Вычисляем проценты, решаем пропорции (основы)
О чём только тут писать не приходилось, в этот раз даже математику захотелось вспомнить. Так получается, что у нас люди часто не могут понять некоторые темы из неё, вроде дробей или процентов, хотя это дохрена важно на самом деле. Сами дроби изучать не будем, будем именно пропорции изучать и проценты. Ну и посмотрим, где это в жизни может пригодиться (это не интегралы, которые далеко не всем могут пригодиться, хотя в принципе и там может быть польза, типа площадь расчитать, ну и тут большинству точность в данном случае большая не потребуется, так что можно представить более понятную фигуру, похожую на прямоугольник).
Если вдруг кто-то впервые зашёл сюда, через эту статью, я не математик, это, наверное, единственный случай, когда я пишу что-то здесь, так получилось. Да и если вы математик, то скорее всего вы и так всё знаете, тут всё прям с самого начала.
Ну для начала разберёмся, что такое проценты. Процент-сотая доля от числа, меры чего-то и т.д., 100% подразумевает собой уже само число. Как пример, 1% от 500 будет равен 5. Т.к. процент-сотая доля, то, соответственно, нахождение процента от числа равносильно умножению на одну сотую (1/100) или просто умножению на 0,01. Для получения какого-то определённого количества процентов необходимо число поделить на 100%, это даст нам 1% от числа, потом умножить получившийся на количество необходимых нам процентов. Можно просто вспомнить, что процент-сотая доля числа, сотую долю легко представить в виде десятичной дроби (которые с запятой и дробной частью после целой части), какое-то определённое число процентов-это их число, делённое на 100, соответственно их тоже можно представить в виде десятичной дроби, к примеру 21% будет соответствовать 0,21, и чтобы найти 21% от числа, то это число можно просто умножить на 0,21 (21/100=0,21).
Раз проценты можно представить в виде десятичной дроби, то можно легко доказать, что при нахождении процента от числа можно заменить то число процентом, просто добавив знак процента к нему, а процент представить в виде числа, просто убрав знак процента от него. Например, 38% от 50 будет равняться 50% от 38, а 50%, как мы знаем, половина от числа. Ну рассморим на данном примере доказательство. 38% от 50=0,38*50 или 38*50/100, разделить на 100 можно и другое число, в данном случае 50, тогда получается 38*50/100=38×0,5, получается, что 0,38*50=38*0,5 или 50% от 38, что будет равно 19.
Бывает часто проблема с подсчётом процентов, если требуется соединить что-то с разным количеством содержания чего-то. Ну, например, смешать 2 сметаны жирностью 20% со сметаной жирностью 25% и узнать получившуюся жирность сметаны. В данном случае просто складывать проценты неправильно, т.к. в итоге получается, что складываются при смешении не только нужные проценты, но и оставшееся количество того, что в эти проценты не вошло, в случае со сметаной то, что не входит в жирность будет по итогу складываться в 235%, хотя максимум 100% должно быть, если в суммировать с жирностью, то будут все 300%. Для того, чтобы узнать, какое всё-таки количество процентов должно получиться, необходимо не просто сложить проценты, а разделить их на количество частей смесей, растворов, с заданным количеством процента содержания чего-то. В нашем случае будет 3 части (1 часть-25% плюс 2 части-20%)(300%/100% как раз будет 3). Также стоит заметить, что словосочетание "чего-то с процентным содержанием ... в n раз больше/меньше (нужное подчеркнуть), чем того-то с процентным содержанием ..." не говорит о том, что частей n, это говорит о том, что, что частей n+1. Мы ведь считаем количество не только того, что в n раз больше, но и того, от чего это больше считается.
В примере со сметаной получается (20*2+25)/3=21,67% (примерно).
Также можно рассмотреть пример такой задачи. Цена на товар была 1000 руб, она поднялась на 20%, потом опустилась на 20%. Сколько сейчас стоит товар?
Многие, не решая, могут подумать, что стоимость товара сейчас=1000 руб. На самом деле это не так. Цена изначально поднялась на 20%, стала другой и следующие 20% отсчитываются от получившейся, а получившаяся не равна предыдущей, поэтому и результат будет другим. Также стоит понять, что раз цена повысилась на 20%, то к изначальному количеству процентов=100 (полная стоимость-100%) прибавляется 20, получается 120% от изначальной цены (ну можно любой процент к изначальной цене добавить, какой в условии, такой и добавляется, также можно вычесть, если цена уменьшается, 100%-20%=80%).
Решение вот, 1000 руб*1,2*0,8=960 руб (1,2=120%, здесь узнаём цену после повышения, 0,8=80%, здесь цена после падения).
Также существует десятая доля процента или тысячная доля числа-промилле (обозначается так ‰).
