Математика в человеческом измерении
Запись опубликована Интернет-издание «Просвещение».
У преподавателя математики возможности самые широкие. Но если всё отведённое на урок время он занудно натаскивает учеников на выполнение стандартных, монотонных заданий, он убивает их интерес, тормозит интеллектуальное развитие и упускает дарованные ему возможности. Если же преподаватель бросает вызов любознательности учащихся и испытывает их способности, ставя задачи, сообразные с их уровнем знаний, и к тому же помогает решать эти задачи с помощью наводящих вопросов, он может привить учащимся вкус к независимому мышлению и заложить его основы.
Поля, 1944, предисловие к первому изданию “How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method”
Предисловие
Для изучения математики в старших классах школы весьма характерно, что учителям даже в голову не приходит как-то мотивировать учащихся к изучению абстрактных понятий. А подростку хочется понять: зачем мне это? Какая от этого польза? Нужно ли это в жизни?
В статье «Применимая математика» Хуменбергер высказывает мнение, что основной задачей при обучении математике должно быть всяческое утверждение её полезности (Humenberger, 2000, §1). Когда сегодня заходит разговор о преподавании математики, формы слова «применять» надо ставить не в прошедшем, а исключительно в настоящем и будущем времени, ибо всё это «применяется» и «применяться будет» (Humenberger, 2000). Ганс Фройденталь (Freudenthal, 1973) утверждает, что учащимся не так важно «выучиться прикладной математике», как уметь «прикладывать эту математику в жизни». Потому-то я стремилась найти ответ на вопрос: как же преподавать математику таким образом, чтобы ученики восприняли её как нечто полезное?
Другой серьёзный недостаток общепринятых методов преподавания состоит в том, что учащиеся не воспринимают математику как процесс. Обязательная школьная программа и традиционные, используемые многими преподавателями методы обучения не в состоянии показать подросткам, как же на деле математики занимаются математикой. Учащиеся не понимают, что в математике результат достигается лишь после многих попыток, после долгой борьбы за решение некоторых фундаментальных проблем. Они рассматривают математику как набор установленных много лет назад правил и законов, которые они теперь обязаны использовать. Они видят лишь окаменелую структуру, без всякого следа творческого процесса, который её породил. Поэтому передо мной встал ещё один вопрос: как помочь ученикам понять, какой путь проходят учёные для получения математических решений?
Математики знают, сколь многим они обязаны работе своих предшественников. Учителя знают, что математика, которую они преподают сегодня - результат вековых трудов и исследований и что большая часть преподаваемой сегодня математической теории берёт начало в работах математиков XVIII и XIX столетий. Но видна ли эта историческая перспектива учащимся? Смог бы курс по истории математики помочь старшеклассникам понять ход развития этой науки?
Постепенно, пока я пыталась найти ответы на эти вопросы, мне стало ясно, что математика покажется ученикам богаче и значимей, если её преподавать в историческом контексте и в комплексе с другими областями знаний.
Факультативный курс: история математики и её применение
Так я решила разработать новый курс для учеников 9 класса (им 15-16 лет): «История математики и её применение». В ходе этого факультативного курса изучается небольшой фрагмент истории математики, подчёркивается связь между математикой и другими областями знаний, учащимся даётся возможность самим вновь открыть математические принципы, заняться настоящей математикой. Содержание курса базируется на понятиях, которые были изучены в 5-8 классах, и на темах, которые предстоит изучить в 9 классе. Мы опускаем некоторые части истории математики, где речь идёт о понятиях, с которыми учащиеся ещё не знакомы, и таким образом, в 10-12 классах этот курс можно продолжить.
Организация обучения
При структурировании этого курса я взяла за основу базовую схему, используемую в программе РКМЧП («Чтение и письмо для развития критического мышления»). Эта схема или модель выглядит так: вызов - осмысление содержания - рефлексия. На стадии вызова учащихся просят «вспомнить и обдумать всё, что они знают по теме, сформулировать по ней вопросы и поставить для себя учебные цели» (RWCT Glossary), то есть этот этап урока призван пробудить интерес учеников.
В ходе осмысления содержания учащиеся «получают сведения, исследуют и выстраивают смысл» (RWCT Glossary). На стадии рефлексии учащиеся обдумывают новые знания и сравнивают их со своими предшествующими представлениями, «применяют изученное к новым ситуациям, подвергают сомнению и обсуждают идеи, начинают переформировывать своё мышление с учетом новообретённого знания» (RWCT Glossary). Я обычно ввожу четвёртую стадию, которая происходит за пределами класса и называется развитие; учащиеся «развивают идеи для дальнейшего их использования в реальной жизни» (RWCT Glossary).
