Задачка про долг: решение
Что-то я совсем забыл, что за мной должок. Не, то есть с банком худо-бедно разобрались (мой коллега перевёл туда денег, а я ему потом отдам при встрече). Но вот объяснить решение всё-таки надо, а то не все ж тут математики...
Напоминаю условия задачи. Есть банковская карточка, на ней много денег. Карточкой расплачиваются, не особо следя при этом за состоянием счёта. Если на счету еще есть деньги, то банк авторизует платёж, даже если пытаемся заплатить бóльшую сумму, чем есть на счету. Когда уходим в минус - карточка блокируется и больше платить нельзя.
Вопрос: сколько, в среднем, вы будете должны банку когда карточку заблокируют? Предположим, для простоты, что каждый платёж - случайная величина с равномерным распределением на отрезке от нуля до 300 евро (ну, грубо говоря, выбираем случайное число от 1 до 300, и его платим).
Самый частый (и неверный) ответ на такой вопрос - 75 евро. Ну действительно, средний платёж - 150 евро, а в момент когда деньги кончаются - ясно, что не хватит в среднем половины от суммы того платежа. Значит, делим 150 на 2, и получаем ответ - 75. Так?
Не так. Тут дело в том, что деньги скорее кончатся в момент, когда ты платишь 290 евро, чем когда ты платишь 3 евро с полтиной. Посему, чем больше сумма платежа, тем больше шансов, что денежки кончатся именно в этот момент. Погуглите, кстати, про "парадокс инспекции", это как раз оно.
Так сколько же, в среднем, мы будем должны банку? Чтоб не пугать людей интегралами, представьте, что мы тратим только круглые суммы: 10, 20, 30, ... , 290, 300 евро, равновероятно. Пусть у меня на счету, скажем, 46'500 евро. Принимая во внимание тот несомненный факт, что (10+20+30+...+290+300)*10 = 46'500, нетрудно поверить, что, потратив эту сумму, я совершу в среднем примерно 10 платежей по 10 евро, 10 платежей по 20 евро, и т.д., ..., 10 платежей по 300 евро. Представьте также, что на горизонтальной линии мы откладываем точки, соответствующие текущей потраченной сумме. Например, если первые три платежа были 30, 70, и 210 евро, то мы отложим точки 30, 100 (=30+70), и 310 (=30+70+210), и так далее.
А теперь следите за руками. На самом-то деле у меня ни в жисть столько евро на карточках не жило. Пусть то, что у меня там изначально было - это какая-то случайная точка на интервале [1, 46'500]. Какова вероятность, что эта точка попадёт на какой-нибудь интервал, соответствующий платежу в 50 евро? Ну, всего у нас примерно 10 таких интервалов, их совокупная длина есть 10*50=500, значит вероятность есть что-то вроде 500/46'500=50/4'650. Рассуждая аналогичным образом, вероятность того, что деньги кончатся когда платим Х евро есть Х/4'650. Т.е., имеем вполне конкретное распределение вероятностей на множестве {10, 20, 30, ... , 290, 300}.
Ну а посчитать его математическое ожидание - это уж дело техники. Как известно, надо сложить произведения значений случайной величины на соответствующие вероятности. В данном случае, получится (10²+20²+30²+...+290²+300²)/4'650 = 610/3, т.е., чуть более чем 200. Даю слово джентльмена, что если ничего не округлять и считать как положено, через интегралы, то получится ровно 200. Но это среднее значение последнего платежа; как ранее отмечалось, средний долг есть половина от этой суммы.
Т.е., правильный ответ: средний долг банку равен 100 евро.
Напоминаю условия задачи. Есть банковская карточка, на ней много денег. Карточкой расплачиваются, не особо следя при этом за состоянием счёта. Если на счету еще есть деньги, то банк авторизует платёж, даже если пытаемся заплатить бóльшую сумму, чем есть на счету. Когда уходим в минус - карточка блокируется и больше платить нельзя.
Вопрос: сколько, в среднем, вы будете должны банку когда карточку заблокируют? Предположим, для простоты, что каждый платёж - случайная величина с равномерным распределением на отрезке от нуля до 300 евро (ну, грубо говоря, выбираем случайное число от 1 до 300, и его платим).
Самый частый (и неверный) ответ на такой вопрос - 75 евро. Ну действительно, средний платёж - 150 евро, а в момент когда деньги кончаются - ясно, что не хватит в среднем половины от суммы того платежа. Значит, делим 150 на 2, и получаем ответ - 75. Так?
Не так. Тут дело в том, что деньги скорее кончатся в момент, когда ты платишь 290 евро, чем когда ты платишь 3 евро с полтиной. Посему, чем больше сумма платежа, тем больше шансов, что денежки кончатся именно в этот момент. Погуглите, кстати, про "парадокс инспекции", это как раз оно.
Так сколько же, в среднем, мы будем должны банку? Чтоб не пугать людей интегралами, представьте, что мы тратим только круглые суммы: 10, 20, 30, ... , 290, 300 евро, равновероятно. Пусть у меня на счету, скажем, 46'500 евро. Принимая во внимание тот несомненный факт, что (10+20+30+...+290+300)*10 = 46'500, нетрудно поверить, что, потратив эту сумму, я совершу в среднем примерно 10 платежей по 10 евро, 10 платежей по 20 евро, и т.д., ..., 10 платежей по 300 евро. Представьте также, что на горизонтальной линии мы откладываем точки, соответствующие текущей потраченной сумме. Например, если первые три платежа были 30, 70, и 210 евро, то мы отложим точки 30, 100 (=30+70), и 310 (=30+70+210), и так далее.
А теперь следите за руками. На самом-то деле у меня ни в жисть столько евро на карточках не жило. Пусть то, что у меня там изначально было - это какая-то случайная точка на интервале [1, 46'500]. Какова вероятность, что эта точка попадёт на какой-нибудь интервал, соответствующий платежу в 50 евро? Ну, всего у нас примерно 10 таких интервалов, их совокупная длина есть 10*50=500, значит вероятность есть что-то вроде 500/46'500=50/4'650. Рассуждая аналогичным образом, вероятность того, что деньги кончатся когда платим Х евро есть Х/4'650. Т.е., имеем вполне конкретное распределение вероятностей на множестве {10, 20, 30, ... , 290, 300}.
Ну а посчитать его математическое ожидание - это уж дело техники. Как известно, надо сложить произведения значений случайной величины на соответствующие вероятности. В данном случае, получится (10²+20²+30²+...+290²+300²)/4'650 = 610/3, т.е., чуть более чем 200. Даю слово джентльмена, что если ничего не округлять и считать как положено, через интегралы, то получится ровно 200. Но это среднее значение последнего платежа; как ранее отмечалось, средний долг есть половина от этой суммы.
Т.е., правильный ответ: средний долг банку равен 100 евро.