Проблемы тысячелетия понятным языком
«Кажется, что-то слышал об этом» - самый популярный ответ от собеседников на вопрос о задачах тысячелетия. Хотите немного разобраться в запутанной сети математических проблем, чтобы не сгорать от стыда в разговоре с преподавателями? Тогда смелее читайте дальше!
Первое, о чем стоит вам сообщить: список из 7 проблем был определен Математическим институтом Клэя в 2000 году, а за решение каждой из них американский институт готов выплатить 1 миллион долларов.
Свое историческое начало задачи берут еще 1900 году, когда в Париже на II Международном конгрессе математиков Давид Гильберт выступил с докладом, в котором сформулировал 23 проблемы, нуждающиеся, по его мнению, в разрешении. Именно они в дальнейшем и определили многие ключевые направления развития математики в XX веке. Случилось так, что к началу XXI века многие проблемы из списка были либо решены, либо вычернуты из-за нечёткой постановки задачи.
После Гильберта обновлением списка занялся математик Стивен Смейл. На тот момент он состоял из 18 нерешенных задач, однако более широкой огласке предалась его альтернативная версия, составленная институтом Клэя, о которой далее и пойдет речь.
Второе, о чем стоит знать, так это о том, что задач всего 7, одна из них уже считается решенной, а 6 остальных, соответственно, находятся в «подвешенном» состоянии. К примеру, гипотеза Римана перекочевала ещё из списка 1900 года, и с тех самых пор остается нерешенной.
Ну а теперь предлагаю начать знакомство с каждой из них!
Гипотеза Пуанкаре (1904 г.)
На сегодняшний день гипотеза Пуанкаре считается единственной решенной задачей тысячелетия из списка. Она была сформулирована еще в 1904 году математиком Анри Пуанкаре. Данная задача - одна из наиболее известных проблем топологии. Её суть состояла в том, что если каждая замкнутая петля стягивается в точку, то ваша поверхность представляет собой деформированную сферу. Возьмём тор (тот же бублик). Если мы начнем чуть-чуть мять и растягивать резиновую сферу, тор мы никак не получим.
Почему нет? Потому что с бубликами не всё так просто. Чтобы из сферы получить тор, её надо или порвать, или растянуть и склеить, а значит, тор - не деформированная сфера. По итогу имеем, что на поверхности сферы все петли стягиваются в точку, а на поверхности тора - нет.
После того, как в 2002-2003 годах задача была решена Григорием Перельманом, автором серии работ, подтверждающих справедливость данной гипотезы, проблема предалась широкой огласке. Многие СМИ объясняли суть задачи простыми словами: «резиновую ленту, натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик - нельзя». Однако, данная формулировка больше подходит для описания гипотезы Тёрстона - обобщения гипотезы Пуанкаре. Но это уже совсем другая история. :)
Если возвращаться к истории петербургского математика Григория Перельмана, то выясняется, что премия института Клэя за доказательство гипотезы Пуанкаре была присуждена ему только в 2010 году. Однако, после того, как у него попытались отобрать лавры первооткрывателя, Перельман отказался от получения денежного вознаграждения.
Григорий Перельман
Равенство классов P и NP (1971 г.)
В узких кругах эта задача известна как «Пробема Кука» и «Проблема перебора». Отношения между классами P и NP рассматриваются в разделе теории алгоритмов, и вот уже почти полвека как великие умы человечества не могут найти чёткого доказательства для этой проблемы. Может быть это получится у вас? :) А для того, чтобы разобраться в постановке задачи, вам нужно знать, что из себя представляют классы P и NP.
Итак, в теории алгоритмов класс P (polynomial) опеределяют как множество задач, имеющих быстрые алгоритмы решения, время работы которых напрямую зависит от размера входных данных. Главное, что осуществляется такой алгоритм за полиномиальное время. Примерами задач из класса P являются известные ещё со школьной скамьи такие простейшие арифметические операции, как сложение, умножение, деление, взятие остатка от деления (естественно, все операции целочисленные).
Класс NP (not-deterministic polinomial) в свою очередь включает в себя множество задач разрешимости, решение которых можно проверить на машине Тьюринга за время, не превосходящее значения некоторого многочлена, зависящего, опять же, от размера входных данных.
Подобных задач разрешимости очень много, но основной вопрос они поднимают, по большей части, один и тот же: «все ли задачи, которые можно быстро проверить, можно столь же быстро решить?» На данный момент, для некоторых задач не найдено не то что быстрого алгоритма решения, даже неизвестно существует ли такой алгоритм вообще!