Урок: «Золотое сечение»
Одним из самых полюбившихся уроков нового курса стал для учащихся урок о золотом сечении. Мне он тоже очень нравится, поскольку заключает в себе много возможностей для того, чтобы связать математику с её историей, а также с естествознанием, архитектурой, музыкой, живописью и так далее.
Цель урока состоит в том, чтобы учащиеся научились:
- решать и знать несколько способов решения уравнения вида х² - х - 1 = 0;
- перефразировать и доказывать Теорему 30 из Книги VI «Начал» Евклида;
- перефразировать и доказывать Теорему 11 из Книги II «Начал» Евклида;
- распознавать египетский треугольник;
- доказывать главное свойство египетского треугольника;
- рисовать логарифмическую спираль;
- понимать связь между уравнением х² - х - 1 = 0 и природными явлениями;
- понимать связь между уравнением х² - х - 1 = 0 и архитектурой.
Я начала стадию вызова, показав ученикам набор изображений: пирамида Хеопса, статуя (скульптор Фидий), афинский Парфенон, семена в головке цветка; затем я попросила их решить уравнение х² - х - 1 = 0. Меня начали спрашивать: какая связь между пирамидой, Парфеноном, цветком и математикой? Почему вы просите, чтобы мы решили уравнение после всяких картинок, которые не имеют никакого отношения к математике? или Зачем вы показываете нам эти картинки? Я попросила их записать все эти вопросы на большом листе и обещала ответить на них в конце урока, если они к тому времени не найдут ответов сами.
Для стадии осмысления содержания я использовала стратегию под названием Зигзаг II (в другой версии - Мозаика II; Slavin, 1980). Учащиеся делятся на «домашние» группы по 4-5 человек. Каждый получает экземпляр текста (то есть книгу или статью) и тему (соответствующую части текста), чтобы стать по ней «экспертом». После этого учащиеся расходятся по «экспертным» группам, чтобы изучить и обсудить общую для каждой экспертной группы тему и разработать стратегии её объяснения для остальных членов своей домашней группы. Потом они возвращаются в домашние группы, где и должны преподать материал товарищам. Учащиеся выслушивают друг друга с большим вниманием, потому что другой возможности подробно узнать содержание всего текста у них нет (Henley, 1997, §3). В этом цикле присутствует обучение, групповое взаимодействие и индивидуальное оценивание работы. Группы зарабатывают дипломы, набирают баллы или получают другие формы признания заслуг.
Для урока, посвящённого золотому сечению, мы сформировали пять домашних групп. Каждый член группы получил роль, например: автор, репортёр, хронометрист, ведущий. Каждый получил экземпляр текста и прочёл его. Составление текста для этого урока на основе оригинальных материалов для меня как преподавателя было делом непростым, однако я убеждена, что при тщательном отборе оригинальные источники оказываются понятны и очень полезны как для учащихся, так и для преподавателя. Моя задача состояла в том, чтобы дать ученикам почерпнуть информацию и идеи в исходном тексте, а затем перенести математические понятия в другие сферы (например, в биологию и архитектуру). В то же время мне хотелось дать им ощущение преемственности математических исследований. Например, чтобы они поняли, что «Модулор» Ле Корбюзье существует на основе теоремы 30 из Евклидовых «Начал». Ведь практически никакая математическая идея не возникает на пустом месте.
Прочитав текст, учащиеся перешли из домашних групп в экспертные, и каждая группа получила свой лист с заданиями. Листы содержали по три вопроса, основанных на той части текста, за которую отвечала данная экспертная группа. Вопросы были следующие:
Лист № 1
1. Перефразируйте теорему 30 из Книги VI «Начал» Евклида.
2. Докажите теорему 30 из Книги VI «Начал» Евклида.
3. Какова связь между теоремой 30 и золотым сечением?
Лист № 2
1. В чем состоит секрет гармонии пирамиды Хеопса?
2. Определите соотношение между гипотенузой и катетом египетского треугольника.
3. Какова связь между египетским треугольником и золотым сечением?
Лист № 3
1. Перефразируйте теорему 11 из Книги II «Начал» Евклида.
2. Докажите теорему 11 из Книги II «Начал» Евклида.
3. Какова связь между теоремой 11 и золотым сечением?
Лист № 4
1. Как получить логарифмическую спираль? Нарисуйте логарифмическую спираль.
2. Приведите примеры логарифмической спирали в природе.
3. Какова связь между логарифмической спиралью и золотым сечением?
Лист № 5
1. Существует ли связь между геометрией и архитектурой?
2. Объясните, что такое «Модулор».
