(no subject)
5.
На втором международном конгрессе математиков в 1900 году Гильберт перечислил самые важные, по его мнению, нерешенные математические задачи. На второе место он поставил доказательство непротиворечивости арифметики. Такое доказательство гарантировало бы и непротиворечивость большей части высшей математики. В сущности, его наличие означало бы, что никто никогда не смог бы доказать, что один равен двум.
5а.
Рени заранее знала, что скажет Фабризи, еще до того, как он открыл рот.
- Это самая дьявольская вещь, что я когда-либо видел! Ты знаешь эту игрушку для детей, которые только начинают говорить, где разные фигурки надо вставлять в подходящие по форме отверстия? Изучать твою формальную систему - это все равно что смотреть, как кто-то берет одну фигурку, и поочередно вставляет ее во все отверстия, причем каждый раз она идеально подходит!
- Так ты не смог обнаружить ошибку?
- Нет! Я попал в ту же колею, что и ты, и теперь могу думать только в этом направлении.
Рении, однако, уже оставила эту колею, она успела применить совершенно другой подход к проблеме, но он только подтвердил выявленное ранее противоречие.
- Что ж, спасибо, что попытался.
- Ты собираешься показывать работу кому-нибудь еще?
- Да, я думаю послать ее Каллагэну в Беркли. Мы с ним переписываемся с прошлой весны, после встречи на конференции.
Фабризи кивнул. -Меня очень впечатлила твоя работа. Дай мне знать, если он что-нибудь найдет, я заинтригован.
Говоря о себе, Рени употребила бы более сильное выражение, нежели «заинтригована».
5b.
Была ли Рени просто расстроена из-за неудач в работе? Карл знал, что она никогда не считала математику чем-то действительно тяжелым, видя в ней лишь вызов своему интеллекту. Могло ли быть так, что она впервые столкнулась с проблемой, которую никак не могла решить? Или такое обычно для всех математиков? Сам Карл был чистым экспериментатором, поэтому не мог представить себе, как Рени создает новые теоремы и тому подобное. Звучит глупо, но, может быть у нее просто закончились идеи?
Рени была явно слишком зрелой, чтобы страдать от потери иллюзий, обычной для взрослеющего вундеркинда. С другой стороны, лучшие труды многих математиков были сделаны ими до 30 лет, и Рени могла бояться того, что и она попала под эту статистику, хоть и на несколько лет позже срока.
На это было не похоже. Карл бегло перебрал в уме еще несколько возможностей. Быть может, Рени разочаровалась в академической науке? Или была смущена из-за того, что ее исследования стали слишком узкоспециализированными? Или же просто устала от работы?
Нет, Рени изменилось не из-за этого. Карл мог вообразить, что бы он увидел в ее поведении, если бы справедливой действительно оказалась какая-либо из упомянутых причин, но результаты явно не вязялись с тем, что он видел в реальности. Что бы ни донимало Рени, он не мог выяснить истоки, и это вызывало у него тревогу.
6.
В 1931 году Курт Гедель представил две теоремы. Первая из них говорит, по существу, о том, что в математике содержатся утверждения, которые могут быть истинными, но недоказуемы в своей основе. Даже если формальная система так же проста, как арифметика, и операции, разрешенные в ней, однозначно и точно определены, истинность такой системы, кажущаяся совершенно очевидной, не может быть доказана формальными методами.
Вторая показывает, что претензия математики на полноту и непротиворечивость является подобным недоказуемым утверждением, его невозможно вывести никакими средствами из аксиом арифметики. То есть, арифметика, как формальная система, не гарантирует от получения результатов, подобных «1=2». Они могут никогда не встретиться на практике, но доказать, что они не вообще не возникнут - невозможно.
6а.
Когда Карл снова появился в кабинете Рени, она подняла на него взгляд от стола. “Рени, очевидно что…” - решительно начал он. Она прервала его:
“Хочешь знать, что меня беспокоит? О’кей, я расскажу тебе”. - Рени достала из пачки чистый лист - “Подожди, это займет всего минуту”
Карл снова было открыл рот, но Рени жестом заставила его замолкнуть. Сделав глубокий вдох, она начала писать.
Сперва она поделила лист на две половины вертикальной линией. Вверху первого столбца она поставила цифру «1», вверху второго - «2». Под каждой из цифр она быстро и неразборчиво нацарапала по несколько символов, подчеркнула их, и внизу, под линиями подчеркивания подписала более длинные строки из других символов. Продолжая добавлять строки к левому и правому столбцам, Рени сильно сжимала зубы, словно письмо вызывало у нее раздражение, подобное тому, что бывает от царапанья ногтями по меловой доске. С приближением к нижнему краю листа, строки из длинных делались все более короткими. “Ну, и последний штрих” - подумала она. Осознав, что чересчур сильно давит на бумагу, Рени намеренно ослабила хватку на карандаше. Две последние строки внизу листа вышли одинаковыми. Она поставила между ними жирный знак равенства, расположив его на центральной линии.
