Mатематический плач мне посоветовали в дискусии (в комментариях): может ли ребенок в пропагандируемом автором стиле "учимся, играя" открыть логарифмы
( Read more... )
С подачи И-П получается так, что "естественное" изобретение логарифма школьниками требует ДВУХ детей: сметливого старшеклассника и нерадивого младшеклассника. Младшеклассник наносит числа от 1 до 100 на логарифмические шкалы, а старшеклассник замечает, что если их сдвинуть, выходит произведение. Но поскольку они сидят в разных классах (чтоб старшие не колотили младших), прозрения никогда не выходит.
Если всерьёз, то начинать подводить к этой мысли можно очень рано, - поиграть с арифметической и геометрической прогрессией, начиная с историй Перельмана про то, как быстро растёт прогрессия со знаменателем 2.
Одна из любимых моих задач для младших школьников, - про бактерий, которые делятся раз в час. За двое суток из одной бактерии, посаженной в питательный раствор, выросло потомство, заполняющее целиком стакан. За сколько времени такие же бактерии заполнят стакан, если вначале там была не одна, а две бактерии.
Отсюда уже логарифмы проглядываются вполне конкретно: числа вида 2^n очень просто перемножать друг с другом (а вот складывать очень непросто). Как сделать так, чтобы любое число представлялось в виде 2^x? тут уже беда, рациональными иксами не обойдёшься (см. текст про дифуры). Но можно попытаться заменить двойку числом поменьше (поближе к единице). Именно это и сделал Непер, - опубликовав таблицы целых степеней числа типа 1.00000001 или что-то вроде.
Если бы... Непер опубликовал таблицы логарифмических синусов, косинусов и тангенсов. А находил он логарифмы не последовательным возведением в степень, а через неравенства, именно что анализом http://mathforum.org/mathimages/index.php/The_Logarithms,_Its_Discovery_and_Development Конечно, отправной точкой были прогрессии, но педагогичекая ценность его способа, по-моему, равна нулю.
Вероятно, самый простой выход не гнать с логарифмами, пока не подходят близко к анализу, а ограничиваться прогрессиями. Необходимости спешить нет: раннее знакомство с логарифмической линейкой и таблицами более не нужно, это было извращение докалькуляторной поры. В анализе логарифмы вылезут сами по себе; специально "изобретать" их не нужно.
Кажется, вы обучение математике обсуждаете с точки зрения математиков. Для которых она является вещью в себе. И математике детей учат просто ради математики.
С прикладной точки зрения (физика, РТ-шника, химика, ...) это не так очевидно. Я прочитал про логарифмы когда мне в руки попалась "занимательная математика" с описанием музыкальных нот через частоты и логарифмичекую шкалу. И логарифмы выглядели совершенно естественной вещью.
И в принципе, когда почти всю сознательную жизнь работаешь с физическим диапазоном чисел, где длины (и длины волн) бывают от астрономических единиц до ангстрем со всеми остановками, и массы им соответсвуют, линейные масштабы совсем не кажутся естественными.
Более нетривиальный для восприятия момент - сочетание в формулах размерностей величин и логарифмов или степеней. Так как нельзя взять экспоненту или логарифм от величины с неединичной размерностью.
Для этого логарифм (как функция) не нужен, нужно только знать геометрическую прогрессию. Логарифмическую шкалу не обязательно понимать как непрерывную функцию. Клавир хорошо темперирован, но клавиш конечное число. Для классификации э/м волн годятся "темперированные" диапазоны и линейные шкалы в каждой (так мы, собственно и делаем в жизни). Острой потебности в логарифме нет, пока не появляются формулы, в которых он явно возникает. А возникает он, как правило, из дифф. уравнений или статистики (скажем, оценки факториалов в статфизике).
Среди математиков (ура единомышленникам, если таковые ещё есть) процветает вера в Самое Правильное Введение В. Среди неединомышленников версии расходятся (да, и я там был, мёд-пиво пил).
Бурбаки были частью процесса. Матшкольные учителя участвовали, матшкольники диссидентствовали.
На втором курсе мехмата на уроках английского языка мы учили текст There is no royal road to mathematics. Выучили, сдали, кто-то позабыл. А старые партизаны помнят: jedem das seine. А Посторонним В. лучше не в.
О, класс, спасибо! Буду теперь ее в интервью использовать, вместе с задачкой про сечение куба плоскостью. Хорошие, годные сисадмины как раз на таком уровне. Тем более, что ее чистой логикой можно решить, безо всяких логарифмов. Хотя, если пытуемый составит уравнение, тогда точно найму!
Reply
Reply
Дифуры надо было решать ;-) А школьникам его объясняют до того, как научат дифференцировать.
Reply
Reply
Одна из любимых моих задач для младших школьников, - про бактерий, которые делятся раз в час. За двое суток из одной бактерии, посаженной в питательный раствор, выросло потомство, заполняющее целиком стакан. За сколько времени такие же бактерии заполнят стакан, если вначале там была не одна, а две бактерии.
Отсюда уже логарифмы проглядываются вполне конкретно: числа вида 2^n очень просто перемножать друг с другом (а вот складывать очень непросто). Как сделать так, чтобы любое число представлялось в виде 2^x? тут уже беда, рациональными иксами не обойдёшься (см. текст про дифуры). Но можно попытаться заменить двойку числом поменьше (поближе к единице). Именно это и сделал Непер, - опубликовав таблицы целых степеней числа типа 1.00000001 или что-то вроде.
Reply
Reply
http://mathforum.org/mathimages/index.php/The_Logarithms,_Its_Discovery_and_Development
Конечно, отправной точкой были прогрессии, но педагогичекая ценность его способа, по-моему, равна нулю.
Вероятно, самый простой выход не гнать с логарифмами, пока не подходят близко к анализу, а ограничиваться прогрессиями. Необходимости спешить нет: раннее знакомство с логарифмической линейкой и таблицами более не нужно, это было извращение докалькуляторной поры. В анализе логарифмы вылезут сами по себе; специально "изобретать" их не нужно.
Reply
С прикладной точки зрения (физика, РТ-шника, химика, ...) это не так очевидно. Я прочитал про логарифмы когда мне в руки попалась "занимательная математика" с описанием музыкальных нот через частоты и логарифмичекую шкалу. И логарифмы выглядели совершенно естественной вещью.
И в принципе, когда почти всю сознательную жизнь работаешь с физическим диапазоном чисел, где длины (и длины волн) бывают от астрономических единиц до ангстрем со всеми остановками, и массы им соответсвуют, линейные масштабы совсем не кажутся естественными.
Более нетривиальный для восприятия момент - сочетание в формулах размерностей величин и логарифмов или степеней. Так как нельзя взять экспоненту или логарифм от величины с неединичной размерностью.
Reply
По-моему, хахам дело говорит.
Reply
Бурбаки были частью процесса. Матшкольные учителя участвовали, матшкольники диссидентствовали.
На втором курсе мехмата на уроках английского языка мы учили текст There is no royal road to mathematics. Выучили, сдали, кто-то позабыл. А старые партизаны помнят: jedem das seine. А Посторонним В. лучше не в.
Reply
--
Коган-варвар
Reply
Отсюда уже логарифмы проглядываются вполне конкретно: числа вида 2^n очень просто перемножать друг с другом (а вот складывать очень непросто).
в двоичной системе проще, не?
Reply
Reply
Reply
Leave a comment