Теория множеств и незримые суслики
Под этим красивым названием, разумеется, скрывается следующий акт эпической битвы с буллшитом в математике. Прошлый акт был уже больше года назад, пора бы уже ещё накинуть.
В этот раз, следите за руками, выпиливание «диагонального аргумента» будет организовано при помощи положений самих же «канторовских» теорий множеств - то есть тех, в которых тоже есть актуальные бесконечности и предполагается, что функции, генерирующие что-то там на базе всех элементов бесконечного списка осмыслены и допустимы к рассмотрению.
Для начала вкратце напомню суть «диагонального аргумента».
Мы предполагаем, что возможно занумеровать все вещественные числа. После этого исключаем из вещественных чисел все, кроме находящихся в промежутке от нуля до одного и состоящих только из цифр «0» и «1».
Если можно занумеровать все вещественные числа, то и эти тоже можно, так ведь?
Мы предполагаем, что способ нумерации таких чисел есть, и мы им уже воспользовались, получив некий конкретный список занумерованных чисел.
Теперь мы строим ещё одно число: каждая его цифра в позиции n противоположна цифре в позиции n числа с порядковым номером n в списке, построенном по некому избранному нами способу нумерации.
Это число, как предполагается, - правда число (потому что гладиолус), его возможно построить, несмотря на бесконечность списка (потому что гладиолус), оно от нуля до одного, однако оно не может находиться ни в одной из строк этого списка, поскольку по построению отличается хотя бы одной цифрой от любого числа этого списка.
Таким образом, как бы мы ни занумеровали такие числа, всегда можно найти то, которое не имеет номера. Шах, типа, и мат: мощности множеств не равны.
Ну а поскольку всех вещественных чисел ещё больше, чем выбранных нами, - мощность их множества тоже больше, чем мощность множества натуральных чисел.
В прошлом акте было показано, что построенное «канторовское» число при способе нумерации чисел по произвольным текстовым определениям каждого из этих чисел в принципе не может иметь определения (какой бы смысл мы ни вложили в термин «определение числа», оно в любом случае будет неким текстом), что входит в противоречие с описанием способа его построения, который как раз и оказывается его определением.
Однако всегда можно зажмуриться и представить, что это, напротив, построение списка сопоставлений чисел с их определениями невозможно. Что означало бы, что не всегда возможно сопоставление числа с его определением, и, таким образом, невозможность построения математики в целом, которая, по сути, как раз такими сопоставлениями и занимается, но, видимо, «канторовские» теории множеств так важны, что кому какое дело до всего лишь невозможности построения математики.
Тем не менее, можно же углу́бить и усугу́бить: давайте сделаем так, чтобы и такая отмазка тоже не работала. Глядишь, после этого придётся вслед за математикой сделать невозможной к построению ещё и логику.
Опять напомню: абсолютно любой конечный текст, использующий конечный фиксированный алфавит является числом - в системе счисления, основание которой равно длине этого алфавита.
Таким образом, мощность множества небесконечных текстов равна мощности множества натуральных чисел. Назовём её PN, чтобы не заморачиваться с буквами из иврита.
Мощность множества вещественных чисел назовём PZ.
Теперь зададимся новым вопросом.
Вот мы как бы построили некое число, которого как бы нет в списке, что как бы доказывает невозможность нумерации всех вещественных чисел и, таким образом, неравенство мощностей PN и PZ. Предположим, что «как бы» тут неуместно, и всё непротиворечиво доказано.
Если убрать из множества рассматриваемых нами чисел построенное нами для некоторого конкретного нумерованного списка «канторовское» число, то можно ли будет занумеровать все оставшиеся числа? Мы ведь можем сохранить способ нумерации, а то, что исключённого числа в списке не окажется, теперь уже не будет нас беспокоить: мы и не настаивали на том, что оно там есть.
По любой «канторовской» теории множеств при исключении одного элемента из множества мощности PZ мощность полученного множества остаётся PZ. Но если после исключения одного элемента занумеровать все оставшиеся элементы станет возможно, то это ведь означает, что PZ = PN, хотя на предыдущем шаге вроде как получилось, что не равно.
