Лучше всего, по-моему, это выражение иллюстрирует следующая картинка :)
Прямое значение: наложить себе в тарелку больше еды, чем способен съесть. Я сама частенько так делаю в столовой. Наложу себе в тарелку овощей с горкой (зная при этом, что овощи в столовке невкусные) и не доедаю их. Поэтому практически в конце каждого обеда на работе, я могу сказать про себя:
J'ai eu les yeux plus gros que le ventre! Mais enfin, j'aurais pu le prévoir, c'est toujours pareil, je finis rarement mon assiette...
В переносном смысле это выражение можно употребить про кого-то, кто берет на себя задачу, не будучи уверенным в том, что справится с ней (и в итоге не справляется).
Словарь подсказывает синоним - présomptueux, но как мне объяснил муж, последнее слово применяется по отношению к кому-то, кто себя явно переоценивает или зазнается, тогда как avoir les yeux plus gros que le ventre характеризует кого-то, кто обязывается сделать то, что ему скорее всего не по силам.