Управляем ракетой бесплатно без смс, часть 1
Внезапно захотелось обобщить в текстовом виде то, чем я пока занимался и то, о чем вел речь на семинаре. Это первая часть - математическая оптимальность в ракетах и с чем ее едят. Вторую, может быть, допишу позднее. Высокую степень строгости достичь не пытался. Под катом много текста, который я пытался сделать понятным для, так сказать, широкого круга читателей. Интересующимся - добро пожаловать, математики там немного.
Введение и приблизительная постановка вопроса
Мы знаем, что ракеты подвержены коварству уравнения Циолковского, суть которого можно передать довольно банально: чем больше полезного груза тебе нужно закинуть на орбиту, тем больше тебе нужно везти с собой топлива, т.е. массы. Ракета-носитель, в силу высокой технологичности, малой серийности производства, необходимости большой команды обслуживания и прочих экономических причин, представляет собой крайне дорогое удовольствие - всего 1 кг полезности на орбите стоит от 2000$, и это довольно грубый расчет с сильным округлением в малую сторону.
Совершенно закономерным желанием космической отрасли является снижение этой самой стоимости. Здесь я не буду рассматривать инженерно-технические методы, вы их и так примерно помните, а приму за начальные условия такую мысль: ракета уже готова, мы знаем все ее характеристики и способности, и никоим образом не можем повлиять на железо, за исключением добавления полезной нагрузки в ущерб загруженного топлива.
Ясно, что ракетой можно «распорядиться» совершенно различным образом. Наглядно это «распоряжение» представляется в виде двух основных задач: задача определения оптимальной траектории выведения и получение управляющих законов, позволяющий эту траекторию обеспечить и поддерживать, если возникнут какие-либо возмущения. А они, конечно, возникнут. Исходя из этого, поставим логичные вопросы: каким образом добиться оптимальности траектории и ее соблюдения?
За ответом на первый вопрос нам следует последовательно обратиться к нескольким основным математическим дисциплинам. (это, кстати, даже радует - понимать, где и как каждая из изученных лекций тебе пригодилась). Начать следует с вариационного исчисления - раздел, изучающий вариации функционалов и экстремальные задачи, с ними связанные. Словами попроще - помогает составить такое математическое выражение (траекторию, уравнение движения, иной процесс), которое наилучшим (оптимальным) образом будет удовлетворять какому-то (не обязательно одному) критерию качества. Такой критерий выбирается на основе физической сути задачи. Давайте прикинем, каким он будет для задачи выведения на орбиту?
Полет ракеты, конечно, не проходит беспрепятственно, а на нее постоянно действуют силы различной природы - сила гравитации, аэродинамическое сопротивление, дополнительные возмущения и т.д. Подробнее об этом я скажу чуть позже, однако сейчас важна обобщенная суть. Очевидно, что чем дольше ракета летит, тем продолжительнее действие всех этих сопротивлений, т.е. имеем зависимость от времени. Взглянем теперь на одну из немногих полезных добрых сил - тягу. Упрощенно она зависит от расхода топлива, и в модельных задачах он также постоянно зависит от времени. Вспоминаем, чего хотели изначально - побольше массы в конечной точке. Значит, хотим, чтобы двигатель израсходовал как можно меньше топлива для выполнения своей задачи, ибо те остатки топлива можно заменить на вкусности для космонавтов и прочее полезное барахло.
А теперь настало время просуммировать наши размышления в одно целое! Нам нужен МИНИМУМ потерь от сопротивлений и МИНИМУМ расхода топлива. Оба параметра зависят только от времени. Значит, просто возьмем и скажем: ракета должна выполнить свою задачу как можно быстрее. Это и будет базовый критерий качества для нас. Но, конечно, совершенно не единственный, ибо в одиночку он дает нам ровно 0 полезности. Однако, прежде чем мы добавим эти критерии, нужно выпить несколько стаканов теоретической механики и физики с целью составить математическую модель ракеты.