Тут можно сказать, что алгоритм построения «канторовского» числа не единственный: можно, например, строить число, меняя на противоположную не цифру строго на диагонали - в позиции n, - а цифру в позиции 2*n. Или 3*n. Или 4*n. Или ещё как-то - главное, чтобы мы охватили все занумерованные числа и поменяли для каждого из них свою собственную уникальную цифру. Пропущенные позиции выстраиваемого числа опять же можно заполнять, как угодно.
В общем, алгоритмов точно больше одного.
Выберем какой-то из ещё не использованных алгоритмов, построим по нему число и это число снова исключим из множества всех рассматриваемых нами вещественных чисел. Мощность оставшихся чисел всё ещё будет PZ. Можно ли занумеровать эти числа?
В лучших традициях «канторовских» теорий рассмотрим всё множество подобных алгоритмов построения чисел.
Уже из того, что можно брать цифры в позициях 2*n, 3*n и т.д., следует, что этих алгоритмов бесконечно много. Однако каждый алгоритм описывается конечным текстом, а потому мощность их множества не может быть больше PN, поскольку множество конечных текстов имеет именно такую мощность.
Из «бесконечно много, но не больше, чем PN» следует, что мощность множества таких алгоритмов как раз PN и есть.
Исключим для некоторого способа нумерации все построенные по этим алгоритмам числа из множества рассматриваемых нами.
То есть, из множества с мощностью PZ мы исключим множество, мощность которого PN.
Про оставшиеся вещественные числа уже принципиально невозможно доказать то, что они ненумеруемы при помощи предъявления алгоритма построения числа, не вошедшего в список пронумерованных - мы ведь уже исключили из рассмотрения все числа, построенные по всем таким алгоритмам для данного способа нумерации.
Какова мощность этого множества оставшихся вещественных чисел?
По теории множеств она - PZ, но это следует из неравенства мощностей множеств, которое доказано этим поставленным под сомнение способом, поэтому на всякий случай рассмотрим все варианты.
Если полученное множество окажется пустым, то это означало бы, что, исключив из множества с мощностью PZ множество с мощностью PN, мы получили пустое множество, а раз так, то PZ = PN.
Если мощность оставшихся чисел равна PN или в нём конечное количество элементов, то это будет означать, что существуют два таких множества с мощностью не более PN, объединение которых даёт множество с мощностью PZ. Но поскольку объединение двух множеств с мощностью PN даёт множество с мощностью PN же, то, таким образом, опять же, PZ = PN.
Если же мощность множества оставшихся чисел равна PZ > PN, то мы только что получили множество с мощностью PZ, про которое уже принципиально невозможно доказать его ненумеруемость «канторовским» методом доказательства.
То есть «канторовское» доказательство через предъявление алгоритма работает только для частных случаев множеств с мощностью PZ, а не для всех вообще.
При этом тут уже невозможен тот манёвр, который был вполне обоснован ранее, когда из всех вещественных чисел часть исключалась: «если множество, из которого какие-то элементы исключены, мы не можем занумеровать, то уж точно не сможем и то, из которого они не исключены».
Поскольку тут прямо противоположное отношение: мы не можем пронумеровать множество с не исключёнными элементами, но вот про некоторое множество с исключёнными такое уже не доказано.
Ну там, например, во множестве всех натуральных чисел от 1 до 10 есть чётные числа, однако это не означает, что в любом множестве, в которое однократно входят некоторые числа от 1 до 10, тоже обязательно будут чётные числа.
Однако если оставшиеся после исключений числа можно занумеровать, то можно занумеровать и те, которые были до исключений, поскольку разность этих двух множеств имеет мощность не больше PN.
Таким образом, вывод становится очень скользким. Что-то типа «хотя мы и не можем это доказать, мы вынуждены считать, что множество оставшихся чисел занумеровать невозможно, поскольку иначе мы придём к противоречию: все рассматриваемые нами числа занумеровать одновременно и можно, и нельзя».
