(Untitled)

[jtootf]

добрый день

в данный момент пытаюсь разобраться в ТК, читая книгу "Goldblatt. Topoi: The Categorial Analysis of Logic" (так уж получилось, что у меня есть только англоязычный её вариант), в процессе разбора возникают вопросы. буду благодарен, если поможете разобраться

Comments

ой

[ext_179323]

Если коротко: Голдблатта лучше не читать. Он написан слишком путано.
Здесь же есть большой список со ссылками, можно взять что-то оттуда.

Извините, конечно. ;)

Re: ой

[jtootf]

ясно, учту :) но вопросы всё равно хотелось бы прояснить - да и дочитать (пусть и параллельно с чем-то более понятным) всё же хочется, не бросать же на полпути

1)

[ext_179323]

подход другой.

когда говорится, что объект один - значит просто есть одно имя для объекта (допустим, "!"), чем являются объекты мы не интересуемся. можно было сказать, что объекты образуют одноэлементное множество.

а вот морфизмы !->! это как раз и есть элементы группы, и умножение на них мы можем задать, как в исходной группе. получили категорию (на самом деле - функтор Group->Cat)

Re: 1)

[jtootf]

непонятно. насчёт объектов более-менее понятно, а вот с морфизмами плохо

в данном случае морфизм и стрелка - одно и то же? и что такое "элемент группы" - объект рассматриваемой категории, или элемент рассматриваемой группы? если последнее, то непонятно почему они !->!, а не некий x (принадлежащий "!")

ну раз начал отвечать...

[ext_179323]

да, "морфизм и стрелка" одно и тоже.

да, "элемент группы" это "элемент группы", а не "объект категории".

"почему они !->!" - это мы так конструируем категорию. могли сделать это иначе. хотя объект у нас один, никаких других "х" нет, потому иначе бы и не получилось - в данном случае.

а лучше все-таки возьмите нормальный учебник. ;)

Re: ну раз начал отвечать...

[jtootf]

спасибо :) нормальный учебник возьму. посоветуете какой-нибудь?

литература

[ext_179323]

помимо рекомендованных ниже Barr&Wells и самого Маклейна, можно в порядке экперимента посмотреть Practical Foundations of Mathematics by Paul Taylor.

2)

[ext_179323]

антисимметричность, фактически, - утверждение, что "изоморфность" и "равенство" совпадают. на языке т.к. это "скелетальность".

равенство на объектах можно не вводить, тогда в таком ограниченном языке антисимметричность сформулировать не удастся. но это и не особо надо: появление (экстенсионального) равенства в теории - побочный эффект моделирования т.к. в теории множеств.

Re: 2)

[jtootf]

о, спасибо, с этим намного понятней

3)

[ext_179323]

вообще, доказывается "когда как". и надо обращать внимание, "конечно полная" нам нужна, или полная до какого-то кардинала.

чаща всего либо наша категория строится из уже готовых хороших категорий, тогда доказывается, что наш способ конструирования сохраняет полноту - категории функторов, категории алгебр монады.

другой случай - исходная категория специально пополняется до полной (фактически, конструируется из функторов в категорию множеств). либо строится как "обладающая универсальным свойством, среди всех полных категорий".

нетривиальный пример: полная категория с классификатором подобъектов является топосом и, следовательно, кополной. доказывается очень просто ;)

ССС = декартово замкнутые категории.

Re: 3)

[jtootf]

спасибо, с этим тоже более-менее понятно. во всяком случае до тех пор, пока не дойду до, собственно, функторов (сейчас о них только общее представление как о "морфизмах категорий")

Re: ой

[ulysses4ever]

А что скажете про книжку Джонстона «Теория топосов»? Там в предисловии Ю. И. Манин говорит, что она продвинутая, а для начинающих лучше использовать «гораздо более популярного» Голдблатта.

Кстати, я смотрел у последнего про пределы. По-моему, неплохо написано.

Re: ой

[ext_179323]

Джонстон, как монография, выше всяких похвал. :) Написан сжато и, как бы точнее выразиться, хорошо мотивированно.

И по тем же причинам окажется для кого-то при первом чтении труден (прочитал страницу - день думаешь... еще страницу - еще день). Потому как учебник - удобен не всем.

Почему Манин мог рекомендовать Голблатта - это очень просто. На тот момент ("топосы" - 79-го года издания, если не ошибаюсь) книжек по категориям было не так много, а на русском так и вовсе не было. Нужно было предложить альтернативный вариант для первого чтения, а другой альтернативы не было. Почему переводили Голдблатта, а не МакЛейна - это вопрос отдельный и, похоже конъюнктурный. :( Ни одного позитивного отзыва о Голдблатте я не слышал, ни вживую, ни в сети.

Re: ой

[ulysses4ever]

Букур, Деляну, Введение в теорию категорий и функторов было издано в 72-м, а Цаленко, Шульгейфер, Основы теории категорий - 74-м. Дело, наверное, не просто в категориях, а именно в топосах: по ним точно книжек кроме Голдблатта не было, а то, что Джонстон труден для чтения, это как раз Манин и отмечает.

Re: ой

[ext_179323]

Совершенно верно, именно про топосы, извиняюсь.

Кстати, что касается Букур&Деляну, это был еще более сомнительный выбор первой книги по ТК для перевода, чем Голдблатт. В ней очень жесткая теор-множественная точка зрения на ТК, и много многословия. Некая противоположность Джонстону.

А вот у Цаленко-Шульгейфера достаточно приятная книжка. Сосредоточена, в основном, на монадах и конструкции категории алгебр и подробно рассматривает свойства этих категорий. С ней одна беда: слово в слово повторяет другую (минус абелевы категории, насколько помню)
Bodo Pareigis, Categories and Functors. - Pure and Applied Mathematics, Vol. 39, Academic Press, New York - London (268 S.) 1970.
Контрафактный перевод.

Совсем побочное. У Pareigis, оказывается, мощный список литературы по квантовым группам и моноидальным категориям. Возможно, для семинара пригодится:
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~pareigis/pa_schft.html

Re: ой

[ext_72902]

Единственная книга, которую я всерьёз хотел украсть из универской библиотеки - Джонстон. Тем более, что до меня его последний раз брали лет десять назад. К счастью, за месяц до выпуска я нашёл его в "Старой Технической Книге".