Кружок 8-9 класса: подвешивание дерева, числа Фибоначчи и метод построения трапеции

[klarissa45]

В четверг на кружке у нас был разнобой.
Решали такие задачи курсов Сириуса по комбинаторике 8 и 9 и геометрии 8.

1. Подвешивание дерева - это процедура, при которой множество вершин дерева разбивается на подмножества, уровни.

Сначала выбирается корень, т. е. вершина, за которую подвешивается дерево. Она помещается в нулевой уровень. В первый уровень помещаются вершины, смежные с корнем. Во второй уровень помещаются те вершины из ещё не распределённых, которые смежны с вершинами первого уровня, и т. д. Процедура продолжается, пока все вершины не окажутся распределены по уровням.

(Уровни обычно представляют нарисованными по порядку сверху вниз. Соответственно, иногда используются фразы в духе «нижний уровень» или «на уровень выше».)

Подвешивание дерева обладает следующими свойствами:

-рёбра могут соединять только вершины из соседних уровней, т. е. не может быть ребра внутри уровня или между несоседними уровнями;
-в каждую вершину, кроме корня, из предыдущего уровня ведёт ровно одно ребро; в частности, все вершины последнего уровня висячие;
-длина простого пути, соединяющего две данные вершины, не больше суммы номеров уровней этих вершин; -любой такой путь идёт сначала «вверх» несколько шагов (возможно, ноль), а потом несколько шагов «вниз».

Задача ( можно решить и без подвешивания)

У Ивана было 4 сына, а дочерей не было. Его потомки тоже не имели дочерей, среди них у 15 было по 3 сына, у 16 - по 4 сына, а остальные вообще не имели детей. Сколько потомков было у Ивана?

2. Утверждение
Для любого натурального 𝑛
остатки от деления чисел Фибоначчи на 𝑛 образуют периодическую последовательность без предпериода.

Удобно принять 𝐹0=𝐹2−𝐹1=0. Отсюда и из указанной периодичности следует, что среди чисел Фибоначчи найдутся кратные любому данному числу.
Задача.

Найдите длину периода последовательности остатков чисел Фибоначчи при делении на 5

3.Элементарные построения циркулем и линейкой:

построение отрезка через две заданные точки;
построение окружности с данным центром и данным радиусом.
Также элементарными считаются следующие построения:

-построение отрезка, равного заданному;
-построение угла, равного заданному;
-построение середины отрезка и серединного перпендикуляра к отрезку;
-построение биссектрисы угла;
-построение перпендикуляра через данную точку к данной прямой;
-построение прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку.
Кроме того, часто используются построения треугольников по основным элементам (по трём сторонам; двум сторонам и углу; двум углам и стороне). Их можно свести к последовательности элементарных построений.

Задача на построение считается решённой, если она сведена к последовательности элементарных и других уже полученных построений. Любая решённая задача при этом может быть добавлена к списку известных построений и использована при решении другой задачи. Это означает, что сводить очередную задачу непосредственно к элементарным построениям не требуется, достаточно свести её к уже решённым задачам.

Задачи при этом разумно решать «с конца», то есть рассматривать чертёж с требуемым объектом и искать на нём путь построения.

Метод вспомогательного треугольника.
Книжка Блинкова.

Многие задачи на построение можно решить, выделив на чертеже треугольник, который можно построить по основным элементам.

Задача. Объясните, как построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и проведённой к ней высоте.

Иногда, чтобы указать подходящий треугольник, нужно сначала сделать дополнительное построение.

Задача. Объясните, как построить треугольник по двум углам и периметру.

Задача. Объясните, как построить трапецию по основаниям и диагоналям.

Задача

Требуется построить равнобокую трапецию по острому углу, диагонали и средней линии.