К парадоксу Банаха -- Тарского

Feb 19, 2006 21:29

Под "катом" -- обсуждение известного парадокса Банаха -- Тарского, а также схема его доказательства.
Read more... )

Leave a comment

Comments 11

ignat February 19 2006, 21:28:54 UTC
Спасибо! Почти всё понял. Очень красивые рассуждения! Особенно поражает граф Кэли и как на нём всё это работает. Нарисовал, пришёл в восторг. :-) Верно ли я понимаю, что сфера расслаивается на такие бесконечные графы, но сильно разрывным образом, то есть, близкие точки не переходят в близкие под действием группы?

Остался небольшой вопросик. Как конкретно мы поступаем с множеством F на сфере?

И ещё: в теореме Кантора-Бернштейна биекция по двум инъекциям строится сколь-нибудь конструктивно, или нет?

Reply

zavr February 19 2006, 21:57:53 UTC

И ещё: в теореме Кантора-Бернштейна биекция по двум инъекциям строится сколь-нибудь конструктивно, или нет?

Совершенно конструктивно. Из кусков двух вложений

Reply

теорема Кантора -- Бернштейна falcao February 19 2006, 23:15:14 UTC
По поводу множества F ( ... )

Reply

Re: теорема Кантора -- Бернштейна ignat February 20 2006, 21:19:29 UTC
Спасибо за ответ.

Я всё равно не понимаю, как у нас происходит удвоение. Если выбросить F, то получим, что оставшуюся часть мы можем инъективно отобразить вращением s, при котором в каждой орбите подмножества типа X и Y перейдут биективно в Z. Значит, например, X+Y первой сферы можно отобразить на X второй, Z первой сферы можно отобразить на Y второй, а X+Y второй отображаются на Z второй, в результате две сферы_без_F упаковываются в одну. Но для упаковки F нам нужно не вращение s, а какое-то специальное вращение, которое переводит F в его дополнение. Как тут поступать?

И ещё хотел спросить: верно ли что свободная группа вкладывается в SO(3)? Мы показали вроде бы, что Z2*Z3 вкладывается в SO(3).

Reply


roman_rogalyov February 21 2006, 12:38:05 UTC
Спасибо, давно мечтал узнать, в чём там дело. Заодно узнал про группу PSL(2,Z) :-)

Такого рода популярные схематические доказательства весьма полезны; к сожалению в специальной литературе они практически отсутствуют. На мой же взгляд, в изложении доказательства даже самой зубодробительной теоремы должно быть что-то от видеоклипа.

Reply

falcao February 21 2006, 18:49:03 UTC
Да, я согласен с Вами. Сам результат довольно интересный, но мне в литературе попадались либо совсем краткие изложения, либо что-то совершенно нечитабельное и зубодробительное. Скажем, процесс разметки графа Кэли группы Z_2*Z_3 лучше давать с помощью картинки, а описание в духе "если нормальная форма слова такая-то, то делаем с ней то-то" обычно очень длинны и изобилуют кучей обозначений, в которые надо вдумываться.

На самом деле я сейчас понял, что если давать доказательство только самой теоремы Банаха -- Тарского, то можно ограничиться удвоением свободной группы, минуя теорему Хаусдорфа. Сфера тогда удваивается чисто, а именно она разбивается на 4 части, которые после вращений покрывают сферу ровно в два слоя (факт сам по себе интересный). Правда, центр шара при этом всё равно остаётся "неприкаянным".

Reply


kobak February 21 2006, 20:59:55 UTC
Спасибо, очень интересно!

У меня глупый вопрос: а как связано упомянутое Вами определение неаменабельности через "финансовые пирамиды" ("Для справки: группы, на которых возможно реализовать подобный эффект, называются неаменабельными") с определением из энциклопедии (то ли через инвариантый средний функционал, то ли через инвариантную меру)?

Reply

определения аменабельности falcao February 21 2006, 22:05:34 UTC
Вопрос нисколько не глупый, а очень содержательный. Я решил посвятить этому отдельный пост.

Reply


Leave a comment

Up