процесс, большей частью эвристический, чем оптимизационный, хотя и процедуры оптимизации в нем играют далеко не последнюю роль.
Как же наиболее разумно построить структуру портфеля?
(продолжение следует)