Весенний Турнир Архимеда 9.04.23 для пятиклассников : задачи личного тура
Наши дети ездили.
Выложу задачи. Пока без решений.
Задача 1. (2+2 балла) Кошки-мышки. В клетки доски 5 × 5 требуется посадить ненулевое количество кошек и ненулевое количество мышек (в одной клетке - не более одного животного) так, чтобы ни одна мышка не была съедена. Кошка съедает мышку, если они оказываются в клетках одной строки или одного столбца. Выполните задание так, чтобы кошек и мышек было:
а) как можно больше (суммарно). В ответ запишите число и рисунок.
б) как можно больше (суммарно), при условии, что кошек и мышек - поровну. В ответ запишите число и рисунок.
Задача 2. (4 балла) Несколько (не менее двух) жителей Острова рыцарей и лжецов встретились за столом (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Каждый из них сказал: «Среди остальных не менее пяти лжецов». Сколько лжецов могло быть среди собравшихся? Найдите все варианты и докажите, что других нет.
Задача 3. (5 баллов) Гена и Чебурашка одновременно побежали от подъезда дома к киоску с мороженым. Гена добежал до киоска, развернулся и побежал обратно. Добежав до подъезда, Гена снова развернулся и побежал к киоску. По пути он снова встретил Чебурашку, который еще не успел вернуться домой. Известно, что скорость Чебурашки в два раза меньше скорости Гены, и Чебурашка пробежал всего 80 метров. Каково расстояние от подъезда до киоска?
Ответ: 60 метров.
Задача 4. (6 баллов) Петя использует навигатор, чтобы добраться до города N. Петя знает, что навигатор сломался и теперь указывает верные цифры, но, возможно, в неверном порядке. В какой-то момент пути навигатор показал, что Петя проехал 1416 км из 7413 км. Известно, что в реальности разница между длиной маршрута и тем, сколько он проехал, наименьшая из возможных при данном условии. Сколько всего километров должен был проехать Петя до города N?
Задача 5. (8 баллов) Начинающий маг Мусса пытается избавиться от беспорядка на кухне. Там находятся 23 грязные тарелки (ГТ), 25 коробок от пиццы (КП) и 18 пустых молочных бутылок (МБ). Мусса знает три заклинания:
1) Превращает 3 ГТ и 3 КП в 1 МБ.
2) Превращает 8 МБ в 2 ГТ.
3) Превращает 9 МБ в 1 ГТ и 1 КП.
С помощью этих заклинаний Мусса добился того, что на кухне остался всего один
предмет из перечисленных.
а) Какой предмет остался?
б) Приведите пример, как он мог этого добиться.