Причём, повторюсь, «хотя и не можем это доказать» в отношении множества чисел, оставшихся после исключений, тут столь сильно́, что мы находимся в ситуации, когда принципиально невозможно предъявить хотя бы в виде алгоритма построения хотя бы одно незанумерованное число.
Но мы как бы всё равно точно знаем, что такие числа есть - на том основании, что иначе в нравящихся нам выводах из нравящихся нам предположений концы с концами не сойдутся.
Если вам всё ещё кажется, будто «А чего такого? Чистая логика на базе предпосылок!», то я приведу вам аналогию не на полуабстрактных математических построениях, а на сусликах.
Представим себе, что мы нашли суслика и исключили его позицию на поверхности Земли из рассмотрения. Потом нашли второго и тоже исключили. И так сделали с абсолютно всеми сусликами, которых вообще можно найти.
Так вот, у нас есть какие-то соображения, из которых следует, что даже после исключения абсолютно всех мест, где был обнаружен суслик, на Земле всё ещё остались места, где есть суслики, хотя мы совершенно точно знаем, что ни одного из них мы в принципе никогда предъявить не сможем, и даже никаких его следов никогда не найдём.
Да-да, суслики совершенно точно есть в местах, где их в принципе невозможно обнаружить. Это мы логически вывели из того, что они есть в местах, где их обнаружить возможно - в ином случае из наших замечательных предпосылок следовали бы противоречия. А так-то, конечно, никаких противоречий - только-то и надо слегонца подправить формальную логику.
В общем, ты суслика не видишь и никогда не сможешь увидеть, но он всё равно есть.
Конечно, альтернатива необнаружимым сусликам вполне очевидна: в самом «канторовском» методе доказательства и/или в самой концепции «канторовских» теорий множеств есть минимум одно внутреннее противоречие. Что как раз и позволяет генерировать поводы для натягивания сов на глобусы в потенциально промышленных масштабах.
Но ведь, как говорил Гильберт: «Никто не изгонит нас из того рая, в котором точно есть необнаружимые суслики».
doc-файл
В этот раз, следите за руками, выпиливание «диагонального аргумента» будет организовано при помощи положений самих же «канторовских» теорий множеств - то есть тех, в которых тоже есть актуальные бесконечности и предполагается, что функции, генерирующие что-то там на базе всех элементов бесконечного списка осмыслены и допустимы к рассмотрению.
Для начала вкратце напомню суть «диагонального аргумента».
Мы предполагаем, что возможно занумеровать все вещественные числа. После этого исключаем из вещественных чисел все, кроме находящихся в промежутке от нуля до одного и состоящих только из цифр «0» и «1».
Если можно занумеровать все вещественные числа, то и эти тоже можно, так ведь?
Мы предполагаем, что способ нумерации таких чисел есть, и мы им уже воспользовались, получив некий конкретный список занумерованных чисел.
Теперь мы строим ещё одно число: каждая его цифра в позиции n противоположна цифре в позиции n числа с порядковым номером n в списке, построенном по некому избранному нами способу нумерации.
Это число, как предполагается, - правда число (потому что гладиолус), его возможно построить, несмотря на бесконечность списка (потому что гладиолус), оно от нуля до одного, однако оно не может находиться ни в одной из строк этого списка, поскольку по построению отличается хотя бы одной цифрой от любого числа этого списка.
Таким образом, как бы мы ни занумеровали такие числа, всегда можно найти то, которое не имеет номера. Шах, типа, и мат: мощности множеств не равны.
Ну а поскольку всех вещественных чисел ещё больше, чем выбранных нами, - мощность их множества тоже больше, чем мощность множества натуральных чисел.
В прошлом акте было показано, что построенное «канторовское» число при способе нумерации чисел по произвольным текстовым определениям каждого из этих чисел в принципе не может иметь определения (какой бы смысл мы ни вложили в термин «определение числа», оно в любом случае будет неким текстом), что входит в противоречие с описанием способа его построения, который как раз и оказывается его определением.
