Задача.

[niktoinikak]

На плоскости задана функция, сумма значений которых на вершинах любого квадрата равна нулю. Может ли она не быть тождественным нулём?

Решение
[Spoiler (click to open)]f(x,y)+f(x+a,y)+f(x+a,y+a)+f(x,y+a)=0 (1)
f(x,y)+f(x-a,y)+f(x-a,y-a)+f(x,y-a)=0 (2)
f(x-a,y)+f(x,y-a)+f(x+a,y)+f(x,y+a)=0 (3)

f(x,y)+f(x+a,y)+f(x+a,y-a)+f(x,y-a)=0 (4)
f(x,y)+f(x-a,y)+f(x-a,y+a)+f(x,y+a)=0 (5)
f(x-a,y)+f(x,y-a)+f(x+a,y)+f(x,y+a)=0 (6)=(3)

f(x+a,y+a)+f(x+a,y-a)+f(x-a,y-a)+f(x-a,y+a)=0 (7)

(1)+(2)-(3)+(4)+(5)-(6)-(7):
4f(x,y)=0

Цивилизованное изложение [Spoiler (click to open)]перевод на человеческй язык - мой :-)
Возьмём любую точку и построим целочисленную сетку с ней как с началом координат.
Рассмотрим 4 единичных квадрата сетки, для которых наша точка - вершина и напишем для их вершин суммы значений функции. Каждая из них равна нулю, и сумма равна нулю.
Но в неё входят 3 компоненты:
1. Сумма значений функции на вершинах квадрата со стороной 2 с центром в нашей точке - ноль.
2. Удвоенная сумма значений функции в серединах сторон предыдущего квадрата - тоже ноль, т к эти середины сами - вершины квадрата.
3. учетверённое значение функции в нашей точке.
Тоже стало быть ноль.