теорема Кантора -- БернштейнаfalcaoFebruary 19 2006, 23:15:14 UTC
По поводу множества F.
У нас сначала выбираются два вращения s и t. Они порождают счётную группу вращений. У каждого такого вращения (кроме единицы) есть две неподвижные точки на сфере. Все такие точки и образуют счётное множество F, которое является "строительным мусором". Чтобы его убрать, надо заметить, что множество вращений, при который счётное множество задевает свой образ, счётно. Поэтому можно подобрать такое вращение, которое F отображает в своё дополнение, то бишь в X \cup Y \cup Z. Поэтому, разбирая шар, мы будем иметь каждое из X,Y,Z в двух экземплярах. Для "мусора" мы выбрали слишком большой "контейнер", равный всему остальному. Но нам не жалко, потому что любое число копий X мы можем упаковать в один его экземпляр.
Граф Кэли группы G укладывается на сферу. Берём вершину g графа и ставим её на сферу в произвольную точку P \notin F. Вершина, соединённая с g ребром с меткой s, будет образом точки P при вращении s; аналогично для t. При этом весь граф помещается на сферу однозначно и заметает одну из G-орбит. Точки орбиты при этом будут располагаться как-то очень хаотично. Пока есть место на сфере, укладываем граф для всех остальных орбит (здесь как раз и применяется аксиома выбора). То есть сфера без F расслоена на орбиты, а каждая орбита есть укладка вершин графа в соответствии с интерпретацией s и t как вращений.
Теорема Кантора -- Бернштейна доказывается более чем конструктивно. Если следовать той идее, что биекция строится из обрезков инъекций, то результат практически предопределён.
Действительно, пусть \phi, \psi -- инъекции из A в B и из B в A соответственно. Положим A_0=A \setminus \psi(B). Это те точки из A, которые в биекции должны отображаться по правилу \phi. Аналогично, пусть B_0=B \setminus \phi(A). Здесь должно действовать правило \psi. Далее по индукции полагаем A_1=\psi(B_0), B_1=\phi(A_0), A_2=\psi(B_1), B_2=\phi(A_1) и так далее. Из свойств биекций следует, что множества A_0,A_1,A_2,... попарно дизъюнктны. То же для B_0,B_1,B_2,... . Итоговая биекция "спаривает" A_0 с B_1, B_0 с A_1, A_2 c B_3, B_2 с A_3 и так далее (всякий раз понятно, \phi или \psi здесь действует).
Обычно для иллюстрации рисуют A, B в виде параллельных лучей, а \phi, \psi -- в виде косых параллельных линий под 45 градусов, отображающих A в B и B в A. На такой картинке легко понять, какие куски куда переходят.
На самом деле это ещё не всё, так как объединение A_i (i=0,1,2,...) может не исчерпывать A. Пусть A' -- неисчерпанный кусок, и аналогично для B'. При этом оказывается, что как \phi, так и \psi биективно отображает A' на B', и для завершения построения биекции можно взять что-то одно из них (скажем, \phi).
Re: теорема Кантора -- БернштейнаignatFebruary 20 2006, 21:19:29 UTC
Спасибо за ответ.
Я всё равно не понимаю, как у нас происходит удвоение. Если выбросить F, то получим, что оставшуюся часть мы можем инъективно отобразить вращением s, при котором в каждой орбите подмножества типа X и Y перейдут биективно в Z. Значит, например, X+Y первой сферы можно отобразить на X второй, Z первой сферы можно отобразить на Y второй, а X+Y второй отображаются на Z второй, в результате две сферы_без_F упаковываются в одну. Но для упаковки F нам нужно не вращение s, а какое-то специальное вращение, которое переводит F в его дополнение. Как тут поступать?
И ещё хотел спросить: верно ли что свободная группа вкладывается в SO(3)? Мы показали вроде бы, что Z2*Z3 вкладывается в SO(3).
Re: теорема Кантора -- БернштейнаfalcaoFebruary 21 2006, 04:06:47 UTC
Свободные подгруппы имеются в любом свободном произведении неединичных групп, за исключением Z_2*Z_2 (она метабелева). В частности, в SO(3) тоже есть свободная подгруппа ранга 2, поскольку она есть в Z_2*Z_3. Если мы на ней построим "чистое" удвоение (это легко описать явно), то можно будет устроить и "чистое" удвоение собственно сферы при помощи разложения на отдельные орбиты. Таким способом можно даже всё сделать короче.
Я с самого начала решил использовать теорему Хаусдорфа, так как она исторически предшествовала парадоксу Банаха -- Тарского. Там "чистого" удвоения не возникает, но этой конструкции достаточно для упаковки двух шаров в один.
Я думаю, что просто сбил Вас с толку употреблением слов "удвоить сферу". Это было замечание чисто эвристического характера, указывающее на то, что надо делать дальше. "Чистого" удвоения теорема Хаусдорфа не подразумевает.