Иллюстрация для написанного, чтобы интересней типа было
Теперь будем разбираться с пропорциями. Бывает такое, что количество чего-то, соотношение чего-то не изменяется, чтобы не добавляли, чтобы не убавляли. Раз количество, соотношение не изменяется, то значит то, благодаря чему образуется соотношение можно изменять сколько угодно, при любых значениях соотношение будет одинаковым, значит можно приравнивать то, что при различных значениях чего-то образует одинаковые соотношения в виде дробей. Эти приравнивания и образуют пропорции. Благодаря им можно найти неизвестную составляющую соотношения при других известных составляющих. Вот, например, смешивают сметану жирностью 20% с полностью обезжиренной (в жизни вряд ли такое получится, всё равно что-то там будет). Раз в обезжиренной сметане нет жира, тогда при добавлении её в сметану с жирностью 20% общее количество жира в получившейся смеси сметан не изменится. Тогда есть возможность создать какую-нибудь пропорцию для нахождения чего-то. Ну пусть будет задача найти жирность получившейся сметаны, после смешения 100 г сметаны с 20% жирностью и 250 г сметаны без жира. Количество (масса) жира не меняется (добавляется сметана без жира), значит относительно него и будем строить пропорцию. Для того, чтобы найти количество жира необходимо найти массу сметаны в количестве процентов, равном проценту жирности, количество общей массы сметаны меняется, начальная и конечная масса сметаны известны, известно начальное количество процентов жирности и неизвестно конечное (вообще для поиска должно быть только одно неизвестно). Масса жира находится так, общая масса*количество процентов/100%, тогда можно приравнять то, что получается до, и то, что получается после, 100г*20%/100%=350г*Х%/100%. Вообще это не совсем та пропорция с дробями, той пропорцией бы было 100г/Х%=350г/20%, ну путём превращений вида крест на крест, заключающимся по сути в умножении обоих частей на все знаменатели и в последующих сокращениях, такое получается. Ну решаем получившееся, 100% сокращаем, делим на 350г обе части, получаем Х=100*20/350%=5,71%.
Ну ещё на примере уксуса рассмотрим подобное. Есть раствор уксусной кислоты 70% объёмом n мл, есть вода без уксусной кислоты, необходимо получить 9% расствор, вопрос в том, сколько нужно долить воды, чтобы получить такой раствор.
Объём именно кислоты будет равен массе раствора, умноженной на количество % и делённой на 100%. Составляем такое соотношение 70%*n/100%=9%*X/100% (в принципе в данном случае можно на 100 и не делить, чисто для понимания процесса), выражаем X, получаем Х=70%*n/9%=8*n г-примерная масса получившегося раствора, n-начальное количество грамм 70%-го раствора, 8*n г-масса получившегося раствора, ну добавить нужно 8*n-n =7*n, т.е. на одну часть 70%-ого расствора нужно 7 частей воды.
Также, думаю полезным будет рассмотреть более интерестный случай сколько получится грамм каустической соды (едкий натр, гидроксид натрия, NaOH) после взаимодействия 230 г натрия с водой.
Тот самый взрыв, правда там взрывается образующийся водород при взаимодействии с кислородом, смысл натрия здесь в том, что при его взаимодействии с водой выделяется большое количество тепла, которое является достаточным для взаимодействия водорода и кислорода.
Выглядит в виде реакций это так.
2Na+2H2O->2NaOH+H2+Q
2H2+O2->2H2O
Нас интересует первая реакция, там нужная нам вещь находится.
Натрия 230 грамм, молярная масса 23 г/моль (считается по атомной массе, соответствует численно ей) (берём самый распространённый и стабильный изотоп), гидроксида натрия неизвестно сколько, его молярная масса 23+16+1=40 г/моль, молярная масса воды=18 г/моль, водорода-2 г/моль.
Находим сколько молей натрия используется в реакции, 230/23=10 моль (количество молей находится путём деления массы на молярную массу), берём в учёт, что ещё там 2 натрия в реакции, на 2 моля натрия идёт 2 моля воды, получается 2 моля гидроксида и 1 моль водорода. В принципе количество молей гидроксида натрия и натрия одинаковое, массы молярные известны, осталось массу гидроксида найти, 10*40=400 грамм.
Ну можно и проще, 230г/(23г/моль*2)=Х/(40г/моль*2) (на 2 умножается из-за коэффициента 2 в уравнении перед формулами веществ), это та сама пропорция, выражаем Х (при переносе за знак = числитель становится знаменателем, а знаменатель числителем), Х=230*40/23(г)=400 г.
Ну в принципе можно и количество реакций подсчитать, в 1-ом моле 6*1023 молекул, натрия 10 моль, на реакцию идёт 2 молекулы натрия, 6*1023*10/3=3*1024 реакций. Вот такое большое число.