3. Найдите первые 15 значений «Модулора».
Задачей экспертных групп было ответить на вопросы, сделать плакат, иллюстрирующий ответы, и определить, как наилучшим образом преподать эту часть текста другим учащимся. Урок был спланирован так, чтобы каждая экспертная группы успела сделать все три задания.
Тщательно изучив текст, члены экспертной группы № 1 с удивлением обнаружили, что теорема 30 из Книги VI «Начал» Евклида связана с эстетической проблемой, описанной в разделе текста под названием «Введение». Они поняли, что идея нахождения точки, которая делит отрезок в крайнем и среднем отношении, основана на третьем определении Евклида.
Члены экспертной группы № 2 начали с выделения важной информации, для чего нарисовали пирамиду, а затем, определив, что «дано» и что требуется найти в их части текста, наметили шаги, ведущие к решению. Было удивительно приятно наблюдать, как они открывают для себя, что письмо и чтение с карандашом в руке помогают понять смысл и развивают их умение мыслить.
Членам экспертной группы № 3 было очень трудно перефразировать теорему 11 из Книги II «Начал» Евклида. Один из них рассказал: «Читая теорему Евклида и пытаясь её доказать, мы должны были дать своё толкование текста теоремы, и в результате мы прочувствовали всё то, что чувствовал на этом пути Евклид. Мы долго обсуждали вопросы и сумели выполнить задания, только двигаясь мелкими шажками».
Учащиеся из экспертной группы № 4 обнаружили, что существует тесная связь между золотым сечением и логарифмической спиралью. В частности: логарифмическая спираль может быть получена из золотого прямоугольника. «Логарифмическая спираль старше, чем математика, - написали ребята. - В природе спираль существует уже миллионы лет: спиралеобразно, против часовой стрелки расположены семена подсолнечника, так же устроена морская раковина».
Члены экспертной группы № 5 написали на своём плакате: «Геометрия - во всём вокруг нас!» Они распознали много трёхмерных форм (куб, тетраэдр, цилиндр и так далее), а также золотое сечение, в здании Парфенона (илл. 1). Они вычислили отношение между значениями «Модулора»: 41,5 + 66,5 = 108; 108 + 66,5 = =174,5,…, и таким образом нашли первые 15 значений «Модулора».
Выполнив задания, учащиеся разошлись по домашним группам и представили мини-темы товарищам.
Я наугад выбрала одну из экспертных групп, чтобы они представили свою мини-тему всему классу. Плакаты, сделанные другими группами, были также продемонстрированы, и докладчики подвели итог работе каждой домашней группы. Я поделилась с группами и с отдельными учениками своими впечатлениями об их работе.
Для стадии рефлексии учащиеся могли выбрать любое из двух заданий:
- написать десятиминутное эссе, объясняющее утверждение Иоганна Кеплера (1571-1630): «В геометрии два больших сокровища: первое - теорема Пифагора, второе - деление отрезка в крайнем и среднем отношении, то есть золотое сечение. Первое можно сравнить с мерой золота; второе же - с драгоценным камнем» (цит. по Calter Р., 1998);
- письменно ответить на вопрос: Есть ли преимущества в том, что группы семян в головке цветка расположены в виде спирали?
На мой взгляд, Сорина написала одно из лучших эссе. Смысл его заключался в следующем: именно драгоценный камень придаёт красоту золотому кольцу. Теорема Пифагора чрезвычайно ценна и этим подобна золотому обрамлению; однако золотое сечение даёт нам красоту, и этим оно сродни драгоценному камню. Золотое сечение есть повсюду - в открытках, марках, зданиях, человеческих телах, в моде - значит, оно ласкает глаз как драгоценный камень.
Серджиу выбрал второе задание и дал один из лучших ответов на вопрос. Он написал, что преимущество спиральной формы состоит в оптимальном распределении семян - они равномерно распределены по головке цветка, их помещается там максимально много, и при этом все они имеют возможность достичь одного размера.
В конце урока мы возвратились к вопросам, которые написали на плакате после просмотра слайдов. Теперь мои ученики ответили на них сами.
Для стадии развития я выбрала некоторые из проектов, описанных д-ром Роном Ноттом на сайте www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fiblnArt.html.
1. Проанализируйте картины Леонардо да Винчи «Благовещение» и «Мадонна с младенцем и святыми» (картины можно найти на сайте галереи Уффици www.uffizi.firenze.it/welcome.html) Можете ли вы найти на этих картинах золотое сечение? (Другие ссылки, связанные с золотым сечением в искусстве, - страницы сетевого музея, посвящённые Дюреру http://sunsite.doc.ic.ac.uk/wm/paint/auth/durer, и виртуальная выставка известных произведений живописи http://sunsite.doc.ic.ac.uk/wm/paint).