Re: теорема Кантора -- БернштейнаmigmitFebruary 21 2006, 19:16:53 UTC
Множество вращений, при которых счётное множество задевает свой образ, континуально. Даже если счётное множество заменить на одну точку. Другое дело, что а) это множество вращений имеет меру 0; б) множество вращений на угол 180, при которых ..., таки счётно.
Re: теорема Кантора -- БернштейнаfalcaoFebruary 21 2006, 20:15:44 UTC
Спасибо за обнаруженную неточность. Подразумевались, конечно, вращения относительно фиксированной оси, не проходящей ни через какую из точек множества F.
У нас сначала выбираются два вращения s и t. Они порождают счётную группу вращений. У каждого такого вращения (кроме единицы) есть две неподвижные точки на сфере. Все такие точки и образуют счётное множество F, которое является "строительным мусором". Чтобы его убрать, надо заметить, что множество вращений, при который счётное множество задевает свой образ, счётно. Поэтому можно подобрать такое вращение, которое F отображает в своё дополнение, то бишь в X \cup Y \cup Z. Поэтому, разбирая шар, мы будем иметь каждое из X,Y,Z в двух экземплярах. Для "мусора" мы выбрали слишком большой "контейнер", равный всему остальному. Но нам не жалко, потому что любое число копий X мы можем упаковать в один его экземпляр.
Граф Кэли группы G укладывается на сферу. Берём вершину g графа и ставим её на сферу в произвольную точку P \notin F. Вершина, соединённая с g ребром с меткой s, будет образом точки P при вращении s; аналогично для t. При этом весь граф помещается на сферу однозначно и заметает одну из G-орбит. Точки орбиты при этом будут располагаться как-то очень хаотично. Пока есть место на сфере, укладываем граф для всех остальных орбит (здесь как раз и применяется аксиома выбора). То есть сфера без F расслоена на орбиты, а каждая орбита есть укладка вершин графа в соответствии с интерпретацией s и t как вращений.
Теорема Кантора -- Бернштейна доказывается более чем конструктивно. Если следовать той идее, что биекция строится из обрезков инъекций, то результат практически предопределён.
Действительно, пусть \phi, \psi -- инъекции из A в B и из B в A соответственно. Положим A_0=A \setminus \psi(B). Это те точки из A, которые в биекции должны отображаться по правилу \phi. Аналогично, пусть B_0=B \setminus \phi(A). Здесь должно действовать правило \psi. Далее по индукции полагаем A_1=\psi(B_0), B_1=\phi(A_0), A_2=\psi(B_1), B_2=\phi(A_1) и так далее. Из свойств биекций следует, что множества A_0,A_1,A_2,... попарно дизъюнктны. То же для B_0,B_1,B_2,... . Итоговая биекция "спаривает" A_0 с B_1, B_0 с A_1, A_2 c B_3, B_2 с A_3 и так далее (всякий раз понятно, \phi или \psi здесь действует).
Обычно для иллюстрации рисуют A, B в виде параллельных лучей, а \phi, \psi -- в виде косых параллельных линий под 45 градусов, отображающих A в B и B в A. На такой картинке легко понять, какие куски куда переходят.
На самом деле это ещё не всё, так как объединение A_i (i=0,1,2,...) может не исчерпывать A. Пусть A' -- неисчерпанный кусок, и аналогично для B'. При этом оказывается, что как \phi, так и \psi биективно отображает A' на B', и для завершения построения биекции можно взять что-то одно из них (скажем, \phi).
Я на самом деле очень люблю это рассуждение.
Reply
Я всё равно не понимаю, как у нас происходит удвоение. Если выбросить F, то получим, что оставшуюся часть мы можем инъективно отобразить вращением s, при котором в каждой орбите подмножества типа X и Y перейдут биективно в Z. Значит, например, X+Y первой сферы можно отобразить на X второй, Z первой сферы можно отобразить на Y второй, а X+Y второй отображаются на Z второй, в результате две сферы_без_F упаковываются в одну. Но для упаковки F нам нужно не вращение s, а какое-то специальное вращение, которое переводит F в его дополнение. Как тут поступать?
И ещё хотел спросить: верно ли что свободная группа вкладывается в SO(3)? Мы показали вроде бы, что Z2*Z3 вкладывается в SO(3).
Reply
Я с самого начала решил использовать теорему Хаусдорфа, так как она исторически предшествовала парадоксу Банаха -- Тарского. Там "чистого" удвоения не возникает, но этой конструкции достаточно для упаковки двух шаров в один.
Я думаю, что просто сбил Вас с толку употреблением слов "удвоить сферу". Это было замечание чисто эвристического характера, указывающее на то, что надо делать дальше. "Чистого" удвоения теорема Хаусдорфа не подразумевает.
Reply
а) это множество вращений имеет меру 0;
б) множество вращений на угол 180, при которых ..., таки счётно.
Reply
Reply
Leave a comment