Теория вероятностей: задачи с улицы( дополнено 10 февраля 2023)
Если бы мне в институтские годы предсказали, что я буду в школе преподавать теорию вероятностей и статистику, то я бы упала со стула очень и очень удивилась.
Но так случилось.
Более того. Кроме ведения уроков приходится ещё проводить и проверять олимпиаду по теории вероятностей. Так называемый Пригласительный тур. В разные годы он проходил в нашей школе по-разному. Бывала толпа шестиклассников и полное отсутствие учеников 10-11 классов.
В этом году было всего 14 человек - 1 семиклассница, 7 восьмиклассников, 2 девятиклассника, 2 десятиклассника и 2 одиннадцатиклассника.
В основном мои кружковцы-геометры и бывшие и нынешние ученики.
Вчера я заметила, что после нескольких лет преподавания стала понимать, принимать и даже по-настоящему ценить эти задачи. Детям глубинный смысл пока не очень виден, особенно в 7-9 классах. У учеников 11 класса с этим получше.
Задачи можно посмотреть
1 вариант
2 вариант,
Ответы и решения
а размышления о детских решениях я опубликую позже.
В прошлом году мы даже отдельный урок провели по материалам олимпиады
https://klarissa45.livejournal.com/369311.html
Сейчас напишу про популяризацию статистики и теории вероятностей.
Я вчера обнаружила, что Пуассон открыл своё распределение, обработав юридические данные.
Даже книжка его в переводе нашлась, но юриспруденция так от меня далека, что смогу ли я эту скачанную книжку одолеть?
Как разобраться в трудных понятиях теории вероятности?
В журналах Квантик и Математика И.Р. Высоцкий публикует статьи о теории вероятностей.
https://raum.math.ru/node/179
В Квантике, задачи про Стаса, для учеников 5-8 классов.
https://klarissa45.livejournal.com/372787.html
https://vk.com/doc2818454_649307660
А в журнале Математика для учеников 9-11 классов, учителей и просто любителей математики.
Вышло три статьи из серии «Задачи с улицы». Я скачала их и загрузила на диск,
Задача о настольной игре
Задача о варенье
Задача о такси в Майкопе
А ниже напишу все названия вышедших и планирующихся статей одним блоком
1. Задача о настольной игре. Игры, где нужно бросать кубик и пере- двигать фишки по пронумерованным полям на раскрашенной картонке, известны всем с детства. На некоторых полях игроков ждут
приключения (пропусти ход, получи приз, откатись назад). На каких полях лучше устраивать такие засады, чтобы игра была поинтереснее? Другой важный для родителей вопрос - как долго продлится игра? Ведь детям скоро спать...
2. Задача о варенье. Мария Петровна варит вишневое варенье
в огромном эмалированном тазу и разливает его по литровым банкам. Остатки сливаются тоже в литровую банку. Сколько будет сва- рено тазов, прежде чем наполнится банка с остатками? Две банки с остатками? Ответ неожиданный. Обобщение задачи приводит к числам Эйлера первого рода, но это уже на любителя.
3. Задача о такси в Майкопе. Майкоп - небольшой компактный город, поэтому можно считать, что на протяжении двух-трех дней совокупность работающих Яндекс-такси остается практически неизменной и что в любой момент эти такси случайно перемешаны. Командировочный регулярно пользуется Яндекс-такси: гостиница - университет - центр - университет - гостиница. И вот машина повторилась. Это случилось на девятой поездке. Достаточно ли информации для того, чтобы оценить, сколько всего Яндекс-такси в городе? Мы сделаем несколько разных оценок. Попутно, просто к слову, немного расскажем о классических и важных методах теории вероятностей.
4. Задача коллекционера. Сколько нужно купить киндер-сюрпризов, чтобы собрать всю коллекцию из 10 бегемотов или 8 принцесс? Классическая задача (Муавр, 1712, Лаплас, 1812), но не закрытая: еще много нерешенных вопросов. Оценка затрат на коллекционирование приводит к рассказу о последовательности гармонических чисел и ее аппроксимации с помощью натурального логарифма. Какое отношение к этой задаче имеют солдатские котелки?
5. Задача Билли Бонса. Задача, обратная задаче коллекционера: какова вероятность того, что в купленных киндер-сюрпризах окажется ровно k различных принцесс? Более простая постановка задачи - какова вероятность того, что на пяти брошенных костях выпадет ровно три (например) различных числа? Поскольку такой вопрос наверняка приходил в голову пиратам, играющим в кости во время штиля, мы назвали задачу именем известного пирата.
6. Задача о совпадениях. В учительской рассыпались ключи, и завуч в спешке развесил их в произвольном порядке, чтоб не валялись на полу. Сколько ключей в среднем окажется на своих крючках? Верхняя оценка, нижняя? А какова вероятность того, что ровно k ключей окажутся на своем месте, и как все это связано с распределением Пуассона?
7. Задача об узком шоссе. По длинному и узкому шоссе движутся друг за другом много автомобилей. Поскольку обгонять нет возможности, автомобили «сбиваются» в группы. Сколько таких групп окажется?
