Правда ли, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12?
Значение дзета-функции от s равно бесконечной сумме ∑n-s, где суммирование происходит по n от 1 до бесконечности
Если мы возьмем значение дзета-функции от -1, значение членов ряда станет равным натуральным числам: 1-1 = 1, (1/2)-1 = 2, (1/3)-1 = 3...
Дзета-функция от -1 в этом случае равна 1 + 2 +3..., то есть сумме всех натуральных чисел
График мнимой и вещественной части дзета-функции можно увидеть на рисунке
Используя соотношение между дзета-функцией Римана и эта-функцией Дирихле можно довольно легко вычислить значение первой
В результате получается, что дзета-функция Римана от -1 равна -1/12
Такое значение получается благодаря тому, что из плоскости вещественных чисел мы переходим в комплексную плоскость
Таким образом, вычислить сумму натуральных чисел при помощи такого метода оказывается довольно просто
Сумма этого ряда фигурирует в теории струн и даже помогает описать эффект Казимира
Oleg А Chagin