Для определения оптимальных траекторий обычно достаточно взглянуть только на уравнения движения центра масс, не обращая внимания на моменты - это относится больше к задаче стабилизации, до которой мы еще дойдем, где их и введем.
Математическая модель
Математическая модель центра масс ракеты, как и большинства динамических систем, базируется на известном еще со школы втором законе Ньютона - сила есть масса на ускорение. Умные дяди во всяких там университетах говорят иначе - вторая производная по времени закона движения есть сила делить на массу. Надеюсь, никого не испугаем фразой, что это получилось обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Однако, так уж сложилось, это «общее» движение проще рассмотреть, разделив его на три, т.е. спроецировать его на какие-то оси координат. Так будет легче и визуально, и математически. Что имеем? Систему из трех дифференциальных уравнений второго порядка. Все еще не очень вкусно, не так ли? Всякому математику известно, что самая вкусная система диффуров - это система первого порядка, ибо все основные хитрые и не очень методы базируются именно на них. Поэтому сделаем простую замену переменных - вторую производную закона движения заменим на первую производную закона скорости, а первую производную закона движения прировняем к просто закону скорости. Итого - уравнений аж 6, однако в самом прелестном виде. Чтобы все это дело превратилось именно в модель ракеты, надо ответить: что за силы-то действуют? Пока не скажу, сначала требуется глянуть еще на несколько систем координат, где их и будем определять.
А вот теперь уже можно взглянуть и на силы!
1) Тяга двигателя
Одна из немногих добрых сил, толкающих нашу ракету к победе. Номинально она направлена по продольной оси ракеты, однако, в процессе полета отклоняется от нее с целью создать усилие в ту или иную сторону с целью поворота.
Математически, в простейшем случае задается как произведение секундного расхода топлива на скорость истечения продуктов горения. Однако, это верно только если мы рассматриваем движение в безвоздушном пространстве, при наличии атмосферы тяга уже есть функция плотности воздуха, и определяется незамысловатым образом: чем ниже плотность, тем выше тяга, но, разумеется, изменение происходит в пределах от минимально возможной до максимальной. Эти минимаксы называются тягой у поверхности и тягой в вакууме, этих двух цифр нам, в принципе, достаточно.
2) Аэродинамические силы
Чтобы рассмотреть их, введем несколько умных слов:
Пространственный угол атаки - это угол между продольной осью ракеты и вектором скорости. Этот угол можно разложить на две составляющие:
Угол атаки - угол между продольной осью и вектором горизонтальной скорости
Угол скольжения - угол между продольной осью и вектором боковой скорости
Видно, что это углы между осями поточной и связанной системами координат.
Получается, что при наличии (при их ненулевых значениях) этих углов ракета как бы «долбится» о воздух, а не «пронзает» его.
Основной закон аэродинамического сопротивления, используемый для описания движения ракет, звучит так: аэродинамическое сопротивление есть половина текущей плотности воздуха на квадрат скорости на характерную площадь на аэродинамический коэффициент. Ее тоже раскладывают: лобовое сопротивление, боковая сила, подъемная сила. Соответственно, для каждой из них определяется своя характерная площадь (площадь миделя, площадь подъемной силы) и аэродинамический коэффициент. В нем-то и состоит все мучение аэродинамиков, причем коэффициентов много больше трех.
В зависимости от необходимой точности проведения расчетов, его можно задавать константой, вычислять по специальным типовым таблицам, разбив корпус ракеты на примитивы, либо, что самое годное и правильное, экспериментальной продувкой в аэродинамических трубах (причем как дозвуковых, так и сверхзвуковых). Такая продувка является довольно сложной операцией, требующей обработки большого количества данных, а все коэффициенты уже превращаются в функции от, по крайней мере, числа Маха. Также нельзя не учитывать продолжительные очереди на данные работы.
