О девушках и их ухажерах на простом и понятном языке линейной алгебры
Девушка подобна матрице. Априорно считаем ее невырожденной квадратной матрицей А.
А настоящего мужчину характеризует вектор b. Таким образом, мы получаем систему уравнений
Ax = b,
где х - искомый путь к сердцу девушки. Собственно, этот х надо найти.
И тут в игру вступает сама матрица, то есть девушка, которая, в зависимости от своих коэффициентов может облегчить или усложнить решение задачи.
У девушки есть норма и число обусловленности. Число обусловленности матрицы есть произведение нормы этой матрицы на норму обратной, и это число всегда больше 1. И чем это число больше, тем хуже.
То есть, для матриц, некая ошибка в векторе b приводит к ошибке в векторе х, в М раз большей. А в случае с девушкой, это значит, что если вы немного отклонитесь от ее ожиданий, это выльется в большое отклонение в результате.
И в случае реально большого числа обусловленности девушки найти путь к ее сердцу ой как не просто из-за больших ошибок.
Решение этой вечной математической задачи можно найти разными способами.
Сказочные Кирюшеньки напрямую находят обратную матрицу через алгебраические дополнения, и методом Крамера находят х. Процесс поиска конечен и завершится в ближайшую тысячу-другую лет. Удачи им в этом благородном деле.
Более опытные неудачники ищут путь методом Гаусса, это быстрее, но чревато тем, что искомый вектор будет найден только в конце процесса. В итоге, пока они этот вектор найдут, пройдет куча времени (правда, не вся жизнь, что без сомнения радует). Но метод Гаусса плохо работает с плохо обусловленными матрицами, поэтому более крутые их собратья используют пусть более медленный, но зато более точный метод вращений или отражений. Это, опять-таки, приводит к тому, что, пока они пути не нашли, они даже близко не знают, что с этой девушкой делать. Это врожденный порок всех точных методов.
В жизни это выражается в пассивном мониторинге соцсетей и наблюдении. Никаких активных действий, никаких шагов. Но, через каких-то 30 лет они точно поймут, как надо вести себя с ней, и они совершат попытку.
Более продвинутые в математике господа понимают, что пассивно искать путь к сердцу в течение нескольких десятков лет, мягко говоря, скучно, и переходят на итерационные методы, позволяющие гораздо быстрее приступить к активности и найти решение этой вечной задачи.
За начальное приближение ответа берут что попало, например, вектор "Киса с какова ты города" и, по ответам девушки, корректируют этот вектор с каждой новой итерацией, плавно переходя на "что вы делаете сегодня вечером, о прекрасный цветок рассвета?"
Правда, подобные пикап-мастера плохо знают, что метод простых итераций сходится только в том случае, если девушка представляет из себя сжимающее отображение. Поэтому горе-пикаперы нередко бывают отосланы куда подальше, вместо достижения поставленной цели. А при столкновении с большим числом обусловленности отправляются на бесконечность на первой же итерации.
Просвещенные в численных методах граждане используют методы Якоби, Гаусса-Зейделя или Чебышева, что существенно расширяет класс девушек, путь к сердцу которых они могут найти. Но даже они при столкновении с суровой реалией женской логики и чудовищным числом обусловленности терпят неудачу.
Поэтому истинные математики используют продвинутые алгоритмы типа GMRES или сопряженные градиенты, а при необходимости задействуют тёмную магию предобуславливателей. За считанное число шагов они находят решение любого уравнения, и все пути ко всем сердцам открываются за минуты.
Но, что характерно, подобный альфа-солвер зачастую быстро теряет интерес к уже найденному решению и ищет новых задач. Поэтому плохо обусловленные матрицы за пару десятилетий проходят через нескольких подобных знатоков математики, которые поитерируют и пикируют. И как раз через эти десятки лет старый добрый зомби-поклонник находит решение методом Гаусса или еще чем-то точным.
И женится на ней.