2. Найдите золотое сечение в скрипках, созданных по методу Багинского. Информацию можно найти на сайте «Скрипки мастера Багинского»: www.violin.odessa.ua/method.html
3. Найти золотое сечение в музыке Моцарта и в Пятой симфонии Бетховена (см. журналы Mathematics Magazine т. 68 №4, с. 275-282, октябрь 1995 г. и Mathematics Teaching, т. 84, 1978 г., с. 56-57; а также в Интернете: www.americanscientist.org/template/AssetDetail/assetid/24551,
www.science-frontiers.com/sfl07/sfl07pl4.htm).
Некоторые из этих сайтов сейчас недоступны, но в Интернете существует много других источников, связанных с золотым сечением (прим. Ред.).
Размышления
Я преподаю этот курс уже в течение пяти лет, причём каждый год вношу в него какие-то изменения на основе комментариев самих учащихся - у них всегда много новых интересных идей. В данной статье описывается последний вариант, использованный мной в этом году.
Каждый год конечный результат состоял в том, что мои ученики начинали воспринимать математику по-новому и больше увлекаться ею. Математика тоже имеет историю, во многом общую с гуманитарными науками. И - как сама история - она всё ещё продолжает развиваться. Математика тесно связана с реальным миром, это не бесполезное собрание понятий, аксиом, лемм и теорем, как может кому-то показаться, но результат попыток людей понять мир, в котором они живут. Другая особенность, которая отличает этот курс от большинства курсов преподавания математики, состоит в том, что учащихся просят давать оценочные суждения. Например, есть два типа геометрии: евклидова и неевклидова. Какая из них «лучше»? Точно так же для одной теоремы существуют различные доказательства, но какое является наиболее изящным и почему? В математике есть много открытых проблем, гипотез и суждений, которые можно и нужно изучать критически. Следовательно, математика требует творчества, т.е. иногда 2 + 2 не равняется 4. Открывая для себя иные измерения, мои ученики осознают, что математика - это нечто живое, которое, к тому же, еще не сложилось окончательно.
Вот некоторые из комментариев, сделанных школьниками в конце прошлого учебного года:
Я просто открыл для себя математику. Работа с партнёром над источником и участие в групповых обсуждениях, когда каждый из нас мог поделиться своим пониманием материала, дали мне возможность понять текст, и все мои трудности решились.
Тудор Мунтеану
Для меня этот курс был глотком свежего воздуха среди всей той математики, которую мы изучаем по программе. Я полюбил математику, и мои оценки по ней улучшились, потому что я начал серьёзно работать над примерами и задачами. Они уже не такие трудные для меня, как раньше.
Раду Хозан
Оригинальные тексты - это просто супер. Сначала мне казалось, что они написаны словно на иностранном языке, который я никогда не учил, это при том, что слова были родными, румынскими. А ещё я часто думаю про идею Евклида о золотом сечении… Сначала я ничего не понял, но после того, как мы всё обсудили с одноклассниками, и гипотеза, и заключение стали мне ясны, и я почувствовал себя Евклидом, пытающимся доказать эту теорему.
Влад Баланкан
Этот курс заставил меня понять, что математика - не только вычисления и теоремы, в ней много интересного. Я не подозревал, что музыка и математика как-то связаны. Рациональные числа и музыкальные гармонии… Когда я рассказал это старшему брату, он думал, что я пошутил.
Серджиу Симионка
Занятно обнаружить, что все предметы, которые мы изучаем в школе, как-то связаны. История - не только история, и математика - не только математика. Теперь я хотел бы изучить что-нибудь из истории… ну, скажем, физики.
Аурелиан Чичео
Я узнал некоторые интересные факты. Теперь я попытаюсь узнать больше об арабских математиках. Я ужасно удивился, когда узнал, что математик (Омар Хайям) писал стихи. Мне казалось, математики люди скучные.
Флавиу Крачиун
Мне этот курс объяснил, откуда вообще взялись все эти абстрактные математические понятия. И оказывается, цифра «ноль» появилась гораздо позже других натуральных и рациональных чисел! Я думаю, людям было очень трудно прийти к мысли о том, что для понятия «ничто» необходимо числовое выражение.
Иоана Йарда
У меня с математикой хорошо, но я никогда не думал, что смогу обнаружить в ней что-то новое. В этом курсе я на самом деле не нашёл новых теорем, потому что все они давным-давно доказаны, но всё равно для меня этот курс как открытие. Я думал, что математика, которая людям нужна, вся уже известна и записана в книгах, но теперь знаю, что исследования идут до сих пор, люди пробуют вывести и доказать новые теоремы.
