На порядок
Сколько раз кто-либо употребляет это выражение, имея в виду 2-3-кратное увеличение, сразу же ему в ответ сыплется "Ни фига, на порядок - это в 10 раз и баста". Тут надо понимать, что:
1) десятичная трактовка порядков, соответствующая нашей системе счисления, подразумевается по умолчанию, но не единственно допустима;
2) в эпоху компьютеризации, стекла и бетона двоичные порядки имеют тенденцию укореняться в том числе и в обиходе, вне программистских рамок. Так что не исключено, что век спустя адептов десятичных порядков будут считать безнадежными староверами. (Но это не означает отмены десятичной системы счисления) А может, в моду войдет натуральный порядок, по основанию e = 2,72?
3) Мы, как правило, не научный доклад репетируем, а в литературном смысле фраза "на порядок" может вообще не иметь под собой строгой математической подоплеки. Просто синоним просторечного "в разы" - то есть минимум вдвое, максимум сколько угодно.
Однако часто, когда речь идет о величинах очень разных порядков - причем любых - требуется формализовать систему подобных обозначений. Раз десятичный порядок - условный стандарт, будем плясать от него.
Самый простой вариант - дискретная целочисленная шкала: "На 2 порядка меньше ... на 1 порядок меньше ... того же порядка (нуль шкалы) ... на 1 порядок больше ... на 2 порядка больше" и т.д. Нетрудно заметить, что количество порядков здесь - десятичный логарифм количества "разов", или как кое-где говорят - крат. Логарифм 1000 равен 3 - как раз 3 порядка.
Это все хорошо, но что делать, если не 1000, а 1001 или 999? Где граница области "примерно на N порядков"? Чтобы разобраться, можно представить логарифмическую шкалу, см. рисунок (верхняя шкала):
Полный размер по клику
Итак, чтобы для любого числа раз установить, сколько это порядков, оставаясь в целочисленной их нотации, нужно провести границы, соответствующие полуцелым логарифмам (посередине между опорными точками). Это 3,1622...*10^N раз (значащие цифры - корень из 10). То бишь 31-кратное увеличение - это еще на порядок, а 32-кратное - уже на два.
Но не слишком ли грубо? Вновь обращаемся к обиходу, к традиции - слово "полпорядка" не в диковинку практически никому. Вот трети-четверти уже не встретить, а 0,5 - 1,5 - 2,5 - почему бы и не использовать? Тогда проставляем дополнительные к ряду степеней 10 "реперные точки", ранее бывшие границами интервалов (с мантиссой 3,16) - и ищем новые границы строго посередине (соответствующие логарифмам с ,25 и ,75 после запятой). Это ряды мантисс 1,7782... и 5,6234..., или грубо 1,78 и 5,62 - см. вторую шкалу.
Теперь у нас есть равномерная "половинчатая" шкала порядков с габаритами интервалов в 3,16 крат. Вопрос: а нужна ли равномерность? В целочисленной явно была нужна, а здесь можно подчеркнуть дополнительный характер половинчатых мер, сузив их интервалы за счет целочисленных. И до какой степени сузить, бросается в глаза сразу: конечно же, до множителей десятки 2 и 5!
Итак: от 20 до 50 (2,5-кратный диапазон, зато включительно в обе стороны) называем "на 1,5 порядка", а интервалы от 5 до 20 и от 50 до 200 - "на 1" и "на 2 порядка". Просто, запоминаемо, идеально.
Формулируем общее правило:
Две числа можно считать отличными друг от друга на N порядков (где N - целое число), если их отношение отличается от 10^N не более чем в два раза в любую сторону.
В противном случае, если величина отношения укладывается в отрезок от 2*10^N до 5*10^N (включая обе границы), числа считаются отличными друг от друга на N с половиной порядков.
Берите на вооружение.
1) десятичная трактовка порядков, соответствующая нашей системе счисления, подразумевается по умолчанию, но не единственно допустима;
2) в эпоху компьютеризации, стекла и бетона двоичные порядки имеют тенденцию укореняться в том числе и в обиходе, вне программистских рамок. Так что не исключено, что век спустя адептов десятичных порядков будут считать безнадежными староверами. (Но это не означает отмены десятичной системы счисления) А может, в моду войдет натуральный порядок, по основанию e = 2,72?
3) Мы, как правило, не научный доклад репетируем, а в литературном смысле фраза "на порядок" может вообще не иметь под собой строгой математической подоплеки. Просто синоним просторечного "в разы" - то есть минимум вдвое, максимум сколько угодно.
Однако часто, когда речь идет о величинах очень разных порядков - причем любых - требуется формализовать систему подобных обозначений. Раз десятичный порядок - условный стандарт, будем плясать от него.
Самый простой вариант - дискретная целочисленная шкала: "На 2 порядка меньше ... на 1 порядок меньше ... того же порядка (нуль шкалы) ... на 1 порядок больше ... на 2 порядка больше" и т.д. Нетрудно заметить, что количество порядков здесь - десятичный логарифм количества "разов", или как кое-где говорят - крат. Логарифм 1000 равен 3 - как раз 3 порядка.
Это все хорошо, но что делать, если не 1000, а 1001 или 999? Где граница области "примерно на N порядков"? Чтобы разобраться, можно представить логарифмическую шкалу, см. рисунок (верхняя шкала):
Полный размер по клику
Итак, чтобы для любого числа раз установить, сколько это порядков, оставаясь в целочисленной их нотации, нужно провести границы, соответствующие полуцелым логарифмам (посередине между опорными точками). Это 3,1622...*10^N раз (значащие цифры - корень из 10). То бишь 31-кратное увеличение - это еще на порядок, а 32-кратное - уже на два.
Но не слишком ли грубо? Вновь обращаемся к обиходу, к традиции - слово "полпорядка" не в диковинку практически никому. Вот трети-четверти уже не встретить, а 0,5 - 1,5 - 2,5 - почему бы и не использовать? Тогда проставляем дополнительные к ряду степеней 10 "реперные точки", ранее бывшие границами интервалов (с мантиссой 3,16) - и ищем новые границы строго посередине (соответствующие логарифмам с ,25 и ,75 после запятой). Это ряды мантисс 1,7782... и 5,6234..., или грубо 1,78 и 5,62 - см. вторую шкалу.
Теперь у нас есть равномерная "половинчатая" шкала порядков с габаритами интервалов в 3,16 крат. Вопрос: а нужна ли равномерность? В целочисленной явно была нужна, а здесь можно подчеркнуть дополнительный характер половинчатых мер, сузив их интервалы за счет целочисленных. И до какой степени сузить, бросается в глаза сразу: конечно же, до множителей десятки 2 и 5!
Итак: от 20 до 50 (2,5-кратный диапазон, зато включительно в обе стороны) называем "на 1,5 порядка", а интервалы от 5 до 20 и от 50 до 200 - "на 1" и "на 2 порядка". Просто, запоминаемо, идеально.
Формулируем общее правило:
Две числа можно считать отличными друг от друга на N порядков (где N - целое число), если их отношение отличается от 10^N не более чем в два раза в любую сторону.
В противном случае, если величина отношения укладывается в отрезок от 2*10^N до 5*10^N (включая обе границы), числа считаются отличными друг от друга на N с половиной порядков.
Берите на вооружение.