Геометрия социального дистанцирования
Недавно мне попалась такая статья на английском языке
Привожу ее краткий пересказ.
Давайте поговорим о геометрическом аспекте коронавирусной проблемы
То есть поговорим об упаковке кругов и упаковке сфер в связи с социальной дистанцией.
Этими задачами занимались великие математики прошлого.
И сегодня продолжаются исследования в этой области.
В конце 70-х годов прошлого века математики нашли оптимальные способы упаковки сфер в 8 и 24 мерных пространствах.
это позволило получить изображение Сатурна и его спутников в 1980 году с космической станции Вояджер на Землю с использованием двоичного 24-битного кода.
Если вам надо упаковать апельсины или рассадить студентов на безопасном расстоянии , то размеры коробки или аудитории являются определяющим фактором.
Давайте рассмотрим сначала двумерное пространство - плоскость
Такое размещение называется "квадратной упаковкой".
Центры кругов являются вершинами квадратов.
Давайте рассмотрим один из квадратов
И найдем соотношение пустого места и заполненного.
Каждый квадрат примерно на 78,54 покрыт кругом.
Это соотношение верно и для плоскости.
Попробуем оптимизировать упаковку кругов
Получим "гексогональную упаковку", теперь центры окружностей находятся в вершинах шестиугольников
Какая часть шестиугольника покрыта кругами?
Путем несложных вычисление получим 90,69%.
Труднее доказать, что это оптимальная упаковка.
Лагранж и Гаусс проблему полностью не решили.
Это удалось сделать только в 40 годах прошлого века.
В трехмерном пространстве для шаров задача усложняется.
Разместим первый слой
А теперь второй слой
Третий слой можно уложить двумя способами
Кладем шары в промежутки ( вид сбоку)
Наоборот оставляем промежутки открытыми (вид сверху)
Трехмерное пространство позволяет оптимизировать процесс упаковки.
Давайте сравним круг в квадрате и шар в кубе
Круг занимает 0,7854 площади квадрата, а шар занимает 0,5236 объема куба.
Закономерность сохраняется: n-мерные шары будут занимать все меньше и меньше места в n-мерных кубах при увеличении n.
Однако, если n=8 , начинают происходить удивительные вещи.
Это заметила в 2016 году украинский математик Марина Вязовская, работающий ныне в Швейцарии.
Ее решение было компактным и занимало всего 23 страницы, тогда как решение трехмерного случая занимало 300 страниц.
Работу для n=24 Марина написала уже в соавторстве.
Можете решить следующие задачи
1. Найдите координаты центра третьего круга
2. Простая кубическая упаковка шаров. Какова ее плотность?
3. Рассмотрим упаковку правильными восьмиугольниками. Какова ее плотность?
PS В 2022 году в числе лауреатов премии Фильдса Марина Вязовская, выпускница Киевского университета, работающая сейчас в Федеральной политехнической школе в Лозанне. Она стала второй в истории женщиной, получившей Филдсовскую премию, первой была Мариам Мирзахани из Ирана. Самые известные работы Вязовской связаны с решением задачи о плотнейшей упаковке шаров. В 2017 году Вязовской была присуждена премия Математического института Клэя.
Церемония объявления лауреатов состоялась в университете Аалто.
А должна была произойти в Петербурге на математическом форуме, который не состоялся по известной всем причине.
PPS читайте про стихийные тропы здесь