ЦТ-2016, В10
Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства
|20 - x - x2| + 2 < 2·|4 - x| + |x + 5| .
[Решение]Решение.
Полезно знать, что под модулем можно изменять знаки выражений на противоположные. Получим неравенство |x2 + х - 20| + 2 < 2·|x - 4| + |x + 5| . Квадратный трехчлен имеет корни 4 и -5, следовательно, |x2 + х - 20| = |x - 4|·|x + 5|. Это наводит на мысли о группировке в неравенстве |x - 4|·|x + 5| + 2 - 2·|x - 4| - |x + 5| < 0. А именно: (|x - 4|·|x + 5| - |x + 5|) - (2·|x - 4| - 2) < 0, (|x - 4| - 1)(|x + 5| - 2) < 0. Дальше удобно идти по методу интервалов.
Определяем нули подмодульных выражений: 3, 5, -3, -7. Вычисляем знаки левой части неравенства на интервалах.
Множество решений неравенства: (-7; -3) ∪ (3; 5). В ответ записываем -6 · 4 = -24.
|20 - x - x2| + 2 < 2·|4 - x| + |x + 5| .
[Решение]Решение.
Полезно знать, что под модулем можно изменять знаки выражений на противоположные. Получим неравенство |x2 + х - 20| + 2 < 2·|x - 4| + |x + 5| . Квадратный трехчлен имеет корни 4 и -5, следовательно, |x2 + х - 20| = |x - 4|·|x + 5|. Это наводит на мысли о группировке в неравенстве |x - 4|·|x + 5| + 2 - 2·|x - 4| - |x + 5| < 0. А именно: (|x - 4|·|x + 5| - |x + 5|) - (2·|x - 4| - 2) < 0, (|x - 4| - 1)(|x + 5| - 2) < 0. Дальше удобно идти по методу интервалов.
Определяем нули подмодульных выражений: 3, 5, -3, -7. Вычисляем знаки левой части неравенства на интервалах.
Множество решений неравенства: (-7; -3) ∪ (3; 5). В ответ записываем -6 · 4 = -24.