Андреу Кристориан
Заключение
Я написала эту статью, чтобы напомнить коллегам: иные подходы к преподаванию математики существуют. Задача учителя - вовлечь учеников в изучение предмета и дать им такой учебный опыт, чтобы они сами для себя вывели некое понимание математической дисциплины. Курс по «Истории математики и её применению» помог мне справиться с этой трудной задачей. Воодушевление учеников показало, что гуманистическое и динамичное видение математики, наряду с собственными математическими исследованиями, основанными на собственной мотивации, не только порождает у школьников интерес к предмету, но и позволяет им критически осмыслять математический универсум.
Статья «Математика в человеческом измерении» впервые опубликована в международном журнале «Перемена» (том 6, номер 1, январь 2005 года).
Приложение
ПРОГРАММА КУРСА
Цели Тип учебной деятельности Найти в тексте информацию и идеи. Чтение математических (или оригинальных) текстов с записью (или перифразом) математических понятий.
Примечание: Райтер (Reiter, 1998, § 1) указывает, что, хотя большинство из нас «учатся читать» еще в первом классе начальной школы [...], чтение - это навык который продолжает развиваться [...], по мере того, как материал становится более сложным и увеличивается ожидаемый уровень понимания [...]. Навык математического чтения (и математического письма) редко бывает востребован, еще реже его считают важным навыком или же навыком, который можно улучшить путем практики и обучения. [...] Умения и навыки, усвоенные на основе математического текста, весьма отличаются от тех, что развиваются при обучении математике лекционным путем и от тех, что используются в других типах текста. Когда мы обсуждаем оригинальный + математический текст, все становится еще сложнее. Выделить важную информацию, представить ее, определить «дано» и «найти». Поддержка заинтересованности ученика путем анализа текста, один из этапов которого - выражение информации собственными словами (или символами) и ее интерпретация. Определить отношения между «дано» и «найти» и спланировать ход решения. Виды учебной деятельности, характерные для групповой работы. Оценить информацию и идеи, поразмышлять о валидности самого текста. Чтение, письмо и обсуждение.
Примечание: Райтер (Reiter, 1998, раздел «Читаем теоремы») утверждает, что теоремы, их обоснование и доказательства, составляют значительную часть практически любого сложного математического текста. Тогда возникает вопрос как правильно читать и понимать теоремы? Что важно знать и помнить о теоремах? Вот несколько подвопросов для рассмотрения:
- К какому типу теорем относится данная?
- Каково содержание этой теоремы?
- Для чего необходима каждая из гипотез?
- Как эта теорема соотносится с другими?
- Почему возникла необходимость в этой теореме?
Примечание: такие источники максимально приближает учащихся к опыту математического творчества. Школьники проникаются желанием добиться результата, проходят все стадии научного поиска - от неверного начала и ложной логики до успеха. СОДЕРЖАНИЕ
1. История математики. Источники по истории математики.
2. Натуральные числа и история систем счисления.
3. Появление целых и рациональных чисел.
4. Иррациональные числа.
5. Числа в природе.
6. Алгебра: краткая история и примеры решения линейных уравнений с одной переменной.
7. Известные математические проблемы: студенты Пифагора, квадратура круга, эпитафия Диофанта, парадокс Зенона.
8. Академия Пифагора - учебное заведение, секта или тайное политическое общество?
9. Теорема Пифагора.
10. Совершенные и содружественные числа.
11. Утверждение Пифагора: «Все вокруг - числа».
12. Золотое сечение.
13. Последняя теорема Ферма.
МЕТОДЫ И ИНСТРУМЕНТЫ ОЦЕНИВАНИЯ
- наблюдение преподавателя
- личное общение
- проекты + деятельность учащихся
- эссе
- самооценка
- оценивание групповой работы:
1. мониторинг деятельности отдельных учеников в группе и группы в целом (навыки групповой работы, общения, планирования, организации деятельности, представления результатов);
2. мониторинг проектной работы в группах;
3. мониторинг выполнения письменных заданий (привлечение учащихся к разработке критериев).
- портфолио: большинство этих материалов станет частью портфеля учащегося. Портфолио будут включать в себя следующий минимум: эссе, где ученик описывает свои ожидания от курса; лист самооценки; эссе о развитии математических идей; самоотчет об учебе (включает ответы на вопросы: Что Вы изучали? Почему Вы думаете, что этот курс важен для Вашего математического образования? Как Вы будете использовать знания, полученные в рамках курса?)