Однако всегда можно зажмуриться и представить, что это, напротив, построение списка сопоставлений чисел с их определениями невозможно. Что означало бы, что не всегда возможно сопоставление числа с его определением, и, таким образом, невозможность построения математики в целом, которая, по сути, как раз такими сопоставлениями и занимается, но, видимо, «канторовские» теории множеств так важны, что кому какое дело до всего лишь невозможности построения математики.
Тем не менее, можно же углу́бить и усугу́бить: давайте сделаем так, чтобы и такая отмазка тоже не работала. Глядишь, после этого придётся вслед за математикой сделать невозможной к построению ещё и логику.
Опять напомню: абсолютно любой конечный текст, использующий конечный фиксированный алфавит является числом - в системе счисления, основание которой равно длине этого алфавита.
Таким образом, мощность множества небесконечных текстов равна мощности множества натуральных чисел. Назовём её PN, чтобы не заморачиваться с буквами из иврита.
Мощность множества вещественных чисел назовём PZ.
Теперь зададимся новым вопросом.
Вот мы как бы построили некое число, которого как бы нет в списке, что как бы доказывает невозможность нумерации всех вещественных чисел и, таким образом, неравенство мощностей PN и PZ. Предположим, что «как бы» тут неуместно, и всё непротиворечиво доказано.
Если убрать из множества рассматриваемых нами чисел построенное нами для некоторого конкретного нумерованного списка «канторовское» число, то можно ли будет занумеровать все оставшиеся числа? Мы ведь можем сохранить способ нумерации, а то, что исключённого числа в списке не окажется, теперь уже не будет нас беспокоить: мы и не настаивали на том, что оно там есть.
По любой «канторовской» теории множеств при исключении одного элемента из множества мощности PZ мощность полученного множества остаётся PZ. Но если после исключения одного элемента занумеровать все оставшиеся элементы станет возможно, то это ведь означает, что PZ = PN, хотя на предыдущем шаге вроде как получилось, что не равно.
Тут можно сказать, что алгоритм построения «канторовского» числа не единственный: можно, например, строить число, меняя на противоположную не цифру строго на диагонали - в позиции n, - а цифру в позиции 2*n. Или 3*n. Или 4*n. Или ещё как-то - главное, чтобы мы охватили все занумерованные числа и поменяли для каждого из них свою собственную уникальную цифру. Пропущенные позиции выстраиваемого числа опять же можно заполнять, как угодно.
В общем, алгоритмов точно больше одного.
Выберем какой-то из ещё не использованных алгоритмов, построим по нему число и это число снова исключим из множества всех рассматриваемых нами вещественных чисел. Мощность оставшихся чисел всё ещё будет PZ. Можно ли занумеровать эти числа?
В лучших традициях «канторовских» теорий рассмотрим всё множество подобных алгоритмов построения чисел.
Уже из того, что можно брать цифры в позициях 2*n, 3*n и т.д., следует, что этих алгоритмов бесконечно много. Однако каждый алгоритм описывается конечным текстом, а потому мощность их множества не может быть больше PN, поскольку множество конечных текстов имеет именно такую мощность.
Из «бесконечно много, но не больше, чем PN» следует, что мощность множества таких алгоритмов как раз PN и есть.
Исключим для некоторого способа нумерации все построенные по этим алгоритмам числа из множества рассматриваемых нами.
То есть, из множества с мощностью PZ мы исключим множество, мощность которого PN.
Про оставшиеся вещественные числа уже принципиально невозможно доказать то, что они ненумеруемы при помощи предъявления алгоритма построения числа, не вошедшего в список пронумерованных - мы ведь уже исключили из рассмотрения все числа, построенные по всем таким алгоритмам для данного способа нумерации.
Какова мощность этого множества оставшихся вещественных чисел?
По теории множеств она - PZ, но это следует из неравенства мощностей множеств, которое доказано этим поставленным под сомнение способом, поэтому на всякий случай рассмотрим все варианты.
