Две культуры в математике

[marina_p]

(The Two Cultures of Mathematics. W. T. Gowers)

Тут в разных местах идут (и шли) обсуждения этой темы. Мне однозначно близка первая культура и не близка вторая, но захотелось немного побыть адвокатом дьявола :-)

rus4 в процессе полемики со сторонниками этого деления сказал:
Тут более сложное разделение. Думаю, лакмусовой бумажкой служит способность

Comments

[sowa]

Мне кажется, что rus4 спорит отнюдь не со стронниками этого деления, а с теми же, с кем спорит сам Гоуэрс. Именно, с теми, кто, грубо говоря, считают, что теория Галуа принципиально глубже теории графов.

Чтобы не совращать малых сих, я несколько поменял позицию, и больше не признаю классификацию Гоуэрса: А теперь - дискотека!

По поводу рекурсии, там же:

"Вдруг появился неожиданный критерий - многократная индукция. На первый взгляд, это различие действительно есть. Но индукции место в матшколе или на первом курсе матмеха. Серьезный математик (первой культуры) умеет писать так, что индукция явно не упоминается. Тем самым и кратность индукции не видна."

С другой стороны, длинна транфинитной индукции - действительно странный критерий. В теории множеств на каждом шагу используется индукция по всем ординалам, и она только чуть-чуть сложнее обычной (есть два типа шагов, а не один - переход к следующему ординалу и переход к предельному). Одни из самых глубоких результатов теории множеств принадлежат Мартину: детерминированность аналитических игр, и детерминированность борелевских игр. Первый основан на индукции до первого измеримого кардинала (существование которого не зависит от обычных аксиом теории множеств). Второй результат основан на индукции до предела счетной итерации взятия множества-степени, начиная с омега (и проходит целиком в рамках ZFC). Второй результат заслуженно считается существенно более трудным и глубоким, хотя длинна индукции радикально короче. На самом деле Мартин сначала доказал свою теорему об аналитических играх, и только через несколько лет сумел разобраться с борелевскими (аналитические игры включают в себя борелевские, так что главное достижение в теореме о борелевских играх - именно сокращение длинны индукции с недоказуемой в ZFC до доказуемой).

[marina_p]

Ну просто мне показалось, что подход несколько несправедливый по отношению к "сторонникам теории графов" (я ещё вспомнила старый рассказ falcao о том, как он доказательство какой-то сложной теоремы из теории групп разбирал). Если брать крайности (понятно, что конкретный человек может уметь и то, и другое, только в разной степени), то у них есть одни скиллзы, а других нет, а у нас -- наоборот. Конечно, нам нравится "наша" математика, а "их" не очень нравится, но ведь это более-менее по определению. Теория Галуа принципиально глубже теории графов, но теория графов может быть в каком-то смысле "сложнее" теории Галуа. "Запад есть запад, восток есть восток..."

Не получается так, что ты вместе с водой выплёскиваешь и ребёнка?

Я ещё раз оговорюсь, что я не понимаю и не люблю эту "другую математику", но ведь, логически рассуждая, из этого не следует, что она плоха? А другие так же могут не любить и не понимать "мою" математику, но мне очень не понравится, если они на этом основании начнут её ругать :-) Как бы тут посмотреть на всё это "сверху"?

Под рекурсией я имела в виду не индукцию, а такие вещи, например, где надо держать в голове много разветвлённых вариантов. Типа шахмат (на том уровне, где идёт перебор вариантов, а не интуитивное оценивание позиции).

[sowa]

Ну, тогда про индукцию останется для rus4.

" Типа шахмат (на том уровне, где идёт перебор вариантов, а не интуитивное оценивание позиции)."

Как я понимаю, компьютеры сильны в переборе вариантов, а люди - в интуитивной оценке. Я люблю математику как человеческую деятельность, а Гоуэрс мечтает о временах, когда он будет почти целиком компьютерной. Он писал об этом, и его текущие проекты - попытки к этому приблизиться, как ни смешно, в блогосфере или вики. Может, такая область деятельности и появится, но это будет не математика.

