Математику Перельману присуждена Премия тысячелетия
Математики из американского института Клэя пошли на невиданную щедрость. Умную мысль они готовы оценить в $1 млн. А чтобы задать направление мыслительной деятельности, ученые составили список из семи задач тысячелетия - Millennium Prize Problems. Если у вас в школе по математике была пятерка, можете смело браться за карандаш. Полный вариант условий - на сайте www.claymath.org.
Математический институт Клэя был основан в Кембридже в 1998 году американским бизнесменом, учредителем и руководителем компании East Hill Management LLC (Бостон, США) Ланданом Клэем. Математик по образованию, он долгое время руководил известной корпорацией ADE Corporation, занимающейся производством систем контроля качества для компьютерных плат. Основными задачами созданного им некоммерческого института Клэй назвал распространение математических знаний, поддержку молодых и одаренных математиков, а также стимулирование решения основных математических проблем. Ради достижения последней цели институт и учредил семь премий Millennium Prize Problems
По сравнению с прошлым столетием количество таких проблем сократилось почти в четыре раза. Когда в самом начале XX века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт выступил на международном математическом конгрессе в Париже, оглашенный им список математических и логических задач, которые предстояло решить в ближайшие сто лет, насчитывал 23 позиции. Плюс еще три проблемы, с которых он начал свою речь,- они не вошли в список, поскольку необхо-димость их решения казалась ученому сама собой разумеющейся,- итого 26.
К концу века математики выполнили 20 заданий. Последним павшим бастионом стала знаменитая теорема Ферма. Две из оставшихся проблем были решены частично, две ждут своих «героев» до сих пор. Проблема математического описания физических аксиом признана нематематической. Задача о прямой как кратчайшем соединении двух точек была объявлена слишком расплывчатой: невозможно было понять, решена она или нет (вряд ли эти математики прощают такие отговорки своим студентам!).
Составленный уже в начале этого века новый список проблем насчитывает всего семь пунктов. Коренное отличие нынешнего списка, названного Millennium Prize Problems («Призовые задачи тысячелетия»), состоит в том, что за решение каждой из них Математическим институтом Клэя назначена премия в $1 млн. Вернее сказать, наоборот: проблем было выбрано имен¬но семь по числу выделенных на их решение миллионов. Решение задач Гилберта никакого вознаграждения, кроме вечной научной славы и глубокого научного же удовлетворения, не приносило.
• Гипотеза Пуанкаре.
Введение
Гипотеза Пуанкаре - одна из тех задач, даже ошибочные решения которых приводят к появлению новых областей математики; в этом с ней может соперничать разве что великая теорема Ферма.
Сходство с теоремой Ферма есть и еще в одном важном аспекте: общедоступности формулировки[Параллели с теоремой Ферма продолжаются и дальше: история доказательства обеих гипотез весьма схожа: гениальный одиночка на несколько лет полностью посвящает себя решению проблемы и добивается успеха].
Пончики, бублики и прочие сласти
Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых вы, читатели, вряд ли прошли в детстве, любят рассказывать о топологии, странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин - от Солнца. На самом деле, конечно, топология - очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!
Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна - ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 "дырка". В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).
Другое важное понятие - гомеоморфизм - также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм - это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин - в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.
Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что "трехмерная поверхность" может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера - это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера - поверхность трехмерного шара).
Ошибка на ошибке: история вопроса
Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки - теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность - сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.
Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно.
Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри Уайтхед[Джон Генри Константин Уайтхед (J.H.C. Whitehead, 1904-1960) - выдающийся английский математик, один из основателей теории гомотопий. Не следует его путать с его собственным дядей Альфредом Уайтхедом, тоже математиком, но специализировавшимся на логике и алгебре, соавтором Бертрана Рассела по знаменитой книге Principia Mathematica], который в 1930-е годы объявил о том, что нашел доказательство. Как вы уже догадались, его доказательство также было неверным. Однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В пятидесятые и шестидесятые годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители (таких всегда достаточно; не присоединяйтесь к их числу).
Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине - в многомерном случае все гораздо проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.
Доказательство Григория Перельмана (см. врезку) основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон (Richard Hamilton). Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях - так называемых потоках Риччи (Ricci flows), обобщающих уравнения термодинамики. Впрочем, в доказательстве Перельмана долгое время не могли разобраться ведущие топологи мира, и вряд ли оно когда-нибудь станет темой популярной статьи.
Алгоритмическая версия
К теме этой статьи примыкает интересная для компьютерщиков область математики - вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи есть, оказывается, и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана и предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.
Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом - конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющий по заданному кодовому слову, задает ли оно трехмерную сферу ("алгоритмическая проблема Пуанкаре"). Именно эту задачу атаковали в 1974 году А. Фоменко (тот самый), И. Володин и В. Кузнецов [Володин И.А., Кузнецов В.Е., Фоменко А.Т., "О проблеме алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы", Успехи математических наук, 1974, т. 29, N 5, с. 71-168.]. Они предположили, что определенное свойство кода (оно было названо "волной") дает критерий "сферичности". Однако строго доказать им удалось только, что наличие "волны" гарантирует - перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется "волна" никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма стильный по тем временам ход - провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них "волны". В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных представлений сферы - и во всех обнаружилась волна! С точки зрения здравого смысла - веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками, разумеется, воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно - спустя пару лет один из бывших учеников Фоменко обнаружил контрпример…
Спустя двадцать лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был построен[Abigail Thompson. Thin position and the recognition problem for S3. Math. Res. Lett., 1(5):613-630, 1994.]. Общая же проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности 3 открыта, она активно изучается и сегодня. Для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, для размерности 2 она была решена еще раньше, а вот в нашем родном трехмерье все почему-то невероятно сложно устроено.
Анри Пуанкаре
Анри Пуанкаре - один из самых блистательных представителей французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе: достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, - пост президента страны.
За свою жизнь Анри Пуанкаре успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности: долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе "Измерение времени" сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов (!), однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.
Философия и методы работы Пуанкаре тоже заслуживают внимания: он категорически не принимал набирающих в то время силу формалистических взглядов Рассела, Фреге и Гильберта, для которых математика была частью логики. Пуанкаре считал, что основа работы математика - интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования. В своих привычках он следовал этой философии: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах - вряд ли он смог бы повторить подвиг Григория Перельмана или Эндрю Уайлса, которые долгие годы посвящали себя одной задаче[Говорю это не для того, чтобы умалить достоинства Анри Пуанкаре - возможно (хотя весьма сомнительно), обладай он тем же математическим аппаратом, что Уайлс с Перельманом, он решил бы обе задачи за завтраком]. В его трудах неоднократно обнаруживались ошибки, но и в своих ошибках он был гениален: вовремя замеченная неточность Пуанкаре в знаменитом труде о проблеме трех тел привела к развитию теории хаоса, а другая - топологическая - к той самой гипотезе, которой и посвящена эта статья.
Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре
Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в СПбГУ, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию; сейчас снова работает в ПОМИ.
История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма: как и Эндрю Уайлс, Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба, - препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и нужная для того, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный препринт-сервер arXiv [Вот ссылки на препринты Перельмана на этом сервере, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре: http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 , http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 ] в ноябре 2002 года. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала гипотеза Пуанкаре.
В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Clay Mathematics Institute была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой; создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава - тяготит.
Текущее положение дел таково: множество экспертов тщательнейшим образом проверили детали доказательства. Опубликованы много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана[См., например, http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html]. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена. Что же касается обязательных публикаций, то представители Clay Mathematics Institute уже выступили с заявлением о том, что могут пересмотреть условия присуждения приза.
А вот шесть еще не решенных задач...
• Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
Чем сложнее объект, тем труднее исследовать его. Поэтому математики обычно сначала пытаются разложить такой объект на более простые составляющие (анализ). Но иногда при этом возникают новые части, неизвестно откуда взявшиеся и непонятно что собой представляющие. Либо, наоборот, при более детальном исследовании выясняется, что каких-то деталей явно не хватает. Например, исследуя просто кирпичи, мы не можем себе представить, каков составленный из них дом. Для этого нужно как минимум учесть еще и заключенное между кирпичами пустое пространство - комнаты. Профессор Кембриджа Уильям Ходж в своих трудах описал правила ана-лиза, при которых, как ему кажется, такие метаморфозы с лишними или недостающими частями не должны возникать. В этом случае любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть его ученые не могут уже более 60 лет.
• Уравнения Янга-Миллза (сформулированы в 1954 году)
Свои квантовые уравнения американские физики Чжэнь-Нин Янг и Роберт Миллз составили, наблюдая за движением элементарных частиц. Выведенные на основе практически одной только интуиции, они тем не менее замечательно описывают почти все виды взаимодействия этих объектов. С помощью уравнений даже было предсказано открытие новых частиц, которые потом действительно были найдены физиками-ядерщиками крупнейших мировых лабораторий - Брукхейвенской, Стэнфордской и европейской CERN. Правда, с помощью теории Янга-Миллза невоз¬можно правильно предсказать массу частиц, однако, несмотря на это, уравнениями смело пользуются почти все ядерщики мира. Хотя до сих пор непонятно, как они работают и так ли уж они верны. Из всех вышеперечисленных уравнений эти - наиболее сложные, поэтому мы их приводить не будем. Но если вам не хватит пяти миллионов, которые можно получить за решение предыдущих пяти проблем, никто не запретит решить еще и эту.
• Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера (сформулирована в I960 году)
«Философским камнем» математики можно назвать уравнения вида х в степени n + у в степени n + z в степени n +….= t в степени n . Наиболее простое - х в степени 2 + у в степени 2 = z в степени 2 - полностью исследовал еще за 300 лет до рождества Христова Евклид. Самое знаменитое из подобных уравнений стало основой для теоремы Ферма. А одно из самых больших решений (в докомпьютерную эпоху) предложил в 1769 Году Эйлер. Методом подстановки ему удалось соорудить следующее равенство:
2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734. Однако универсального метода вычисления для подобных уравнений не существует. Известно, что у каждого из них может быть либо конечное, либо бесконечное число решений. Математики Берч и Суиннертон-Дайер создали метод, по которому каждое такое уравнение можно свести к более простому, называемому дзета-функцией. Согласно их предположению, обоснованному экспериментально, но теоретически недоказанному, если эта функция в точке 1 будет равна О, то число решений будет бесконечным. В противном случае их либо вообще не будет, либо будет какое-то ограниченное число. Ни доказать, ни опровергнуть это утверждение пока никто не смог.
• Проблема решения-проверки (проблема Кука-Левина, сформулирована в 1971 году)
Если перед человеком ставят задачу найти в лесу закопанный там в прошлом веке клад, он может потратить на поиски и год, и два, и десятилетие, а то и всю жизнь. Все происходит гораздо быстрее, когда ему говорят: «Клад зарыт под единственной в лесу осиной. Пойди и проверь». Примерно то же происходит при решении любой задачи: на проверку решения уходит меньше вре-мени, чем на само решение. Но очевидность этого факта математиков не убеждает. Поэтому они задались вопросом: существует ли задача, проверка правильности решения которой будет занимать больше времени, чем само решение? Положительный ответ на этот вопрос приведет, например, к появлению нового поколения систем шифрования. Ведь частью взлома шифра является проверка правильности взлома, а сформулировать задачу, решение которой проверяется дольше, чем ищется,- значит сформулировать принципы составления такого шифра, чей ключ будет проверятся дольше, чем искаться.
• Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Среди всей массы чисел особое место занимают числа, которые невозможно разделить на что-то более мелкое, чем они сами (не считая единицы): 2,3,5,7,11, 13,17 и так далее. Такие числа называ-ются простыми. Как они распределяются по числовому ряду - пока известно одному богу. Проверить, является ли число простым, можно, только разделив его на все меньшие числа. Самое большое из известных на сегодняшний день простых чисел было найдено в марте этого года и состоит из 7 816 230 цифр. Риман же нашел метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих некое заданное число. На сегодня математики проверили этот метод с полутора триллионами простых. Сбоев пока не было. Однако это вовсе не говорит о том, что метод не споткнется на первом после полутора триллионов простом числе. А поскольку гипотеза Римана, перешедшая в новый список еще из списка Гилберта, активно используется для расчета систем безопасности передачи данных, в сотовых сетях, в интернете, ее доказательство имеет заметный практический смысл. И миллион здесь платить есть за что.
• Уравнения Навье-Стокса (сформулированы в 1822 году)
Когда вы плывете по озеру на лодке, от нее разбегаются волны. Вслед за летящим самолетом или мчащимся автомобилем возникают турбулентные потоки. Все эти явления описываются уравнениями Навье-Стокса. Проблема заключается в следующем: несмотря на то, что уравнения созданы уже достаточно давно, как их решать, до сих пор никто не знает. Мало того, никто пока даже не знает, существует ли вообще способ их решения. В то же время ими весьма активно пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов, автомобилей и кораблей. Правда, использовать их можно пока только «в одну сторону»: подставлять полученные в ходе аэродинамических испытаний значения скорости, времени, давления, плотности и т. д. и вычислять по ним неизвестные характеристики, например, летательного аппарата. Если кто-нибудь из математиков найдет решение, пользоваться уравнениями можно будет и в противоположном направлении, вычисляя всё необходимые параметры без испытаний.
Комментарий эксперта. Анатолий Фоменко, математик, академик РАН:
«В наше время назначение денежных премий будет безусловно способствовать более быстрому решению „проблем тысячелетия". Сейчас занимающаяся наукой молодежь интересуется не только научными, но и довольно прагматичными вопросами. И назначение таких премий для науки - благо. Эти проблемы довольно сложны, и ситуация, какая получилась с теоремой Ферма, когда решить ее пытались все, кому не лень, здесь возникнуть не должна. Непрофессионал за такую работу просто не возьмется: он ее не поймет. Вообще, выбор проблем в призовом списке довольно случаен. Есть много очень интересных вопросов. И мода на них постоянно меняется. Какие-то вопросы были интересны раньше, какие-то стали интересными только сейчас. Однако на авторитет клэевских задач работает фактор времени. Проблемы сформулированы давно, считаются до сих пор актуальными, поэтому дело это полезное. И потом, значение имеет даже не сам факт решения проблемы, а методы, которые при этом возникают. Поэтому для математики, для науки сам факт наличия такого списка очень важен».
p.s.
На самом деле то, что мы более трех веков называли «теоремой Ферма», получило право называться таковой лишь 10 лет назад. После того, как было официально доказано профессором Принстона Эндрю Уайлсом. До того времени теорема, будучи недоказанной, должна была именоваться гипотезой. Запись о том, что выражение х в степени п + y в степени n = z в степени n не имеет решения в целых числах при п > 2, Пьер Ферма оставил на полях книги Диофанта «Арифметика» в 1637 году. Тут же он написал, что знает, как доказать это, но для доказательства слишком мало места на полях. Больше трех веков над секретом бились не только ученые математики, но и студенты, инженеры, учителя и даже люди, совсем далекие от науки, настолько простой и красивой казалась задача. Еще большей популярности теоремы способствовала назначенная в 1908 году за ее доказательство премия в 100 тыс. немецких марок (около $1,5 млн по-современному).
ПО МАТЕРИАЛАМ
1. СЕРГЕЙ НИКОЛЕНКО ОПУБЛИКОВАНО В ЖУРНАЛЕ "КОМПЬЮТЕРРА" №1-2 ОТ 18 ЯНВАРЯ 2006 ГОДА
2. ЖУРНАЛ Ё 14 - 20 НОЯБРЯ 2005Г.