3) Сила тяжести
Представление силы тяжести в математической модели также варьируется от необходимой точности расчетных работ. Самый простой случай - плоскопараллельное гравитационное поле, где ускорение свободного падения постоянно на одной высоте и линейно с ней убывает. Небольшим усложнением является рассмотрение центрального гравитационного поля. Для повышенной точности используются представления Земли как эллипсоида. Еще одним шагом к уточнению модели будет учет наиболее характерных изменений толщины коры на участке, где проходит выведение ракеты. Однако, подобные представления слабо применимы для решения нашей задачи, т.к. сильно усложняют систему дифференциальных уравнений и делают вывод аналитических зависимостей почти невозможным. Уточненные модели применяются в основном для задач баллистического моделирования, где управление детерминировано и есть возможность численно решить СОДУ.
Все силы обычно приводятся с помощью матриц перехода между системами координат к одной единой - например, стартовой, на базе которой и происходит интегрирование и получение результата.
Уточнение задачи и основной принцип построение оптимальных траекторий.
Сейчас взглянем на те дополнительны критерии качества, без которых задача не имеет практического смысла.
Чтобы полезная нагрузка осталась на стабильной орбите, нам, очевидно, требуется сообщить ей горизонтальную скорость не меньше первой космической, а вертикальную и боковую - погасить. Итого получим второй критерий качества - максимум горизонтальной скорости при минимуме вертикальной и боковой. В целом, достаточно, чтобы решать задачу.
Здесь нам требуется окунуться в дисциплину с говорящим названием - теория оптимального управления. Основным результатом, на базе которого строятся траектории ракет-носителей, является полученный в 1958 году принцип максимума Понтрягина. Алгоритм в общем виде выглядит примерно следующим образом:
Например, достаточно несложно получить базовую структуру для оптимального управления: до определенного момента мы делаем разворот с максимально допустимой угловой скоростью, а следом наш угол тангажа будет выражаться как арктангенс от линейной функции времени вида At + B, где A и B - некоторые константы, определяющиеся уже на основе конкретной постановки задачи - какую скорость и какую высоту требуется взять.
Почти замечательно. Но все меняется и становится куда более невкусным, когда к этому делу добавляются различные ограничения:
Эти ограничения я бы назвал базовыми и, в целом, их можно учесть при помощи описанного выше алгоритма, хотя это и будет много сложнее, вплоть до той степени, когда аналитические методы станут бесполезны. В таком случае эту жирную плотную постановку задачи все таки стараются разбить на несколько, оставив в каждой из подзадач некоторое связующее звено, что не позволит потерять связь между ответами. Однако полученная траектория все еще будет математически оптимальной, суть наилучшей из возможных.
Но кроме таких ограничений, следует учесть еще одну группу, которая как раз и вызывает отклонение реальных программ управления ракетой от самых годных. Допустим, дядя Вася не будет рад, если ему на баню прилетит отработанная первая ступень. А ребята с космодрома хотят быть уверенными, что в случае нештатной ситуации гептиловая ракета не навернется на ближайший бункер, с каким бы азимутом ее не запускали.
По этим и другим причинам в программу управления вносятся дополнительные коррективы, которые уже не учесть в этом базовом алгоритме.
Наилучшее «маневрирование» в поле, полоном ям-ограничений и множественными хочу_побольше_хочу_подешевле - и есть основная задача специалистов, задающих полетное задание ракете. Частично она является и творческой - ибо большая часть операций не допускает прямолинейных решений-рассуждений.
Это первая часть. Вторая будет посвящена автомату стабилизации - той совокупности математических законов управления и технических устройств, которые позволяют вести ракету именно так, как почти-оптимально предложили дяди, создающие полетную программу.
Введение и приблизительная постановка вопроса
Мы знаем, что ракеты подвержены коварству уравнения Циолковского, суть которого можно передать довольно банально: чем больше полезного груза тебе нужно закинуть на орбиту, тем больше тебе нужно везти с собой топлива, т.е. массы. Ракета-носитель, в силу высокой технологичности, малой серийности производства, необходимости большой команды обслуживания и прочих экономических причин, представляет собой крайне дорогое удовольствие - всего 1 кг полезности на орбите стоит от 2000$, и это довольно грубый расчет с сильным округлением в малую сторону.