А вообще такое опасно повторять, соблюдайте технику безопасности, вобщем.
Вспомнил былое, вроде и было когда-то интересно подобное изучать, как математику (ну тут не только математика, просто разнообразить захотелось), но сейчас в психике человеческой копаться всё равно интересней
Надеюсь, что кто-то научится чему-то.
Если вдруг кто-то впервые зашёл сюда, через эту статью, я не математик, это, наверное, единственный случай, когда я пишу что-то здесь, так получилось. Да и если вы математик, то скорее всего вы и так всё знаете, тут всё прям с самого начала.
Ну для начала разберёмся, что такое проценты. Процент-сотая доля от числа, меры чего-то и т.д., 100% подразумевает собой уже само число. Как пример, 1% от 500 будет равен 5. Т.к. процент-сотая доля, то, соответственно, нахождение процента от числа равносильно умножению на одну сотую (1/100) или просто умножению на 0,01. Для получения какого-то определённого количества процентов необходимо число поделить на 100%, это даст нам 1% от числа, потом умножить получившийся на количество необходимых нам процентов. Можно просто вспомнить, что процент-сотая доля числа, сотую долю легко представить в виде десятичной дроби (которые с запятой и дробной частью после целой части), какое-то определённое число процентов-это их число, делённое на 100, соответственно их тоже можно представить в виде десятичной дроби, к примеру 21% будет соответствовать 0,21, и чтобы найти 21% от числа, то это число можно просто умножить на 0,21 (21/100=0,21).
Раз проценты можно представить в виде десятичной дроби, то можно легко доказать, что при нахождении процента от числа можно заменить то число процентом, просто добавив знак процента к нему, а процент представить в виде числа, просто убрав знак процента от него. Например, 38% от 50 будет равняться 50% от 38, а 50%, как мы знаем, половина от числа. Ну рассморим на данном примере доказательство. 38% от 50=0,38*50 или 38*50/100, разделить на 100 можно и другое число, в данном случае 50, тогда получается 38*50/100=38×0,5, получается, что 0,38*50=38*0,5 или 50% от 38, что будет равно 19.
Бывает часто проблема с подсчётом процентов, если требуется соединить что-то с разным количеством содержания чего-то. Ну, например, смешать 2 сметаны жирностью 20% со сметаной жирностью 25% и узнать получившуюся жирность сметаны. В данном случае просто складывать проценты неправильно, т.к. в итоге получается, что складываются при смешении не только нужные проценты, но и оставшееся количество того, что в эти проценты не вошло, в случае со сметаной то, что не входит в жирность будет по итогу складываться в 235%, хотя максимум 100% должно быть, если в суммировать с жирностью, то будут все 300%. Для того, чтобы узнать, какое всё-таки количество процентов должно получиться, необходимо не просто сложить проценты, а разделить их на количество частей смесей, растворов, с заданным количеством процента содержания чего-то. В нашем случае будет 3 части (1 часть-25% плюс 2 части-20%)(300%/100% как раз будет 3). Также стоит заметить, что словосочетание "чего-то с процентным содержанием ... в n раз больше/меньше (нужное подчеркнуть), чем того-то с процентным содержанием ..." не говорит о том, что частей n, это говорит о том, что, что частей n+1. Мы ведь считаем количество не только того, что в n раз больше, но и того, от чего это больше считается.
В примере со сметаной получается (20*2+25)/3=21,67% (примерно).
Также можно рассмотреть пример такой задачи. Цена на товар была 1000 руб, она поднялась на 20%, потом опустилась на 20%. Сколько сейчас стоит товар?
Многие, не решая, могут подумать, что стоимость товара сейчас=1000 руб. На самом деле это не так. Цена изначально поднялась на 20%, стала другой и следующие 20% отсчитываются от получившейся, а получившаяся не равна предыдущей, поэтому и результат будет другим. Также стоит понять, что раз цена повысилась на 20%, то к изначальному количеству процентов=100 (полная стоимость-100%) прибавляется 20, получается 120% от изначальной цены (ну можно любой процент к изначальной цене добавить, какой в условии, такой и добавляется, также можно вычесть, если цена уменьшается, 100%-20%=80%).
Решение вот, 1000 руб*1,2*0,8=960 руб (1,2=120%, здесь узнаём цену после повышения, 0,8=80%, здесь цена после падения).
Также существует десятая доля процента или тысячная доля числа-промилле (обозначается так ‰).
