Эскизы. 27. От корпускулярно-волнового дуализма к соотношению неопределенностей Гайзенберга.
Многие думают, что в физике чрезвычайно много законов, носящих названия не меньшего числа их авторов. На самом деле в физике очень мало законов. А множество фамилий прикреплены к множествам частных случаев этих законов.
И в этом мы убедимся, увидев, что соотношение неопределенностей Гайзенберга есть частный случай бесфамильного понятия волнового пакета.
8.3. Связь неопределенностей параметров волнового пакета.
Тот факт, что волновой пакет (см. предыдущий пост) имеет конечную длину Δх, означает, что в таком пакете есть приличная примесь волн, длина которых отличается от основной, и которые в конечном счете гасят колебания f(x,t) на краях пакета. Это можно описать как наличие в пакете заметной примеси длин волн в диапазоне Δλ в окрестности основной длины волны. Или, что гораздо удобнее, заметной примеси волн с волновыми числами k = 2π/λ в диапазоне Δk в пакете:
f(x,t) ~ А(х)cos(2πx/λ - 2πt/T) ≈ А(х)cos(kx - ωt). (8.2)
Как определить ширину диапазона Δk примесных волн? Мы знаем, что любую функцию можно подвергнуть фурье-разложению (в ряд или интеграл по синусам и косинусам). И таким способом аккуратно оценить искомый Δk. Но это трудоемко и ненаглядно. Поэтому пойдем другим путем - описанным в курсе "Механики" методом размерностей. Размерности Δх и Δk обратны друг другу. И потому из них можно построить только одну безразмерную комбинацию, которая согласно методу размерностей должна быть порядка единицы:
ΔхΔk ~ 1. (8.3)
Соотношение (8.3) говорит о том, что в пространственно длинном пакете Δх диапазон примесных волновых чисел Δk (длин волн) довольно узок, а в пространственно коротком пакете диапазон примесных длин волн весьма широк. Что кажется естественным. Но с первого взгляда соотношение (8.3) может вызвать подозрение в своей корректности. Ниже мы проверим его на примере простейших квантовых объектов - пакетов электромагнитных волн (фотонов).
§9. Соотношения неопределенностей Гайзенберга.
Понимание квантового мира и разработка алгоритмов вычисления его параметров определились только после того, как эти понимание и алгоритмы стали использовать идеологию корпускулярно-волновой природы вещества. И основное понимание в этой проблеме было достигнуто соотношением неопределенностей Гайзенберга и волновым уравнением Шредингера. Второе для начальной стадии познания квантового мира сложнее. Поэтому начнем с соотношений неопределенностей Гайзенберга.
9.1. Базовое соотношение неопределенностей.
В самом начале 20-го века было установлено, что импульс фотона p = ħk, где ħ = 1,055×10-27 г*см2/сек - постоянная Планка-Дирака, k = 2π/λ.
Подставляя k = p/ħ в (8.3) получаем:
ΔхΔp ~ ħ. (9.1)
Но ведь это не что иное, как соотношение неопределенностей Гайзенберга! Надеюсь, такая проверка соотношения (8.3) удовлетворит самых взыскательных читателей.
И в этом мы убедимся, увидев, что соотношение неопределенностей Гайзенберга есть частный случай бесфамильного понятия волнового пакета.
8.3. Связь неопределенностей параметров волнового пакета.
Тот факт, что волновой пакет (см. предыдущий пост) имеет конечную длину Δх, означает, что в таком пакете есть приличная примесь волн, длина которых отличается от основной, и которые в конечном счете гасят колебания f(x,t) на краях пакета. Это можно описать как наличие в пакете заметной примеси длин волн в диапазоне Δλ в окрестности основной длины волны. Или, что гораздо удобнее, заметной примеси волн с волновыми числами k = 2π/λ в диапазоне Δk в пакете:
f(x,t) ~ А(х)cos(2πx/λ - 2πt/T) ≈ А(х)cos(kx - ωt). (8.2)
Как определить ширину диапазона Δk примесных волн? Мы знаем, что любую функцию можно подвергнуть фурье-разложению (в ряд или интеграл по синусам и косинусам). И таким способом аккуратно оценить искомый Δk. Но это трудоемко и ненаглядно. Поэтому пойдем другим путем - описанным в курсе "Механики" методом размерностей. Размерности Δх и Δk обратны друг другу. И потому из них можно построить только одну безразмерную комбинацию, которая согласно методу размерностей должна быть порядка единицы:
ΔхΔk ~ 1. (8.3)
Соотношение (8.3) говорит о том, что в пространственно длинном пакете Δх диапазон примесных волновых чисел Δk (длин волн) довольно узок, а в пространственно коротком пакете диапазон примесных длин волн весьма широк. Что кажется естественным. Но с первого взгляда соотношение (8.3) может вызвать подозрение в своей корректности. Ниже мы проверим его на примере простейших квантовых объектов - пакетов электромагнитных волн (фотонов).
§9. Соотношения неопределенностей Гайзенберга.
Понимание квантового мира и разработка алгоритмов вычисления его параметров определились только после того, как эти понимание и алгоритмы стали использовать идеологию корпускулярно-волновой природы вещества. И основное понимание в этой проблеме было достигнуто соотношением неопределенностей Гайзенберга и волновым уравнением Шредингера. Второе для начальной стадии познания квантового мира сложнее. Поэтому начнем с соотношений неопределенностей Гайзенберга.
9.1. Базовое соотношение неопределенностей.
В самом начале 20-го века было установлено, что импульс фотона p = ħk, где ħ = 1,055×10-27 г*см2/сек - постоянная Планка-Дирака, k = 2π/λ.
Подставляя k = p/ħ в (8.3) получаем:
ΔхΔp ~ ħ. (9.1)
Но ведь это не что иное, как соотношение неопределенностей Гайзенберга! Надеюсь, такая проверка соотношения (8.3) удовлетворит самых взыскательных читателей.