Совершенно закономерным желанием космической отрасли является снижение этой самой стоимости. Здесь я не буду рассматривать инженерно-технические методы, вы их и так примерно помните, а приму за начальные условия такую мысль: ракета уже готова, мы знаем все ее характеристики и способности, и никоим образом не можем повлиять на железо, за исключением добавления полезной нагрузки в ущерб загруженного топлива.
Ясно, что ракетой можно «распорядиться» совершенно различным образом. Наглядно это «распоряжение» представляется в виде двух основных задач: задача определения оптимальной траектории выведения и получение управляющих законов, позволяющий эту траекторию обеспечить и поддерживать, если возникнут какие-либо возмущения. А они, конечно, возникнут. Исходя из этого, поставим логичные вопросы: каким образом добиться оптимальности траектории и ее соблюдения?
За ответом на первый вопрос нам следует последовательно обратиться к нескольким основным математическим дисциплинам. (это, кстати, даже радует - понимать, где и как каждая из изученных лекций тебе пригодилась). Начать следует с вариационного исчисления - раздел, изучающий вариации функционалов и экстремальные задачи, с ними связанные. Словами попроще - помогает составить такое математическое выражение (траекторию, уравнение движения, иной процесс), которое наилучшим (оптимальным) образом будет удовлетворять какому-то (не обязательно одному) критерию качества. Такой критерий выбирается на основе физической сути задачи. Давайте прикинем, каким он будет для задачи выведения на орбиту?
Полет ракеты, конечно, не проходит беспрепятственно, а на нее постоянно действуют силы различной природы - сила гравитации, аэродинамическое сопротивление, дополнительные возмущения и т.д. Подробнее об этом я скажу чуть позже, однако сейчас важна обобщенная суть. Очевидно, что чем дольше ракета летит, тем продолжительнее действие всех этих сопротивлений, т.е. имеем зависимость от времени. Взглянем теперь на одну из немногих полезных добрых сил - тягу. Упрощенно она зависит от расхода топлива, и в модельных задачах он также постоянно зависит от времени. Вспоминаем, чего хотели изначально - побольше массы в конечной точке. Значит, хотим, чтобы двигатель израсходовал как можно меньше топлива для выполнения своей задачи, ибо те остатки топлива можно заменить на вкусности для космонавтов и прочее полезное барахло.
А теперь настало время просуммировать наши размышления в одно целое! Нам нужен МИНИМУМ потерь от сопротивлений и МИНИМУМ расхода топлива. Оба параметра зависят только от времени. Значит, просто возьмем и скажем: ракета должна выполнить свою задачу как можно быстрее. Это и будет базовый критерий качества для нас. Но, конечно, совершенно не единственный, ибо в одиночку он дает нам ровно 0 полезности. Однако, прежде чем мы добавим эти критерии, нужно выпить несколько стаканов теоретической механики и физики с целью составить математическую модель ракеты.
Для определения оптимальных траекторий обычно достаточно взглянуть только на уравнения движения центра масс, не обращая внимания на моменты - это относится больше к задаче стабилизации, до которой мы еще дойдем, где их и введем.
Математическая модель
Математическая модель центра масс ракеты, как и большинства динамических систем, базируется на известном еще со школы втором законе Ньютона - сила есть масса на ускорение. Умные дяди во всяких там университетах говорят иначе - вторая производная по времени закона движения есть сила делить на массу. Надеюсь, никого не испугаем фразой, что это получилось обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Однако, так уж сложилось, это «общее» движение проще рассмотреть, разделив его на три, т.е. спроецировать его на какие-то оси координат. Так будет легче и визуально, и математически. Что имеем? Систему из трех дифференциальных уравнений второго порядка. Все еще не очень вкусно, не так ли? Всякому математику известно, что самая вкусная система диффуров - это система первого порядка, ибо все основные хитрые и не очень методы базируются именно на них. Поэтому сделаем простую замену переменных - вторую производную закона движения заменим на первую производную закона скорости, а первую производную закона движения прировняем к просто закону скорости. Итого - уравнений аж 6, однако в самом прелестном виде. Чтобы все это дело превратилось именно в модель ракеты, надо ответить: что за силы-то действуют? Пока не скажу, сначала требуется глянуть еще на несколько систем координат, где их и будем определять.