Иллюстрация для написанного, чтобы интересней типа было
Теперь будем разбираться с пропорциями. Бывает такое, что количество чего-то, соотношение чего-то не изменяется, чтобы не добавляли, чтобы не убавляли. Раз количество, соотношение не изменяется, то значит то, благодаря чему образуется соотношение можно изменять сколько угодно, при любых значениях соотношение будет одинаковым, значит можно приравнивать то, что при различных значениях чего-то образует одинаковые соотношения в виде дробей. Эти приравнивания и образуют пропорции. Благодаря им можно найти неизвестную составляющую соотношения при других известных составляющих. Вот, например, смешивают сметану жирностью 20% с полностью обезжиренной (в жизни вряд ли такое получится, всё равно что-то там будет). Раз в обезжиренной сметане нет жира, тогда при добавлении её в сметану с жирностью 20% общее количество жира в получившейся смеси сметан не изменится. Тогда есть возможность создать какую-нибудь пропорцию для нахождения чего-то. Ну пусть будет задача найти жирность получившейся сметаны, после смешения 100 г сметаны с 20% жирностью и 250 г сметаны без жира. Количество (масса) жира не меняется (добавляется сметана без жира), значит относительно него и будем строить пропорцию. Для того, чтобы найти количество жира необходимо найти массу сметаны в количестве процентов, равном проценту жирности, количество общей массы сметаны меняется, начальная и конечная масса сметаны известны, известно начальное количество процентов жирности и неизвестно конечное (вообще для поиска должно быть только одно неизвестно). Масса жира находится так, общая масса*количество процентов/100%, тогда можно приравнять то, что получается до, и то, что получается после, 100г*20%/100%=350г*Х%/100%. Вообще это не совсем та пропорция с дробями, той пропорцией бы было 100г/Х%=350г/20%, ну путём превращений вида крест на крест, заключающимся по сути в умножении обоих частей на все знаменатели и в последующих сокращениях, такое получается. Ну решаем получившееся, 100% сокращаем, делим на 350г обе части, получаем Х=100*20/350%=5,71%.
Ну ещё на примере уксуса рассмотрим подобное. Есть раствор уксусной кислоты 70% объёмом n мл, есть вода без уксусной кислоты, необходимо получить 9% расствор, вопрос в том, сколько нужно долить воды, чтобы получить такой раствор.
Объём именно кислоты будет равен массе раствора, умноженной на количество % и делённой на 100%. Составляем такое соотношение 70%*n/100%=9%*X/100% (в принципе в данном случае можно на 100 и не делить, чисто для понимания процесса), выражаем X, получаем Х=70%*n/9%=8*n г-примерная масса получившегося раствора, n-начальное количество грамм 70%-го раствора, 8*n г-масса получившегося раствора, ну добавить нужно 8*n-n =7*n, т.е. на одну часть 70%-ого расствора нужно 7 частей воды.
Также, думаю полезным будет рассмотреть более интерестный случай сколько получится грамм каустической соды (едкий натр, гидроксид натрия, NaOH) после взаимодействия 230 г натрия с водой.
Тот самый взрыв, правда там взрывается образующийся водород при взаимодействии с кислородом, смысл натрия здесь в том, что при его взаимодействии с водой выделяется большое количество тепла, которое является достаточным для взаимодействия водорода и кислорода.
Выглядит в виде реакций это так.
2Na+2H2O->2NaOH+H2+Q
2H2+O2->2H2O
Нас интересует первая реакция, там нужная нам вещь находится.
Натрия 230 грамм, молярная масса 23 г/моль (считается по атомной массе, соответствует численно ей) (берём самый распространённый и стабильный изотоп), гидроксида натрия неизвестно сколько, его молярная масса 23+16+1=40 г/моль, молярная масса воды=18 г/моль, водорода-2 г/моль.
Находим сколько молей натрия используется в реакции, 230/23=10 моль (количество молей находится путём деления массы на молярную массу), берём в учёт, что ещё там 2 натрия в реакции, на 2 моля натрия идёт 2 моля воды, получается 2 моля гидроксида и 1 моль водорода. В принципе количество молей гидроксида натрия и натрия одинаковое, массы молярные известны, осталось массу гидроксида найти, 10*40=400 грамм.
Ну можно и проще, 230г/(23г/моль*2)=Х/(40г/моль*2) (на 2 умножается из-за коэффициента 2 в уравнении перед формулами веществ), это та сама пропорция, выражаем Х (при переносе за знак = числитель становится знаменателем, а знаменатель числителем), Х=230*40/23(г)=400 г.
Ну в принципе можно и количество реакций подсчитать, в 1-ом моле 6*1023 молекул, натрия 10 моль, на реакцию идёт 2 молекулы натрия, 6*1023*10/3=3*1024 реакций. Вот такое большое число.
А вообще такое опасно повторять, соблюдайте технику безопасности, вобщем.
Вспомнил былое, вроде и было когда-то интересно подобное изучать, как математику (ну тут не только математика, просто разнообразить захотелось), но сейчас в психике человеческой копаться всё равно интересней
Надеюсь, что кто-то научится чему-то.