Канторовские множества и нормальные числа
Слушал сегодня вчера доклад, почерпнул много интересного.
А именно, возьмем самое обычное (middle-thirds) канторовское множество К...
... и запилим на него самую что ни на есть естественную меру, а именно такую, которая равна 2-n для всех интервалов энного уровня (называется научно Cantor-Lebesgue measure).
Если кто не знает, число называется нормальным (по Борелю) в системе счисления по основанию d, если в его d-ичном любой блок длины n встречается с частотой d-n, т.е. с такой, грубо говоря, какую ты от него ожидаешь. Например, блок 01001 в двоичном разложении встречается с асимптотической частотой 1/32.
Борель аж в 1900 году доказал, что почти любое по Лебегу число из интервала [0, 1] нормально по любому основанию (а, значит, и по всем сразу). Сейчас это, конечно, общее место - следствие усиленного закона больших чисел, например, но он героически доказывал это вручную.
Ну так вот, в множестве К очевидным образом нет нормальных чисел по основанию 3, потому как цифра 1 там вообще не встречается. Однако по любому другому основанию почти всякое число из К нормально, если только это основание не есть степень тройки. Этот результат был получен независимо двумя выдающимися теоретико-числовиками Касселсом и Шмидтом в 1959-м 1960-м году соответственно, через преобразование Фурье.
В сегодняшнем докладе в качестве побочного продукта некоей глубокой теории анонсирован следующий замечательный результат: оказывается, для почти любого числа из множества К его квадрат нормален по основанию 3. И не только квадрат - любая достаточно гладкая функция, лишь бы она не была линейной. (Да и многие линейные тоже.) То есть это свойство канторовского множества крайне нестабильно и исчезает при применении произвольной разумной функции.
Мораль та, что в природе всё нормально почти везде, исключения реально встречаются только в очень искусственных моделях вроде множества К, да и то пока их слегка не встряхнут.
А именно, возьмем самое обычное (middle-thirds) канторовское множество К...
... и запилим на него самую что ни на есть естественную меру, а именно такую, которая равна 2-n для всех интервалов энного уровня (называется научно Cantor-Lebesgue measure).
Если кто не знает, число называется нормальным (по Борелю) в системе счисления по основанию d, если в его d-ичном любой блок длины n встречается с частотой d-n, т.е. с такой, грубо говоря, какую ты от него ожидаешь. Например, блок 01001 в двоичном разложении встречается с асимптотической частотой 1/32.
Борель аж в 1900 году доказал, что почти любое по Лебегу число из интервала [0, 1] нормально по любому основанию (а, значит, и по всем сразу). Сейчас это, конечно, общее место - следствие усиленного закона больших чисел, например, но он героически доказывал это вручную.
Ну так вот, в множестве К очевидным образом нет нормальных чисел по основанию 3, потому как цифра 1 там вообще не встречается. Однако по любому другому основанию почти всякое число из К нормально, если только это основание не есть степень тройки. Этот результат был получен независимо двумя выдающимися теоретико-числовиками Касселсом и Шмидтом в 1959-м 1960-м году соответственно, через преобразование Фурье.
В сегодняшнем докладе в качестве побочного продукта некоей глубокой теории анонсирован следующий замечательный результат: оказывается, для почти любого числа из множества К его квадрат нормален по основанию 3. И не только квадрат - любая достаточно гладкая функция, лишь бы она не была линейной. (Да и многие линейные тоже.) То есть это свойство канторовского множества крайне нестабильно и исчезает при применении произвольной разумной функции.
Мораль та, что в природе всё нормально почти везде, исключения реально встречаются только в очень искусственных моделях вроде множества К, да и то пока их слегка не встряхнут.