Дополнения http://www.tphs.info/lib/exe/fetch.php/wiki:autor:serov:2010_07_topology.pdf
Математический институт Клэя был основан в Кембридже в 1998 году американским бизнесменом, учредителем и руководителем компании East Hill Management LLC (Бостон, США) Ланданом Клэем. Математик по образованию, он долгое время руководил известной корпорацией ADE Corporation, занимающейся производством систем контроля качества для компьютерных плат. Основными задачами созданного им некоммерческого института Клэй назвал распространение математических знаний, поддержку молодых и одаренных математиков, а также стимулирование решения основных математических проблем. Ради достижения последней цели институт и учредил семь премий Millennium Prize Problems
По сравнению с прошлым столетием количество таких проблем сократилось почти в четыре раза. Когда в самом начале XX века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт выступил на международном математическом конгрессе в Париже, оглашенный им список математических и логических задач, которые предстояло решить в ближайшие сто лет, насчитывал 23 позиции. Плюс еще три проблемы, с которых он начал свою речь,- они не вошли в список, поскольку необхо-димость их решения казалась ученому сама собой разумеющейся,- итого 26.
К концу века математики выполнили 20 заданий. Последним павшим бастионом стала знаменитая теорема Ферма. Две из оставшихся проблем были решены частично, две ждут своих «героев» до сих пор. Проблема математического описания физических аксиом признана нематематической. Задача о прямой как кратчайшем соединении двух точек была объявлена слишком расплывчатой: невозможно было понять, решена она или нет (вряд ли эти математики прощают такие отговорки своим студентам!).
Составленный уже в начале этого века новый список проблем насчитывает всего семь пунктов. Коренное отличие нынешнего списка, названного Millennium Prize Problems («Призовые задачи тысячелетия»), состоит в том, что за решение каждой из них Математическим институтом Клэя назначена премия в $1 млн. Вернее сказать, наоборот: проблем было выбрано имен¬но семь по числу выделенных на их решение миллионов. Решение задач Гилберта никакого вознаграждения, кроме вечной научной славы и глубокого научного же удовлетворения, не приносило.
• Гипотеза Пуанкаре.
Введение
Гипотеза Пуанкаре - одна из тех задач, даже ошибочные решения которых приводят к появлению новых областей математики; в этом с ней может соперничать разве что великая теорема Ферма.
Сходство с теоремой Ферма есть и еще в одном важном аспекте: общедоступности формулировки[Параллели с теоремой Ферма продолжаются и дальше: история доказательства обеих гипотез весьма схожа: гениальный одиночка на несколько лет полностью посвящает себя решению проблемы и добивается успеха].
Пончики, бублики и прочие сласти
Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых вы, читатели, вряд ли прошли в детстве, любят рассказывать о топологии, странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин - от Солнца. На самом деле, конечно, топология - очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!
Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна - ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 "дырка". В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).
Другое важное понятие - гомеоморфизм - также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм - это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин - в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.
Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что "трехмерная поверхность" может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера - это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера - поверхность трехмерного шара).
Ошибка на ошибке: история вопроса
Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки - теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность - сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.
Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно.
Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри Уайтхед[Джон Генри Константин Уайтхед (J.H.C. Whitehead, 1904-1960) - выдающийся английский математик, один из основателей теории гомотопий. Не следует его путать с его собственным дядей Альфредом Уайтхедом, тоже математиком, но специализировавшимся на логике и алгебре, соавтором Бертрана Рассела по знаменитой книге Principia Mathematica], который в 1930-е годы объявил о том, что нашел доказательство. Как вы уже догадались, его доказательство также было неверным. Однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В пятидесятые и шестидесятые годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители (таких всегда достаточно; не присоединяйтесь к их числу).
Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине - в многомерном случае все гораздо проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.