Если полученное множество окажется пустым, то это означало бы, что, исключив из множества с мощностью PZ множество с мощностью PN, мы получили пустое множество, а раз так, то PZ = PN.
Если мощность оставшихся чисел равна PN или в нём конечное количество элементов, то это будет означать, что существуют два таких множества с мощностью не более PN, объединение которых даёт множество с мощностью PZ. Но поскольку объединение двух множеств с мощностью PN даёт множество с мощностью PN же, то, таким образом, опять же, PZ = PN.
Если же мощность множества оставшихся чисел равна PZ > PN, то мы только что получили множество с мощностью PZ, про которое уже принципиально невозможно доказать его ненумеруемость «канторовским» методом доказательства.
То есть «канторовское» доказательство через предъявление алгоритма работает только для частных случаев множеств с мощностью PZ, а не для всех вообще.
При этом тут уже невозможен тот манёвр, который был вполне обоснован ранее, когда из всех вещественных чисел часть исключалась: «если множество, из которого какие-то элементы исключены, мы не можем занумеровать, то уж точно не сможем и то, из которого они не исключены».
Поскольку тут прямо противоположное отношение: мы не можем пронумеровать множество с не исключёнными элементами, но вот про некоторое множество с исключёнными такое уже не доказано.
Ну там, например, во множестве всех натуральных чисел от 1 до 10 есть чётные числа, однако это не означает, что в любом множестве, в которое однократно входят некоторые числа от 1 до 10, тоже обязательно будут чётные числа.
Однако если оставшиеся после исключений числа можно занумеровать, то можно занумеровать и те, которые были до исключений, поскольку разность этих двух множеств имеет мощность не больше PN.
Таким образом, вывод становится очень скользким. Что-то типа «хотя мы и не можем это доказать, мы вынуждены считать, что множество оставшихся чисел занумеровать невозможно, поскольку иначе мы придём к противоречию: все рассматриваемые нами числа занумеровать одновременно и можно, и нельзя».
Причём, повторюсь, «хотя и не можем это доказать» в отношении множества чисел, оставшихся после исключений, тут столь сильно́, что мы находимся в ситуации, когда принципиально невозможно предъявить хотя бы в виде алгоритма построения хотя бы одно незанумерованное число.
Но мы как бы всё равно точно знаем, что такие числа есть - на том основании, что иначе в нравящихся нам выводах из нравящихся нам предположений концы с концами не сойдутся.
Если вам всё ещё кажется, будто «А чего такого? Чистая логика на базе предпосылок!», то я приведу вам аналогию не на полуабстрактных математических построениях, а на сусликах.
Представим себе, что мы нашли суслика и исключили его позицию на поверхности Земли из рассмотрения. Потом нашли второго и тоже исключили. И так сделали с абсолютно всеми сусликами, которых вообще можно найти.
Так вот, у нас есть какие-то соображения, из которых следует, что даже после исключения абсолютно всех мест, где был обнаружен суслик, на Земле всё ещё остались места, где есть суслики, хотя мы совершенно точно знаем, что ни одного из них мы в принципе никогда предъявить не сможем, и даже никаких его следов никогда не найдём.
Да-да, суслики совершенно точно есть в местах, где их в принципе невозможно обнаружить. Это мы логически вывели из того, что они есть в местах, где их обнаружить возможно - в ином случае из наших замечательных предпосылок следовали бы противоречия. А так-то, конечно, никаких противоречий - только-то и надо слегонца подправить формальную логику.
В общем, ты суслика не видишь и никогда не сможешь увидеть, но он всё равно есть.
Конечно, альтернатива необнаружимым сусликам вполне очевидна: в самом «канторовском» методе доказательства и/или в самой концепции «канторовских» теорий множеств есть минимум одно внутреннее противоречие. Что как раз и позволяет генерировать поводы для натягивания сов на глобусы в потенциально промышленных масштабах.
Но ведь, как говорил Гильберт: «Никто не изгонит нас из того рая, в котором точно есть необнаружимые суслики».
doc-файл