Планиметрия двадцать лет спустя

[polenadisto]

Несколько лет назад у меня появилась странная мысль - перечитать "Геометрию" А.В. Погорелова. Основной повод - это то, что на ЗБС в "библиотеке Северцова" был этот учебник, причем аж в двух вариантах (6-10 и 7-11 классы). Ну и тот факт, что геометрия мне в школе поначалу нравилась больше алгебры, да и вообще хочется же иногда успокоить душу

Comments

[elizabeth_perm]

Ох, да: аксиоматика, примерно в 6-7 классе -- это было как деконструкция реальности.

[polenadisto]

Я вот только сейчас это для себя сформулировал, когда пост писал.

[glukanat]

Ну чтобы ботанам из инженерного класса было не скучно, пусть они докажут, что если прямая пересекает одну сторону треугольника (имеет с ней общую точку), то она пересекает и другую...

[glukanat]

Для этого надо дать ботану конкретную аксиоматику, коих 100500 на все вкусы.

По той простой причине, что в одних аксиоматиках это "аксиома Паша" [и доказывать нечего], а в других "теорема Паша".

[polenadisto]

Вот-вот. В описываемом учебнике это теорема.

[polenadisto]

В Погорелове это идет как теорема, а не аксиома, так что еще и сдавать, поди, приходилось.

[2born]

Ааа, какая прелесть!!! Я, правда, учился по Колмогорову:)) Меня геометрия поразила стройностью и логичностью, алгебра школьная была не такая, просто надерганные отовсюду... А по ужебнику геометрии " пчелкой" можно было учиться вообще самому, это меня поразило до глубины души (потом, кстати, до меня дошли слухи, что именно за это колмогоровский учебник и критиковали:))) А вот как раз теоремы о вписанных и описанных окружностях я помнил всю дорогу (правда, без доказательств, с ними у меня беда: в последние годы несколько раз лазил в тот же учебник вспомнить, как доказывается теорема Пифагора и каждый раз быстро забываю, печель-тоска:))) И, кстати, насчет описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности я слышал, что это был масонский секрет: как построить прямоуголный треугольник на местности

[polenadisto]

А что значит "пчелкой"? Не понял)

Погореловский тоже вроде как и для самообразования подходил, там даже есть указания, как самому готовится - и интересные с педагогической точки зрения параграф, где объясняется, что если чего-то пропустил, то дальше уже не поймешь.

Доказательство теоремы Пифагора в Погорелова очень скучное, через косинусы. У Колмогорова, наверное, что-то поинтереснее было!

[2born]

Упс, предлог "с" потерялся, имелось в виду "с пчелкой", вот такой:

[polenadisto]

Ну, там вначале вводится косинус как отношение сторон прямоугольного треугольника, потом доказывается, что он зависит только от градусной меры угла - ну а там и до теоремы Пифагора недалеко.

[anonymous]

А какие проблемы с центрами вписанной и описанной окружностей?

Неужели непонятно, что множество точек, равноудаленных от двух данных - серединный перпендикуляр?

И что биссектриса угла - ось симметрии угла?

Если тут и есть проблема, то проблема того, как рассказывать разные вещи. Например, наверное, лучше сказать, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, чем говорить ровно о том же в терминах окружностей, описанных около треугольников. Во втором случае возникает вопрос - а с чего это нам интересен подобный объект?

[polenadisto]

Видимо, основная проблема была с тем, что я много лет об этом не задумывался. Я же не говорю, что это какие-то сложные теоремы были - они просто не остались в памяти, чтоб по первому зову выскакивать.

Проблема о том, что не все способы рассказать одни и те же вещи одинаково хороши для преподавания, как мне кажется. одна из главных в педагогике.

[anonymous]

Вишенка на торте, на самом деле, есть. Правда вряд ли ее можно вычитать хоть в каком-то школьном учебнике.

Она в том, что когда вы будете искать центр описанной окружности как пересечение двух серединных перпендикуляров к сторонам, вам придется доказать, что они пересекаются. [да, это не очевидный факт и его надо доказывать :))) ]

Вы это, несомненно, докажете. Но любое ваше доказательство будет использовать "пятый постулат", то есть аксиому параллельных. А если не будет - ищите ошибку в своем "доказательстве".

1. Знаете, почему такая неприятность?
2. C вписанной окружностью такого казуса не произойдет - две биссектрисы прекрасно пересекутся и без пятого постулата.

[polenadisto]

У Погорелова отдельно доказывается, что срединные перпендикуляры пересекаются - и таки да, с использованием аксиомы параллельных. А в чем тут неприятность-то?

[mevamevo]

Я вот тоже любил в школе геометрию! До сих пор помню симпатичную задачку (жаль, что сам не додумался; после того, как узнал решение, она, разумеется, показалась элементарной), в которой нужно было разделить имеющийся угол в 19 градусов на 19 равных частей... :)

[polenadisto]

Задачи на построение - отдельная прелесть! Чертежи красивыми у меня не получались, но сама идея очень привлекла.