- Делай раз. Связанная с ракетой система координат. Ось Х - по продольной оси ракеты, оси Y и Z допиливают это дело до правой ортогональной системы координат.
- Делай два. Поточная система координат. Ось Х - по вектору скорости ракеты, оси Y и Z вновь собирают нам полноценную систему.
- Делай три. Стартовая система координат. Ось Х направлена по направлению стрельбы, ось У соответствует направлению продольной оси в момент, когда ракета стоит перпендикулярно Земле, а Z дополняет систему.
А вот теперь уже можно взглянуть и на силы!
1) Тяга двигателя
Одна из немногих добрых сил, толкающих нашу ракету к победе. Номинально она направлена по продольной оси ракеты, однако, в процессе полета отклоняется от нее с целью создать усилие в ту или иную сторону с целью поворота.
Математически, в простейшем случае задается как произведение секундного расхода топлива на скорость истечения продуктов горения. Однако, это верно только если мы рассматриваем движение в безвоздушном пространстве, при наличии атмосферы тяга уже есть функция плотности воздуха, и определяется незамысловатым образом: чем ниже плотность, тем выше тяга, но, разумеется, изменение происходит в пределах от минимально возможной до максимальной. Эти минимаксы называются тягой у поверхности и тягой в вакууме, этих двух цифр нам, в принципе, достаточно.
2) Аэродинамические силы
Чтобы рассмотреть их, введем несколько умных слов:
Пространственный угол атаки - это угол между продольной осью ракеты и вектором скорости. Этот угол можно разложить на две составляющие:
Угол атаки - угол между продольной осью и вектором горизонтальной скорости
Угол скольжения - угол между продольной осью и вектором боковой скорости
Видно, что это углы между осями поточной и связанной системами координат.
Получается, что при наличии (при их ненулевых значениях) этих углов ракета как бы «долбится» о воздух, а не «пронзает» его.
Основной закон аэродинамического сопротивления, используемый для описания движения ракет, звучит так: аэродинамическое сопротивление есть половина текущей плотности воздуха на квадрат скорости на характерную площадь на аэродинамический коэффициент. Ее тоже раскладывают: лобовое сопротивление, боковая сила, подъемная сила. Соответственно, для каждой из них определяется своя характерная площадь (площадь миделя, площадь подъемной силы) и аэродинамический коэффициент. В нем-то и состоит все мучение аэродинамиков, причем коэффициентов много больше трех.
В зависимости от необходимой точности проведения расчетов, его можно задавать константой, вычислять по специальным типовым таблицам, разбив корпус ракеты на примитивы, либо, что самое годное и правильное, экспериментальной продувкой в аэродинамических трубах (причем как дозвуковых, так и сверхзвуковых). Такая продувка является довольно сложной операцией, требующей обработки большого количества данных, а все коэффициенты уже превращаются в функции от, по крайней мере, числа Маха. Также нельзя не учитывать продолжительные очереди на данные работы.
3) Сила тяжести
Представление силы тяжести в математической модели также варьируется от необходимой точности расчетных работ. Самый простой случай - плоскопараллельное гравитационное поле, где ускорение свободного падения постоянно на одной высоте и линейно с ней убывает. Небольшим усложнением является рассмотрение центрального гравитационного поля. Для повышенной точности используются представления Земли как эллипсоида. Еще одним шагом к уточнению модели будет учет наиболее характерных изменений толщины коры на участке, где проходит выведение ракеты. Однако, подобные представления слабо применимы для решения нашей задачи, т.к. сильно усложняют систему дифференциальных уравнений и делают вывод аналитических зависимостей почти невозможным. Уточненные модели применяются в основном для задач баллистического моделирования, где управление детерминировано и есть возможность численно решить СОДУ.