8. Задача о театралах. В театре ряд кресел
упирается в стенку ложи, поэтому проход к креслам этого ряда только с одной стороны. Зрители
приходят в случайном порядке. Чтобы пропустить того, кому нужно дальше, тот, кто уже сидит ближе, должен встать и произнести: «Прошу Вас любезный »
При этом раздаётся громкий стук: подпружиненное сиденье с силой хлопает о спинку кресла. Сколько будет хлопков? Сколько окажется зрителей, которым ни разу не придется встать? Как эта задача связана с задачей об узком шоссе?
9. Задача стюардессы. Стюардесса предлагает пассажирам курицу с картошкой и рыбу с рисом. В какой-то момент одно из блюд заканчивается и начинаются недовольные пассажиры. Наиболее вероятное и среднее число недовольных? Какой нужен запас, чтобы недовольных не было с достаточно большой вероятностью?
10. Задача о саженцах и овербукинге. Сколько нужно купить саженцев, чтобы из них с достаточно большой вероятностью прижилось нужное число штук? Или сколько продать билетов в самолет, чтобы с большой вероятностью почти не было свободных мест и с большой вероятностью не пришлось отказывать пассажирам, поздно пришедшим на регистрацию? Как эти вероятности связаны между собой?
11. Задача о циклах. В задаче о совпадениях завуч развешивает перепутанные ключи по местам. Он берет какой-то ключ с крючка No 1, вешает его на соответствующий крючок, снимая ключ, который там висел, и перевешивая его куда надо, и так до тех пор, пока у него не окажется в руках ключ No 1, который он и повесит на пустующий крючок No 1. Круг (цикл) замкнулся. Сколько в среднем циклов в случайной перестановке? Какова вероятность того, что в ней нет длинных циклов (длиной более половины числа ключей)? Задача тоже приводит к гармоническим числам, и может быть, даже удастся связать число циклов с числом групп в задаче об узком шоссе или числом не встающих зрителей в задаче о театралах.
12. Задача о строгой учительнице. Учительница посетила открытый урок по теме «Геометрическое распределение». Он ей очень понравился, и она решила провести такой же в своем классе. Но не просто повторить, а улучшить с целью укрепления дисциплины и организации урока. Что из этого вышло? Рассказ по следам эссе Александры Нестеренко, которая на момент написания своего эссе училась в 8-м классе.
13. Задача о жребии «на туза». Четверо броса- ют жребий: один из них раздает карты из обыч- ной колоды себе и друзьям по кругу до тех пор, пока кому-то не достанется туз. Честный ли это жребий? Чьи шансы выше? Насколько они выше, чем шансы всех прочих?
14. Задача о чемоданах. Папа, мама и дочь прилетели на курорт и ждут три своих чемодана на ленте транспортера в аэропорту. Как распределены их чемоданы? Какова вероятность того что все три окажутся в первой сотне чемоданов? Сколько в среднем ждать первого? Задача имеет несколько решений, от полуинтуитивного до строгого и совершенного в своей элегантности. Очевидным образом задача связана с предыдущей задачей о жребии.
15. Задача о разборчивой невесте. Знаменитая задача секретаря (М. Гарднер, 1960) часто предлагается в сюжете про капризную невесту или вынужденного жениха. Чистая комбинаторика плюс степенной ряд логарифма. Задачу трудно считать очень жизненной, но нечто похожее возникает тогда, когда нужно принять оптимальное решение в условиях ограниченного времени и невозможности изменить выбор. Например, есть ли хорошая стратегия у «чемоданного вора» в аэропорту, который крадет один из 200 чемоданов с конвейера в зале выдачи багажа?
16. Задача о распродаже. Входя в магазин или в торговую точку на рынке, где стены завешаны и полки заставлены тем, что никто в здравом уме никогда не возьмет даже бесплатно, невольно задаешь себе вопрос: неужели это кто-то когда-то купит? Как это все можно продать? Несложная математическая модель показывает, что даже при непривлекательном товаре все равно почти все будет распродано в небольшой период времени, причем нераспроданный остаток... не зависит от начального количества товара.
17. Задача кассира. Чтобы быстрее выдавать сдачу, кассиры в метро заранее складывают столбики из монет. Например, 100 рублей пяти- или десятирублевыми монетами. У кассира на столе два таких одинаковых столбика. Какова вероятность того, что в обоих столбиках поровну монет окажутся орлом вверх? Задача приводит к красивой структуре, но сама по себе жизненной не очень является. В самом деле, кому какое дело, сколько там монет орлом вверх?
18. Задача экзаменатора. Это не задача в обычном смысле слова, а небольшая инструкция, как с помощью MS Excel устроить случайную пере становку натуральных чисел или чего-то еще. Например, как совершенно случайно раздать студентам на дистанционном зачете или экза- мене билеты без повторений. Среди предыду- щих много задач о вероятностных структурах в случайных перестановках. А эта задача о том, как самому устроить случайную перестановку со всеми этими структурами.