Разницу, как он сам ее понимает, как-то объяснял rus4. Чтобы доказать неравенство, как он говорил, нужно долго комбинировать разные старые неравенства, пока не получится новая цепочка. А в "концептуальной" математике люди просто вдруг видят, что две непохожие друг на друга вещи на самом деле совпадают. Это я по памяти цитирую.

Я утверждаю, что в процессе работы в любом разделе математики бывает и то, и другое. И перебор вариантов, и озарения. Но перебор вариантов я ценю ниже. Бывает, перебор вариантов ведет к озарению. Как числовые примеры ведут к глубоким гипотезам теории чисел, и формулировка этих гипотез - озарение.

Я не выплескиваю ребенка. Математика всякая есть и интересна, и я не предлагаю запретить теорию графов. Но улучшение экспоненты на 0,002 в оценке меня не вдохновляет, сколько бы мне не твердили, что это было очень трудно сделать, и сколько миллионов неравенств для этого пришлось перебрать.

[marina_p]

Не только перебор вариантов. Какие-то сложные конструкции, которые надо держать в голове целиком и нельзя (или непонятно как) разобрать на кусочки, чтобы справиться с ними по отдельности. Это ведь не компьютерное? И в этом, насколько я понимаю, тоже есть озарения.

[sowa]

"акие-то сложные конструкции, которые надо держать в голове целиком и нельзя (или непонятно как) разобрать на кусочки, чтобы справиться с ними по отдельности."

Тогда это непонятно про что. Кольцо когомологий - уже весьма сложная конструкция, которую надо иметь в голове целиком каждый раз, когда видишь символ H*(X). Или кольцо аделей числового поля. И это далеко не самые сложные вещи.

[marina_p]

Эта конструкция уже усвоена и воспринимается целиком. Пока она не усвоена -- возникают те же трудности, но потом они исчезают. А я про те рассуждения, когда сложные конструкции появляются в процессе, и они каждый раз новые. То есть не получится один раз выучить и потом пользоваться уже как родным. Можно пытаться их свернуть в более простые, но ведь есть люди, которые и так понимают, у них таких проблем не возникает.

[sowa]

Все равно не понимаю. Допустим, кольцо когомологий я усвоил, но в следующей главе будут когомологические операции. Их надо усвоить. И так далее. В этом и состоит трудность и математики вообще, и "концептуальной" математики в особенности - каждый новый шаг опирается на полное усвоение всего предыдущего. Как однажды замечательно сказал Бегемот, новые понятия должны быть demoted (он не знал русского слова, и я не знаю) на базовый уровень, и только потом можно идти дальше.

В отличие от этого, деятельность, защитником которой выступает rus4 - горизонтальная. Сто раз примененное неравенство Гёльдера - это все равно одно и тоже неравенство Гёльдера. Держать в голове не обязательно, не шахматный турнир - можно пользоваться бумагой. Наблюдения показывают, что бумагой действительно пользуются. Тот же Гоуэрс пишет, что хорошо бы, чтобы вместо головы и бумаги был компьютер, и его можно было бы спрашивать - а есть неравенство, оценивающее сумму через произведение, например.

[rus4]

Сто раз примененное неравенство Гёльдера - это все равно одно и тоже неравенство Гёльдера.

Применяя не более ста раз неравенство "квадрат вещественного числа не меньше нуля" (а также стандартные операции с неравенствами, вроде умножения на неотрицательные числа, суммирования и интегрирования) можно доказать почти любое неравенство. Неравенство Брунна-Минковского заведомо можно, так что это то же самое "квадрат неотрицателен".

Например, для неравенства Коши-Буняковского достаточно одного раза: (f(x)*g(y)-f(y)*g(x))^2 не меньше нуля, интегрируем по квадрату пространства, на котором живут функции f,g и раскрываем скобки. Тут уж всякому видно, что ничего концептуально нового по сравнению с неотрицательностью квадрата не произошло.

[sowa]

Чем Ваш аргумент отличается от следующего хорошо известного?

"Все математические теоремы выводятся из небольшого числа аксиом (порядка дюжины) путем их последовательного применения, следовательно, в них нет ничего (если угодно, концептуально) нового по сравнению с аксиомами."