Рени протянула исписанный лист Карлу. Он взглянул на нее с недоумением .
- Посмотри на то, что написано сверху - он посмотрел.
- А теперь - на то, что внизу.
Карл нахмурился: - Я не понимаю…
- Я разработала формальную систему, которая позволяет приравнять друг к другу два любых числа. На этом листе доказательство того, что один равен двум. Возьми два любых других числа, и я также докажу, что они равны.
Карл, казалось, пытался что-то вспомнить. - Это ведь деление на ноль, так?
- Нет, здесь нет никаких незаконных операций, неполностью определенных понятий, неявно принятых независимых аксиом, ничего. В доказательстве не используется абсолютно ничего запретного.
Карл покачал головой: - Подожди, очевидно же, что “один” и “два” неодинаковы.
- Но формально являются таковыми, доказательство у тебя в руке. Все положения, что я использовала в нем, считаются абсолютно бесспорными.
- Но тогда у тебя получается противоречие.
- Вот именно. Арифметика, как формальная система, противоречива.
6b.
- Ты хочешь сказать, что не можешь найти ошибку?
- Нет же, ты меня не слушаешь. Думаешь, я расстроилась бы из за чего-нибудь подобного? В доказательстве нет ошибки.
- Ты думаешь, что-то неверно в исходных положениях?
- Именно.
- Ты уве… - Он прервался, но было слишком поздно. Рени рассерженно взглянула на него. Конечно, она была уверена. Карл подумал о том, что, по ее мнению, это может значить.
- Понимаешь? - спросила Рени. - Я только что опровергла большую часть математики. Она теперь бессмысленна.
Рени пришла в сильное возбуждение, казалось, почти обезумела. Карл ответил ей, тщательно подбирая слова:
- Как ты можешь утверждать такое? Математика ведь все еще работает. Научный и экономический миры не собираются внезапно рушиться от этого открытия.
- Это потому что математика, которую они используют - всего лишь хитроумный трюк. Мнемонический прием, наподобие счета по костяшкам пальцев, чтобы определить, в каких месяцах по тридцать, а в каких по тридцати одному дню.
- Но это ведь не одно и то же…
- Почему же нет? Теперь математика не имеет абсолютно ничего общего с реальностью. Не будем говорить о таких вещах, как мнимые числа или бесконечно малые величины. Теперь даже чертово сложение целых чисел не имеет ничего общего со счетом на пальцах! На пальцах один и один - всегда будет два, но на бумаге я могу выдать тебе бесконечное число решений, и все они будут одинаково верными, что на самом деле значит, что все они одинаково неверны. Я могу написать самую элегантную теорему, что ты только видел, и она будет значить не больше, чем какое-нибудь бессмысленное равенство.
Рени горестно усмехнулась: - Позитивисты утверждали, что математика является тавтологией. Они ошибались - математика является противоречием.
Карл попробовал зайти с другой стороны:
- Постой. Ты упоминала мнимые числа. Почему то, что мы имеем сейчас, хуже того, что было с ними? Ведь когда-то математики считали мнимые числа бессмысленными, а сейчас они стали фундаментальным понятием. Здесь та же самая ситуация.
- Нет, не та же самая. В случае с мнимыми числами, выход был в том, чтобы расширить контекст, здесь это не поможет. Мнимые числа привнесли нечто новое в математику, мой же формализм переопределяет то, что в ней уже есть.
- Но если все-таки сменить контекст, посмотреть на проблему в ином свете…
Рени закатила глаза:
- Нет! То, что я доказала, следует из аксиом с той же определенностью, что и правила сложения, и этого никак не обойти. Могу дать тебе слово.
7.
В 1936 году Герхард Генцен опубликовал свое доказательство непротиворечивости арифметики, однако ему пришлось использовать спорный прием, известный как бескванторная индукция. Он не относится к общепринятым методам доказательств, и вряд ли может служить надежной гарантией полученного результата. Все что сделал Генцен - доказал очевидное, используя сомнительное предположение.
7a.
Позвонил Каллагэн из Беркли, но и он не смог предложить спасения. Он сказал, что продолжит изучать ее работу, но похоже, что она наткнулась на нечто фундаментальное и тревожащее. Он хотел знать, планирует ли Рени опубликовать свой формализм, ведь если в нем есть ошибка, которую никто их них обоих не смог обнаружить, то другие математики наверняка должны найти ее.