Если данная проблема когда-нибудь обретёт аргументированное доказательство, то это здорово улучшит качество нашей жизни, ведь она имеет большое значение для самых различных областей знаний. Однако, на данный момент времени предполагается, что классы P и NP не равны, поскольку далеко не все задачи, решения которых легко проверяемы, могут быть легко решаемы.
P = NP?
Гипотеза Римана (1859 г.)
Эта задача из области теории чисел, уже третья из списка проблем тысячелетия, была сформулирована немецким математиком Бернхардом Риманом еще в XIX веке, но по сей день так и остается нерешенной.
Чтобы поближе познакомиться с сутью гипотезы, вам придется вновь обратиться к школьным знаниям. На этот раз придётся вспомнить, что такое простые числа. Итак, это те самые числа, которые делятся только на себя и на единицу (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...). Мощность множества простых чисел - алеф-ноль. Если, к примеру, нанести все простые числа на числовую ось, то сразу станет ясно, что распределены они на ней вовсе не равномерно, а значит, их поиск не подчиняется какой-либо закономерности. Где и когда обнаружится следующее простое число - загадка.
Однажды Риман предположил, что можно выявить и сформулировать свойства, на основании которых складывалась последовательность простых чисел. А после он показал, что распределение простых чисел похоже на точки, в которых дзета-функция - ς(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + … - обращается в ноль.
А нам известно, что нулевое значение она имеет, когда s - отрицательное четное число. В таких случаях мы получаем, так называемые, «тривиальные» нули дзета-функции. Кроме того, благодаря некоторым выкладкам Римана стало известно, что другие нули появляются, если s - комплексное число, действительная часть которого равна 1/2.
Что сейчас известно о ходе решения задачи: расчёты, проведённые с использованием суперкомпьютеров и для невероятно громадных простых чисел, подтверждают справедливость гипотезы Римана. Она доказана примерно для 10 трлн первых решений, но в общем виде пока нет. А поскольку простые числа играют немаловажную роль в работе криптографических алгоритмов, то после доказательства данной гипотезы нас ожидает значительный прогресс в сфере шифрования и безопасности интернета.
Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции
Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса (1822 г.)
Спешу познакомить вас с ещё одной проблемой тысячелетия, но на сей раз из области математической физики (гидродинамики). Эта задача известна миру на протяжении практически 200 лет, но до сих пор остается нерешенной. Суть загадки состоит в том, чтобы доказать, что решение данных уравнений существует и является гладкой функцией.
Задача, возникшая на стыке математики и классической физики, вырастает из научных трудов XIX в., в которых учёные стали формулировать строгие законы, описывающие движение жидкостей. Полученные уже тогда уравнения Навье - Стокса остаются одними из важнейших в гидродинамике и аэродинамике. С их помощью можно вычислить скорость потока с учётом вязкости, сжимаемости, плотности, давления, потому сами уравнения используются повсеместно.
На первый взгляд может показаться, будто всё уже на своих местах и доказывать нечего, однако решить уравнения Навье - Стокса в общем виде до сих пор никому не удалось, а все расчёты, которые ведутся на данный момент, рассматривают лишь отдельные, частные случаи.
Эта проблема особенно актуальна в наше время, ведь решение уравнений помогло бы раскрыть многие тайны о природе течения жидкостей, воздушных потоков и турбулентности. Современные технологии, от самолетов и подлодок до ветряных электростанций и автомобилей, повсеместно сталкиваются с последним явлением, и тот факт, что оно остается плохо изученным, делает турбулентость плохо просчитываемой и практически непредсказуемой.
Из последних новостей о проблеме тысячелетия известно, что в 2014 году к решению приблизился казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев, однако в его расчётах была найдена ошибка.
Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса
Гипотеза Ходжа (1941 г.)
Одна из самых важных задач алгебраической геометрии, сформулированная в 1941 году, заключается в том, что для проективных алгебраических многообразий (неприводимых замкнутых подмножеств многомерного проективного пространства над алгебраически замкнутым полем, ну это 1-й курс точно уже знает!) класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов. Все равно ничего не понятно...
Иными словами, в реальности существуют множество как простых, так и сложных геометрических объектов, и чем сложнее объект, тем более трудоёмким становится процесс его изучения. Но для простоты исследования свойств различных сложных геометрических объектов, ученые отдельно изучают свойства частички одного целого. Данный метод активно используется математиками ещё с XX века.
Гипотеза Ходжа непосредственно связана как со свойствами составных частей, так и со свойствами целых объектов. На сегодняшний день в алгебраической геометрии это является достаточно серьёзной проблемой. Ещё бы, отыскать точные методы для анализа сложных предметов и форм на основании анализа его простых частей, а после склеивания вместе таких частиц (по возрастающей размерности) составить некий «портрет» о свойствах самого объекта.
Метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов, встречающихся в математике. При этом геометрические обоснования метода оставались весьма смутными: в некоторых случаях возникала необходимость в прибавлении частей, не имеющих никакого геометрического истолкования.
Известно, что на данный момент времени удалось доказать гипотезу Ходжа удалось только для некоторых частных случаев. Более общее доказательство пока не найдено, впрочем, как и не найдено доказательство обратного - что гипотеза неверна.
Гипотеза Бёрча - Свиннертон-Дайера (1960 г.)
Список проблем тысячелетия продолжает ещё одна задача из области алгебраической геометрии, которая была выдвинута в начале 1960-х английскими учёными из Кембриджского университета. Её суть заключается в том, чтобы описать все возможные решения алгебраических уравнений с несколькими переменными, сложнее, чем уравнение школьной параболы.
Юрий Матиясевич
Кроме того, не стоит забывать о том, что переменные в них обязательно должны быть целочисленными, как и решения, а значит, сами уравнения могут считаться диофантовыми. Однако, ещё в 1970 году советский математик Юрий Матиясевич, будучи аспирантом, показал, что универсального решения диофантовых уравнений не существует, сделав финальный шаг в доказательстве неразрешимости задачи о существовании решений у произвольного диофантова уравнения, ответив тем самым на вопрос десятой проблемы Гильберта.
При рассмотрении частного случая, когда решения уравнений образуют абелево многообразие, Бёрч и Свиннертон-Дайер выдвинули предположение о том, что множество решений эллиптической кривой связано с поведением L-функции в окрестности единицы.
Что же такое L-функция? Это некоторая комплексная функция L(s), заданная при условии, что вещественная часть числа s > 1. Свойства данной функции на всей комплексной плоскости в основном определяются свойствами уже известной нам дзета-функции (см. «Гипотеза Римана»). То есть, в случае, если дзета-функция в точке 1 принимает значение равное нулю, мы получаем бесконечное число решений. Если же значение L(1) не равно нулю, то получаем конечное число рациональных решений, и это доказал математик Виктор Колывагин.
Есть некоторая вероятноятность, что ответы на гипотезу Бёрча - Свиннертон-Дайера будут получены только в частном виде, поскольку первый случай так и остается неподкрепленным какой-либо доказательной базой.
В чём заключается практическая важность задачи: на данный момент, в криптографии на эллиптических кривых основан целый класс асимметричных систем, на применении которых были сформированы некоторые российские стандарты цифровой подписи.
Эллиптическая кривая y^2 = x^3 + 877*x
Теория Янга - Миллса (1954 г.)
Перейдем к заключающей проблеме тысячелетия, пришедшей из слияния таких областей науки как физика элементарных частиц и геометрия. Еще в 1954 году физики Янг и Миллс написали уравнения, применимые в области квантовой физики, объединяющие в себе описание нескольких фундаментальных взаимодействий природы - электромагнитного, слабого и сильного.
На данный момент теория Янга - Миллса подтвердилась экспериментальным путем только для электрослабого и сильного взаимодействий. Но все попытки решить уравнения, описывающие все три взаимодейстия одновременно, оборачивались неудачей, однако рассчётные эксперименты показывают, что шанс всё-таки есть.
Известно, что на основе теории Янга-Миллса была построена стандартная модель физики элементарных частиц - некий «код» нашей Вселенной, состоящий из кварков, лептонов и калибровочных бозонов, из которых, в свою очередь, слеплено всё, что существует во Вселенной.
Таблица частиц стандартной модели
Ещё 50 лет назад была предсказана последняя частица из стандартной модели и в течение последних 20 лет великие умы современности охотились за ней - недостающим бозоном Хиггса, и, наконец, поймали. Сам бозон представляет собой некоторое поле, наделяющее массой частицы, которые увязли в бозонах. И где бы не появилась частица - поле Хиггса всегда «сообщит» ей её массу, поскольку всё пространство Вселенной пронизано полем Хиггса.
А для того, чтобы поймать бозон Хиггса, который в нашем мире существует не дольше 1*10^(-24) доли секунды, в Швейцарии построили Большой Адронный Коллайдер. В нем разгоняют банчи (иными словами, сгустки) протонов и сталкивают друг с другом. Подробнее эту тему лучше изучать самостоятельно, но ни в коем случае не пытайтесь повторить это дома!
Сейчас же уравнения Янга - Миллса приняты учеными-физиками во всем мире. Несмотря на это, предсказать массы элементарных частиц экспериментальным путем в рамках их теории так и не удалось, ровно как и решить проблему в общем виде.
Специально для ЖЖ матфака, с большим желанием пробудить в вас стремление к новому, ранее неизведанному, Садуллаева Надежда.