Должен сказать, что, несмотря на мою любовь к прозводным категориям, я знаком и с разными неравенствами, и с разными докательствами известых неравенств, таких как неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Большая их часть не укладывается в изложенную Вами примитивную схему. Совсем не укладывается. Первое, что приходит в голову - это ограниченность сингулярных интегральных операторов и неравенство Карлемана (это, конечно, несопоставимые вещи по важности).

[rus4]

Это разве мой аргумент? По-моему, наоборот, Ваш, я его лишь проиллюстрировал.

Неравенство Карлемана прекрасно укладывается в эту схему. Это просто сумма неравенств о средних.

[sowa]

Нет, не мой.

Ваш аргумент состоит в том, что мой формально аналогичен некоторому правдоподобному, но неверному рассуждению.

"Неравенство Карлемана прекрасно укладывается в эту схему. Это просто сумма неравенств о средних."

Все является следствием из аксиом.

Доказательство неравенстава Карлемана, которое я читал, не укладывается в эту схему, хотя я допускаю, что его можно так доказать. В конце концов всякое положительное число является суммой квадратов - и это иногда служит определением положительности! - так что для доказательства любого неравнества нужно доказать, что нечто является суммой квадратов. Автор той книги, в которой я читал доказательство неравенства Карлемана, ставил перед собой другие задачи, нежели иллюстрацию этой тривиальности, и его доказательства выглядит гораздо интереснее.

P.S. Мне кажется, что беседа с Вами превратилась уже даже и не в полемику, а в перепалку. Я уже полностью потерял представление о том, кого и в чем Вы хотите убедить. Возможно, следует начать от печки.

[rus4]

Я пытаюсь убедить людей, что многократное использование описанных тривиальных приемов нередко приводит к глубоким и содержательным результатам. Но где зарыта глубина, сразу не увидишь, поэтому велик соблазн сказать, что ее нет.

[sowa]

Мне казалось, что Вы со мной спорите. И при этом не игнорируете все, кроме последнего коммента.

Давайте немножко отмотаем обратно. К теореме Яу. Мое мнение об этой теореме, неоднократно высказанное, состоит в том, что: (а) это глубокая и содержательная теорема; (б) у нее нет хорошего доказательства - есть только одно доказательство, которое состоит из, грубо говоря, многократного применения неравенства Гёльдера и интегрирования по частям; (в) это - довольно плачевное обстоятельство, препятствующее прогрессу математики в связанных с этой теоремой задачах; (г) я надеюсь, что со временем будет найдено концептуальное доказательство этой теоремы.

[rus4]

Я о теореме Яу не имею мнения, потому что совершенно не знаю этой области математики. Совсем. И не изучал доказательства Яу. Что я знаю в математике, более-менее, кажется, понятно. Если есть сомнения, спросите. Это - то, что я могу обсуждать. Теорему Яу обсуждать лучше, наверно, с Тифаретом.

Единственное замечание общего характера, которое я могу сделать, что не понимаю, как наличие одного доказательства мешает искать другие и вообще - мешает прогрессу. В нелюбимой Вами деятельности вокруг теоремы Семереди не мешало. Людям хотелось понять ее с разных сторон, и они понимали. Напор с каждым новым доказательством не ослабевал.

[sowa]

До сих пор Вы могли обсуждать теорему Яу. Например:

http://nikaan.livejournal.com/116904.html?thread=994216#t994216.

Теперь, вместо того, чтобы ответить, Вы заявляете, что обсуждать ее не можете.

Это, знаете, называется на местном жаргоне "слив защитан".

Экспериментальный факт состоит в том, что решение знаменитой задачи обычно препятствует поиску новых подходов к ней.

[rus4]

Вы теперь задаете математические вопросы. Например, по пункту д, мне, видимо, предлагается сказать, разделяю ли я Ваш надежды. Я не могу ответить, не имею оснований ни разделять их, ни не разделять.

Там шла речь о том, к какой культуре относится работа Яу. Для суждений на эту тему (теперь признаваемую Вами бессмысленной, ибо культур нет) мне было достаточно информации о работе (полученной не самостоятельно, на что я указал).

Если цель была засчитать слив, то пожалуйста, мне не жалко.