Рени едва смогла дослушать, и пробормотала, что еще с ним свяжется. В последнее время разговоры с другими людьми стали для нее затруднительными, особенно после спора с Карлом. Коллеги также стали избегать общения с ней. Былая сосредоточенность исчезла, а прошлой ночью ей приснился кошмар, будто она открыла формализм, позволяющий переводить произвольные понятия в математические выражения, а потом доказала, что жизнь и смерть - это одно и то же.
Вот что ее пугало: возможность утраты рассудка. Определенно, ясность мысли уже покидала ее; казалось, недалеко была и следующая ступень - полное помутнение.
- Что за нелепый я человек! - ругала она себя - Разве Гедель пытался покончить с собой, доказав свою теорему о неполноте?
Но то была прекрасная, божественная теорема, одна из самых элегантных, что знала Рени.
Ее же собственное доказательство будто насмехалось над ней, дразнило, словно головоломка: - ага, а вот тут не пропустила ли ты ошибку? Попробуй найди, если сможешь! - и так снова и снова.
Она представила, как может оценить Каллэген последствия ее открытия. Ведь большая часть математики представляет собой исключительно формальные построения, не имеющие практического применения; они изучаются, в общем то, только ради своей внутренней красоты. Но так не может более продолжаться: теории, противоречащие сами себе, станут бесцельными и бессмысленными, и большинство математиков отбросят их с отвращением.
Но что по-настоящему бесило Рени, так это то, что ее предала собственная интуиция. Проклятая теорема имела смысл, она ощущалась (на свой собственный, извращенный лад), как правильная. Рени знала, что теорема верна, и почему она верна, она верила в нее.
7b.
Карл улыбнулся, когда вспомнил о ее дне рождения.
- Не может быть! Как ты только догадался! - Рени сбежала по лестнице, держа в руках свитер.
Прошлым летом, в отпуске, они были в Шотландии, и в одном Эдинбургском магазине Рени приглянулся этот свитер, но она его не купила. Карл заказал его, и положил в выдвижной ящик ее гардероба, чтобы она нашла его там этим утром.
- Ну, глядя на тебя, это было очевидно. - Оба они знали, что на самом деле это неправда, но Карлу было приятно поддразнить ее.
Это было всего два месяца назад. Таких коротких месяца.
Теперешняя ситуация требовала смены привычного распорядка. Карл вошел в кабинет Рени, и увидел, что она сидит в кресле, уставившись в окно.
- Угадай, что у меня есть для нас с тобой!
Рени обернулась - Что?
- Я забронировал на уикэнд апартаменты в Билтморе. Мы можем расслабиться и абсолютно ничего не делать.
- Пожалуйста, прекрати - сказала Рени. Я знаю, ты хочешь, чтобы мы занялись чем-то приятным и отвлекающим, чтобы я могла освободить ум от этого формализма. Но это не сработает. Ты не знаешь, какого рода власть он имеет надо мной.
- Ну, давай же! - Он потянул ее за руки, чтобы поднять из кресла, но она не поддалась, отдернув их. Карл постоял рядом с ней, внезапно она подняла взгляд и посмотрела прямо на него.
- Знаешь, что у меня было искушение начать принимать барбитураты? Я почти жалею, что я не идиотка, тогда б у меня не было необходимости думать об этом.
Карл отступил. Уже не очень уверенно, он сказал: - Почему бы тебе просто не уехать на некоторое время, это не причинит вреда, и, может быть, все-таки высвободит твой ум.
- Это не такая вещь, которую можно просто выкинуть из головы. Ты не понимаешь.
- Так объясни мне.
Рени вздохнула, и отвернулась ненадолго, чтобы собраться с мыслями.
- Как будто все, что я вижу вокруг, вопит мне о противоречиях. - сказала она. - Я теперь все время уравниваю числа.
Карл помолчал. Затем, внезапно поняв что-то, он сказал: - Словно физики-классики, столкнувшись с квантовой механикой. Как если бы теория, в которую ты всегда верил, отменена, а в новой не видно смысла, хотя все факты так или иначе свидетельствуют в ее пользу.
- Нет, совсем не так. - она отклонила его довод почти презрительно. - Это не имеет никакого отношения к фактам, здесь все - а приори.
- Но в чем же разница? Разве мой пример не подтверждает твои рассуждения?
