Парадокс неожиданной казни.
Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему: "Первое. Вас казнят на следующей неделе в полдень. Второе. День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём, только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру."
Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал.
Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: "В следующее воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в субботу вечером я буду знать об этом. А, по словам начальника тюрьмы, я не буду знать день своей казни. Следовательно, последний возможный день моей казни - суббота. Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать, что меня казнят в субботу, значит, и её можно исключить". Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник, преступник пришёл к выводу, что начальник тюрьмы не сможет его казнить, выполнив все свои обещания.
На следующей неделе палач постучал в его дверь в полдень в среду, и это стало для преступника полной неожиданностью. Всё, что начальник тюрьмы сказал, осуществилось. Где недостаток в рассуждении заключённого?
Логический парадокс, известный как "парадокс узника", впервые был опубликован в 1948 году Д.Дж.О'Коннором. В формулировке автора офицер объявлял своим подчиненным, что на следующей неделе в 18:00 состоится учебная тревога, которая будет неожиданной для подчиненных. Парадокс стал широко известен публике благодаря популяризатору науки М.Гарднеру. В задаче путем логических заключений делается неожиданный, противоречащий интуиции вывод о невозможности застать врасплох заключенного. Но парадоксом эти логические заключения делает их несоответствие практике - заключенный узнал про казнь, действительно, неожиданно для себя.
Чтобы исключить несущественные детали, приведем другую формулировку парадокса. На столе стоят две коробки с номерами 1 и 2. Ваш приятель, который всегда говорит правду, говорит Вам: "Я положил в одну из этих коробок яйцо. Ты должен открывать коробки последовательно: сначала коробку 1, а затем коробку 2. Я утверждаю, что ты не сможешь узнать, в какой коробке лежит яйцо, пока не откроешь эту коробку".
Вы рассуждаете так. Если я открою коробку с номером 1, и в ней не окажется яйца, то я буду точно знать, что приятель положил яйцо в коробку с номером 2. Следовательно, приятель не может спрятать яйцо в коробке 2. Тогда у него есть единственная возможность положить яйцо в коробку 1. Тогда я, не открывая коробки, могу утверждать, что яйцо лежит в коробке 1. И приятель ошибся, когда утверждал, что я не знаю, в какой коробке лежит яйцо, пока не открою эту коробку. В действительности, коробка 1 может быть пустой, а яйцо окажется в коробке 2. Это яйцо окажется сюрпризом для меня, и мои рассуждения не верны.
Гарднер пытался объяснить "парадокс узника" с помощью другого парадокса - "парадокса Журдена", который получается объединением противоречивых условий. Если в задаче с яйцом приятель оставляет на столе всего одну коробку и заявляет: "Я положил в одну из коробок яйцо. Но ты не будешь знать, в какую коробку я его положил, пока ее не откроешь", то вы, действительно, не можете определить, какое из двух противоречивых высказываний приятеля верное. Поэтому не можете быть уверены, что в коробке есть яйцо. Но Гарднер не объяснил связь своего примера с "парадоксом узника", ведь в "парадоксе узника" отсутствуют противоречивые условия, что подтверждает практика - угадывающий не знает в какой коробке яйцо и может только предполагать и угадывать.
В 1979 году я предложил такое объяснение этого парадокса - парадокс основан на неоднозначной семантике слова "знать".
Если слово "знать" определить как действие, которое заключенный может произвести лишь один раз за все время эксперимента, например, он должен один раз за эту неделю сказать утром начальнику тюрьмы: "Я знаю, что сегодня в полдень меня казнят", то рассуждения заключенного неверны.
Уже первый шаг его рассуждения должен звучать так: "Если меня не казнят до воскресения, и я не использую до этого дня свою возможность сделать заявление, то в воскресение меня казнить не смогут, так как в воскресение утром я сделаю заявление". В это рассуждение добавляется существенная часть - "если я не использую до воскресения свою возможность сделать заявление". В такой формулировке заключенный не может рекурсивно использовать такое рассуждение на предпоследнем шаге - если он использует свое право на заявление в субботу утром, какими бы причинами он не объяснял себе необходимость такого заявления, то его рассуждение относительно воскресения сразу потеряет смысл. Он не сможет сделать свое заявление в воскресение утром, поэтому его смогут казнить в воскресение в полдень в точности с утверждением начальника тюрьмы. В сущности, заключенному в этой версии слова "знать" предлагается угадать день казни и сделать заявление в этот день. Его шансы избежать казни равняются 1/7, как нам с самого начала подсказывала интуиция.
Если же слово "знать" понимать как "быть в чем-то уверенным", то прав заключенный. Он ежедневно, начиная с понедельника, "уверен" в том, что в текущий день его казнят, основываясь на своих рассуждениях. В воскресенье утром он уверен, что сегодня в полдень его казнят, раз до сих пор он жив. И с ним должен согласиться каждый. Эту уверенность он искренне переносит на субботу. Его уверенность в воскресенье утром в том, что его должны казнить в воскресенье, не противоречит тому, что он уже был уверен в субботу утром в том, что его казнят в субботу. В данной версии понятие "знать" не определяется математически точно, так как является чувством человека. И человек обладает возможностью "быть уверенным" многократно.
Проиллюстрируем эти рассуждения на еще одной формулировке этой проблемы. Полицейский гонится за преступником, который убегает от него на электричке. Полицейский садится в следующую электричку и пытается угадать, на какой станции преступник покинет электричку и постарается скрыться. Если преступник доедет до конечной станции, то полицейский сможет угадать его действия и продолжить преследование только в том случае, если полицейский не покинул электричку ранее, то есть не использовал свое право "угадать станцию" ранее.
Стопроцентная убежденность может быть только в случае, если станция у электрички всего одна. Рассуждение полицейского относительно второй станции зависит от предположения, что преступник выбрал определенную стратегию, как "мыслящее существо". Отрицание возможности "мыслящего существа" выбирать неожиданную стратегию является, на мой взгляд, не совсем искренним, но остается на совести игрока, если он руководствуется только чувствами. В любом случае этот эксперимент должен проводить психолог, а не математик.
Парадокс демонстрирует, что при логических рассуждениях необходимо математически точно определить все понятия, которые отсутствуют в аксиоматике. Даже такое привычное понятие, как слово "знать".