Все силы обычно приводятся с помощью матриц перехода между системами координат к одной единой - например, стартовой, на базе которой и происходит интегрирование и получение результата.
Уточнение задачи и основной принцип построение оптимальных траекторий.
Сейчас взглянем на те дополнительны критерии качества, без которых задача не имеет практического смысла.
Чтобы полезная нагрузка осталась на стабильной орбите, нам, очевидно, требуется сообщить ей горизонтальную скорость не меньше первой космической, а вертикальную и боковую - погасить. Итого получим второй критерий качества - максимум горизонтальной скорости при минимуме вертикальной и боковой. В целом, достаточно, чтобы решать задачу.
Здесь нам требуется окунуться в дисциплину с говорящим названием - теория оптимального управления. Основным результатом, на базе которого строятся траектории ракет-носителей, является полученный в 1958 году принцип максимума Понтрягина. Алгоритм в общем виде выглядит примерно следующим образом:
- Для системы дифференциальных уравнений строится функция Гамильтона, которая есть комбинация выражений из правых частей уравнений и некоторых дополнительных функционалов (тех самых качественных характеристик, о которых мы упоминали в начале).
- Строится сопряженная система уравнений, находится ее решение (в идеале - в аналитическом виде)
- На базе полученного решения и критериев качества для функции Гамильтона находится максимум. Это и будет уравнение, описывающее математически наилучшую траекторию движения центра масс при заданных условиях.
Например, достаточно несложно получить базовую структуру для оптимального управления: до определенного момента мы делаем разворот с максимально допустимой угловой скоростью, а следом наш угол тангажа будет выражаться как арктангенс от линейной функции времени вида At + B, где A и B - некоторые константы, определяющиеся уже на основе конкретной постановки задачи - какую скорость и какую высоту требуется взять.
Почти замечательно. Но все меняется и становится куда более невкусным, когда к этому делу добавляются различные ограничения:
- Тяга двигателя не может быть выше максимально допустимой (совсем быстро не выйдет)
- Нагрузки на корпус не должны быть слишком большими (углы атаки и скольжения надо держать в рамках, а в период наибольшего значения аэродинамического давления - нулевыми)
- Скорость поворота вектора тяги невысока (дико резко сменить направление не удастся)
- При разделении ступеней нужно выдерживать определенные перегрузки
- Убивать космонавтов чрезмерным ускорением тоже не стоит
Эти ограничения я бы назвал базовыми и, в целом, их можно учесть при помощи описанного выше алгоритма, хотя это и будет много сложнее, вплоть до той степени, когда аналитические методы станут бесполезны. В таком случае эту жирную плотную постановку задачи все таки стараются разбить на несколько, оставив в каждой из подзадач некоторое связующее звено, что не позволит потерять связь между ответами. Однако полученная траектория все еще будет математически оптимальной, суть наилучшей из возможных.
Но кроме таких ограничений, следует учесть еще одну группу, которая как раз и вызывает отклонение реальных программ управления ракетой от самых годных. Допустим, дядя Вася не будет рад, если ему на баню прилетит отработанная первая ступень. А ребята с космодрома хотят быть уверенными, что в случае нештатной ситуации гептиловая ракета не навернется на ближайший бункер, с каким бы азимутом ее не запускали.
По этим и другим причинам в программу управления вносятся дополнительные коррективы, которые уже не учесть в этом базовом алгоритме.
Наилучшее «маневрирование» в поле, полоном ям-ограничений и множественными хочу_побольше_хочу_подешевле - и есть основная задача специалистов, задающих полетное задание ракете. Частично она является и творческой - ибо большая часть операций не допускает прямолинейных решений-рассуждений.
Это первая часть. Вторая будет посвящена автомату стабилизации - той совокупности математических законов управления и технических устройств, которые позволяют вести ракету именно так, как почти-оптимально предложили дяди, создающие полетную программу.