- Господи, ты что, смеешься? Разница - между тем, что я вижу, измерив «один» и «два» с помощью привычной мерки, и моим внутренним, интуитивным осознанием их равенства. Я больше не могу удерживать в уме понятие различных величин, они все теперь ощущаются, как одинаковые.
- Ты же не всерьез? Никто на самом деле не может испытывать подобного чувства, это то же самое, что поверить в шесть невероятных вещей до завтрака.
- Откуда ты знаешь, что я могу чувствовать?
- Я пытаюсь понять…
- Не старайся.
Терпение Карла иссякло. - Ну ладно. - Он вышел из комнаты и отменил заказ.
После этого они почти не разговаривали - только, если была необходимость. А через три дня Карл забыл коробку с нужными ему слайдами, развернулся и подъехал за ними обратно к дому, и нашел на столе ее записку.
В следующие несколько мгновений Карл интуитивно понял две вещи. Первую он осознал, когда бежал через дом, опасаясь, не приняла ли она цианид, который могла взять на химическом факультете. Он понял, что поскольку совершенно не представляет, что же могло толкнуть ее к такому поступку, он не может и сопереживать ей.
Вторую вещь он осознал, колотя в дверь ее спальни, взывая к Рени сквозь нее: он понял, что ощущает дежавю. Он уже бывал в положении, подобном теперешнему, но перевернутом до абсурда. Он вспомнил, как однажды сам находился по другую сторону запертой двери, на крыше здания, слыша, как его друг колотит в дверь и вопит ему: - Не делай этого!
Теперь, стоя у двери спальни, он слышал, как она рыдает на полу, пораженная стыдом, точно так же, как он сам тогда - на другой стороне.
8.
Гилберт однажды сказал: - Если математическое мышление несовершенно, то где еще искать истину и убежденность?
8a.
Cтанет ли ее попытка самоубийства клеймом на всю оставшуюся жизнь? - думала Рени. Она выровняла по краям листы бумаги на столе. Станут ли с этого момента относится к ней, возможно и неосознанно, как к взбаламошному и нестойкому человеку? Она никогда не спрашивала Карла, были ли у него подобные опасения, возможно, потому что никогда не винила его за его собственную попытку. Это было давно, и каждый, кто видел Карла сейчас, мог сразу же опознать в нем цельную личность.
Но Рени не сказала бы так о себе. Она теперь была не в состоянии ясно и четко рассуждать о математических проблемах, и не была уверена, что сможет когда-либо вообще делать это. Если бы ее увидели коллеги, они, наверное, просто сказали бы, что она утратила свой талант.
Закончив прибираться на столе, Рени вышла из кабинета в гостиную. После того, как ее формализм стал известен в научном сообществе, казалось бы, должен произойти полный пересмотр всех установленных ранее основ математики. Однако, лишь немногие могли быть поражены им настолько же сильно, как и Рени. Большинство отнеслись бы к нему так же, как Фабризи: изучили бы доказательство и согласились бы с его правильностью, но чисто механически. Лишь те немногие, кто прочуствовали бы его почти столь же остро, что и Рени, могли бы в полной мере осознать таившееся противоречие - те кто могли бы постичь его интуитивно. Каллаген был одним из них, и Рени хотела бы знать, как он справился.
Рени провела на пыльной крышке стола сложную кривую. Раньше она могла бы, особо не утруждаясь, тут же вывести ее параметры и характеристики. Но теперь, наверное, и пытаться было бессмысленно. Все ее внутреннее видение просто исчезло.
Как и многие другие, Рени всегда думала, что математика не наследует свой смысл от реального мира, а наоборот, скорее придает миру некоторую осмысленность. Что физические объекты сами по себе не являются большими или меньшими, подобными или различными - они просто есть, они существуют. Что математика является полностью независимой, но в сущности, именно она придает семантический смысл вещам реального мира - путем введения категорий и отношений. Что она не описывает ни одно из сущностных качеств вещей, но лишь дает возможные интерпретации.
Однако, все осталось в прошлом. Математика оказалась противоречивой, как только была оторвана от вещей реального мира, а формальная теория, если в ней есть противоречие - ничего не стоит. Математика, оказывается, была не боле чем эмпирикой, и потому потеряла всякий интерес для Рени.
Чем же ей теперь заняться? Рени знала коллегу, бросившего академию, чтобы заняться продажей самоделок из кожи. Ей просто нужно было какое-то время, чтобы вновь обрести способность преодолевать препятствия. Именно в этом Карл и пытался ей помочь.
8b.