Доказательство Григория Перельмана (см. врезку) основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон (Richard Hamilton). Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях - так называемых потоках Риччи (Ricci flows), обобщающих уравнения термодинамики. Впрочем, в доказательстве Перельмана долгое время не могли разобраться ведущие топологи мира, и вряд ли оно когда-нибудь станет темой популярной статьи.
Алгоритмическая версия
К теме этой статьи примыкает интересная для компьютерщиков область математики - вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи есть, оказывается, и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана и предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.
Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом - конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющий по заданному кодовому слову, задает ли оно трехмерную сферу ("алгоритмическая проблема Пуанкаре"). Именно эту задачу атаковали в 1974 году А. Фоменко (тот самый), И. Володин и В. Кузнецов [Володин И.А., Кузнецов В.Е., Фоменко А.Т., "О проблеме алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы", Успехи математических наук, 1974, т. 29, N 5, с. 71-168.]. Они предположили, что определенное свойство кода (оно было названо "волной") дает критерий "сферичности". Однако строго доказать им удалось только, что наличие "волны" гарантирует - перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется "волна" никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма стильный по тем временам ход - провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них "волны". В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных представлений сферы - и во всех обнаружилась волна! С точки зрения здравого смысла - веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками, разумеется, воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно - спустя пару лет один из бывших учеников Фоменко обнаружил контрпример…
Спустя двадцать лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был построен[Abigail Thompson. Thin position and the recognition problem for S3. Math. Res. Lett., 1(5):613-630, 1994.]. Общая же проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности 3 открыта, она активно изучается и сегодня. Для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, для размерности 2 она была решена еще раньше, а вот в нашем родном трехмерье все почему-то невероятно сложно устроено.
Анри Пуанкаре
Анри Пуанкаре - один из самых блистательных представителей французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе: достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, - пост президента страны.
За свою жизнь Анри Пуанкаре успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности: долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе "Измерение времени" сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов (!), однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.
Философия и методы работы Пуанкаре тоже заслуживают внимания: он категорически не принимал набирающих в то время силу формалистических взглядов Рассела, Фреге и Гильберта, для которых математика была частью логики. Пуанкаре считал, что основа работы математика - интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования. В своих привычках он следовал этой философии: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах - вряд ли он смог бы повторить подвиг Григория Перельмана или Эндрю Уайлса, которые долгие годы посвящали себя одной задаче[Говорю это не для того, чтобы умалить достоинства Анри Пуанкаре - возможно (хотя весьма сомнительно), обладай он тем же математическим аппаратом, что Уайлс с Перельманом, он решил бы обе задачи за завтраком]. В его трудах неоднократно обнаруживались ошибки, но и в своих ошибках он был гениален: вовремя замеченная неточность Пуанкаре в знаменитом труде о проблеме трех тел привела к развитию теории хаоса, а другая - топологическая - к той самой гипотезе, которой и посвящена эта статья.
Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре
Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в СПбГУ, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию; сейчас снова работает в ПОМИ.
История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма: как и Эндрю Уайлс, Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба, - препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и нужная для того, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный препринт-сервер arXiv [Вот ссылки на препринты Перельмана на этом сервере, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре: http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 , http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 ] в ноябре 2002 года. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала гипотеза Пуанкаре.
В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Clay Mathematics Institute была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой; создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава - тяготит.
Текущее положение дел таково: множество экспертов тщательнейшим образом проверили детали доказательства. Опубликованы много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана[См., например, http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html]. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена. Что же касается обязательных публикаций, то представители Clay Mathematics Institute уже выступили с заявлением о том, что могут пересмотреть условия присуждения приза.
А вот шесть еще не решенных задач...
• Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
Чем сложнее объект, тем труднее исследовать его. Поэтому математики обычно сначала пытаются разложить такой объект на более простые составляющие (анализ). Но иногда при этом возникают новые части, неизвестно откуда взявшиеся и непонятно что собой представляющие. Либо, наоборот, при более детальном исследовании выясняется, что каких-то деталей явно не хватает. Например, исследуя просто кирпичи, мы не можем себе представить, каков составленный из них дом. Для этого нужно как минимум учесть еще и заключенное между кирпичами пустое пространство - комнаты. Профессор Кембриджа Уильям Ходж в своих трудах описал правила ана-лиза, при которых, как ему кажется, такие метаморфозы с лишними или недостающими частями не должны возникать. В этом случае любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть его ученые не могут уже более 60 лет.
• Уравнения Янга-Миллза (сформулированы в 1954 году)
Свои квантовые уравнения американские физики Чжэнь-Нин Янг и Роберт Миллз составили, наблюдая за движением элементарных частиц. Выведенные на основе практически одной только интуиции, они тем не менее замечательно описывают почти все виды взаимодействия этих объектов. С помощью уравнений даже было предсказано открытие новых частиц, которые потом действительно были найдены физиками-ядерщиками крупнейших мировых лабораторий - Брукхейвенской, Стэнфордской и европейской CERN. Правда, с помощью теории Янга-Миллза невоз¬можно правильно предсказать массу частиц, однако, несмотря на это, уравнениями смело пользуются почти все ядерщики мира. Хотя до сих пор непонятно, как они работают и так ли уж они верны. Из всех вышеперечисленных уравнений эти - наиболее сложные, поэтому мы их приводить не будем. Но если вам не хватит пяти миллионов, которые можно получить за решение предыдущих пяти проблем, никто не запретит решить еще и эту.
• Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера (сформулирована в I960 году)
«Философским камнем» математики можно назвать уравнения вида х в степени n + у в степени n + z в степени n +….= t в степени n . Наиболее простое - х в степени 2 + у в степени 2 = z в степени 2 - полностью исследовал еще за 300 лет до рождества Христова Евклид. Самое знаменитое из подобных уравнений стало основой для теоремы Ферма. А одно из самых больших решений (в докомпьютерную эпоху) предложил в 1769 Году Эйлер. Методом подстановки ему удалось соорудить следующее равенство:
2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734. Однако универсального метода вычисления для подобных уравнений не существует. Известно, что у каждого из них может быть либо конечное, либо бесконечное число решений. Математики Берч и Суиннертон-Дайер создали метод, по которому каждое такое уравнение можно свести к более простому, называемому дзета-функцией. Согласно их предположению, обоснованному экспериментально, но теоретически недоказанному, если эта функция в точке 1 будет равна О, то число решений будет бесконечным. В противном случае их либо вообще не будет, либо будет какое-то ограниченное число. Ни доказать, ни опровергнуть это утверждение пока никто не смог.
• Проблема решения-проверки (проблема Кука-Левина, сформулирована в 1971 году)
Если перед человеком ставят задачу найти в лесу закопанный там в прошлом веке клад, он может потратить на поиски и год, и два, и десятилетие, а то и всю жизнь. Все происходит гораздо быстрее, когда ему говорят: «Клад зарыт под единственной в лесу осиной. Пойди и проверь». Примерно то же происходит при решении любой задачи: на проверку решения уходит меньше вре-мени, чем на само решение. Но очевидность этого факта математиков не убеждает. Поэтому они задались вопросом: существует ли задача, проверка правильности решения которой будет занимать больше времени, чем само решение? Положительный ответ на этот вопрос приведет, например, к появлению нового поколения систем шифрования. Ведь частью взлома шифра является проверка правильности взлома, а сформулировать задачу, решение которой проверяется дольше, чем ищется,- значит сформулировать принципы составления такого шифра, чей ключ будет проверятся дольше, чем искаться.
• Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Среди всей массы чисел особое место занимают числа, которые невозможно разделить на что-то более мелкое, чем они сами (не считая единицы): 2,3,5,7,11, 13,17 и так далее. Такие числа называ-ются простыми. Как они распределяются по числовому ряду - пока известно одному богу. Проверить, является ли число простым, можно, только разделив его на все меньшие числа. Самое большое из известных на сегодняшний день простых чисел было найдено в марте этого года и состоит из 7 816 230 цифр. Риман же нашел метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих некое заданное число. На сегодня математики проверили этот метод с полутора триллионами простых. Сбоев пока не было. Однако это вовсе не говорит о том, что метод не споткнется на первом после полутора триллионов простом числе. А поскольку гипотеза Римана, перешедшая в новый список еще из списка Гилберта, активно используется для расчета систем безопасности передачи данных, в сотовых сетях, в интернете, ее доказательство имеет заметный практический смысл. И миллион здесь платить есть за что.
• Уравнения Навье-Стокса (сформулированы в 1822 году)
Когда вы плывете по озеру на лодке, от нее разбегаются волны. Вслед за летящим самолетом или мчащимся автомобилем возникают турбулентные потоки. Все эти явления описываются уравнениями Навье-Стокса. Проблема заключается в следующем: несмотря на то, что уравнения созданы уже достаточно давно, как их решать, до сих пор никто не знает. Мало того, никто пока даже не знает, существует ли вообще способ их решения. В то же время ими весьма активно пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов, автомобилей и кораблей. Правда, использовать их можно пока только «в одну сторону»: подставлять полученные в ходе аэродинамических испытаний значения скорости, времени, давления, плотности и т. д. и вычислять по ним неизвестные характеристики, например, летательного аппарата. Если кто-нибудь из математиков найдет решение, пользоваться уравнениями можно будет и в противоположном направлении, вычисляя всё необходимые параметры без испытаний.
Комментарий эксперта. Анатолий Фоменко, математик, академик РАН:
«В наше время назначение денежных премий будет безусловно способствовать более быстрому решению „проблем тысячелетия". Сейчас занимающаяся наукой молодежь интересуется не только научными, но и довольно прагматичными вопросами. И назначение таких премий для науки - благо. Эти проблемы довольно сложны, и ситуация, какая получилась с теоремой Ферма, когда решить ее пытались все, кому не лень, здесь возникнуть не должна. Непрофессионал за такую работу просто не возьмется: он ее не поймет. Вообще, выбор проблем в призовом списке довольно случаен. Есть много очень интересных вопросов. И мода на них постоянно меняется. Какие-то вопросы были интересны раньше, какие-то стали интересными только сейчас. Однако на авторитет клэевских задач работает фактор времени. Проблемы сформулированы давно, считаются до сих пор актуальными, поэтому дело это полезное. И потом, значение имеет даже не сам факт решения проблемы, а методы, которые при этом возникают. Поэтому для математики, для науки сам факт наличия такого списка очень важен».
p.s.
На самом деле то, что мы более трех веков называли «теоремой Ферма», получило право называться таковой лишь 10 лет назад. После того, как было официально доказано профессором Принстона Эндрю Уайлсом. До того времени теорема, будучи недоказанной, должна была именоваться гипотезой. Запись о том, что выражение х в степени п + y в степени n = z в степени n не имеет решения в целых числах при п > 2, Пьер Ферма оставил на полях книги Диофанта «Арифметика» в 1637 году. Тут же он написал, что знает, как доказать это, но для доказательства слишком мало места на полях. Больше трех веков над секретом бились не только ученые математики, но и студенты, инженеры, учителя и даже люди, совсем далекие от науки, настолько простой и красивой казалась задача. Еще большей популярности теоремы способствовала назначенная в 1908 году за ее доказательство премия в 100 тыс. немецких марок (около $1,5 млн по-современному).
ПО МАТЕРИАЛАМ
1. СЕРГЕЙ НИКОЛЕНКО ОПУБЛИКОВАНО В ЖУРНАЛЕ "КОМПЬЮТЕРРА" №1-2 ОТ 18 ЯНВАРЯ 2006 ГОДА
2. ЖУРНАЛ Ё 14 - 20 НОЯБРЯ 2005Г.
Дополнения http://www.tphs.info/lib/exe/fetch.php/wiki:autor:serov:2010_07_topology.pdf