Среди знакомых Карла были Энни и Марлен, две лучшие подруги. Несколько лет назад, когда Марлен всерьез раздумывала о самоубийстве, она обратилась за помощью не к Энни, но к Карлу. Целую ночь Карл поддерживал ее силы. Они переходили из одного места в другое, разговаривали, или молчали вместе. Карл догадывался, что Энни всегда немного завидовала ему из-за этого, хотя и втайне, что она хотела бы знать, в чем же было то преимущество Карла, которое позволило ему настолько сблизиться с Марлeн, чтобы разделить с ней ее беду и помочь ей. Ответ прост - потому, что он мог предложить нечто большее, чем простое сочувствие - глубокое сопереживание, эмпатию.
У Карла в жизни были еще несколько случаев, чтобы оказать свое участие, и каждый раз он был рад от того, что может помочь, а также был рад, что способен и на другую роль - утешающего, а не нуждающегося в утешении.
Раньше он всегда думал, что способность к состраданию - одна из главных черт его характера. Но теперь он обнаружил, что столкнулся с чем-то абсолютно ему незнакомым, а все чувства и инстинкты, на которые он привык полагаться - просто молчат. И Карл понял, что если перестает действовать его эмпатия - он не может ничего.
Если бы на дне рождения Рени кто-нибудь сказал ему, что уже через пару месяцев он будет испытывать подобное бесчувствие, он не поверил бы, и немедленно отбросил бы саму эту мысль об этом. Карл предполагал, что ослабление чувств со временем возможно, хотя для этого обычно нужны годы… Но два месяца?!
И вот, после шести лет брака, он ощущал, что не может больше любить Рени. Карл еще раз мысленно проверил себя: да, то, что она изменилась - неоспоримый факт, равно как и то, что он не может теперь ни понять ее, ни сопереживать ей. Интеллектуальная и эмоциональная жизни Рени всегда были накрепко связаны, а значит, последняя теперь оказывалась за пределами его досягаемости.
Непроизвольно защищая себя, он рассуждал так: нельзя же требовать от человека, чтобы он оставался сочувствующим, понимающим, и готовым помочь в абсолютно любой ситуации. Например, если бы чью-то жену внезапно поразила психическая болезнь, то уйти от нее - это, конечно, грех для мужа, но грех простительный. Остаться - это означало бы, что нужно вступить с ней в связь совершенно иного рода, которая по силам далеко не каждому. Карл никогда бы не осудил человека, оказавшегося в подобном положении. Но оставался невысказанный вопрос: - А что бы ты сделал? И Карл всегда отвечал для себя: - Я бы остался.
Лицемер.
Хуже всего, он сам однажды был в такой беде: он был погружен в собственную боль, он подвергал испытанию терпение и стойкость окружающих людей, и нашелся кто-то, кто смог пройти с ним через все, и помочь исцелиться. А теперь его уход от Рени кажется неотвратимым. Но это стало бы той виной, которую он не смог бы себе простить.
9.
Альберт Эйнштейн однажды сказал: - Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.
9а=9b
Карл был на кухне, вытаскивал волокнистые черенки из стручков снежного горошка, предназначенных для обеда, когда к нему вошла Рени.
- Можно с тобой поговорить?
- Конечно.
Они сели за стол, и Рени умышленно отвела взгляд к окну: ее обычная манера, когда она хотела начать серьезный разговор.
Карл вдруг понял, что она сейчас скажет, и это ужаснуло его. Сам он не хотел ей говорить, что уходит, пока она полностью не поправится, хотел подождать месяца два… Сейчас было бы слишком рано.
- Я знаю, это нелегко понять, это неочевидно…
«Нет, нет, не произноси этого!» - взмолился он про себя.
- … но я в самом деле благодарна тебе, я рада, что ты был со мной все это время.
Карл с облегчением закрыл глаза, но к счастью, Рени все еще смотрела в окно. Да, это будет очень, очень трудно.
Рени продолжила: - То, что творилось в моей голове… - она сделала паузу - я никогда даже не могла представить ничего подобного. Если бы это была обычная депрессия, я знаю, ты бы понял меня, и мы бы могли с ней справиться.
Карл кивнул.
- Как будто я оказалась теологом, который вдруг доказал, что бога нет. Понимаешь, не испытывал смутные опасения, а твердо доказал, как факт. Звучит абсурдно, правда?
- Нет.
- Это такое чувство, которое я не могу ясно выразить и передать тебе. Было нечто, во что я верила твердо и безоговорочно, а оно оказалось ложным, и открыла это я сама.
Карл приоткрыл было рот, чтобы сказать, что он в точности понимает, что она имеет в виду, что он сам переживал такое… Но прервался: это была неправда, и фальшивое сочувствие теперь скорее разъединило бы их, чем сблизило. А об этом он не мог ей сказать.